1、求偏导数的方法小结（应化 2，闻庚辰，学号：130911225）一， 一般函数：计算多元函数的偏导数时， 由于变元多， 往往计算量较大 在求某一点的偏导数时 ， 一般的计算方法是， 先求出偏 导函数， 再代人这一点的值而得到这一点的偏导数 我们发 现 ， 把部分变元的值先代人函数中， 减少变元的数量， 再计 算偏导数， 可以减少运算量。求函数 f(x,y)在点（a,b）处的偏导数 fx(a,b)及 fy(a,b)的方法是：1) 先求出偏导数的函数式，然后将（a,b）代入计算即可.2) 先求出 g(x)=f(x,b)和 h(y)=f(a,y),再求出 g(b),h(a)便得到 fx(a,b)和
2、fy(a,b).3) 若函数 f(x,y)是分段函数则一般采用定义来做.复合具体函数的导数求解:基本法则： = +xzuzxvzx= +yzuzyvzy其本质与一元函数的求导法则是一样的，只不过是将暂时不求的变量看成常量而已。例 1 ：z=f(x,y)=(x+y) xy,求 fx（1，1） ，f y（1，0） ；法一：设 u=x+y,v=xy,则 z=uv函数的复合关系为：z 是 u,v 的函数，u,v 分别是x,y 的函数.则： = +xzuzxvzx=xy(x+y)xy-1+y(x+y)xyln(x+y)=y(x+y)xy +ln(x+y)(yxfx(x,y)= y(x+y)xy +ln(
3、x+y)(yx所以：f x(1,1)=1+2ln2由于 f(x,y)的表达式中的 x,y 依次轮换，即 x 换 y 成，同时将换 y 成 x，表达式不变，这叫做函数 f(x,y)对自变量 x,y 交换具有轮换对称性。具有轮换对称性的函数，只要在 fx的表达式中将 x,y 调换即得到 fy。即：f y（x,y）= y(x+y)xy +ln(x+y)(yx所以 fy（1，0）=0法二：由于和一元函数的求导的实质是一样的。我们可以不引入中间变量，对某一自变量求导时，只要把其他自变量看成常数即可。如：Lnz=xyln(x+y)上式两边求导得：=yln(x+y)+ z1xz )(yx从而： =z yln
4、(x+y)+ xz )(yx所以：f x(1,1)=1+2ln2有函数的对称轮换性得：f y（1，0）=0例三：我们也可以利用全微分的不变性来解题。设 z=eusin(v),而 u=xy,v=x+y。求 + 在（1，1）处的值。xzyzdz=d(eusin(v)= eusin(v)du+eucos(v)dvdu=d(xy)=ydx+xdydv=d(x+y)=dx+dy代入后合并同类项得：dz=(eusin(v)y+eucos(v)dx+(eusin(v)x+ eucos(v)dy 将点（1，1）代入得：+ =2e(sin2+cos2).xzyz二，隐函数的求偏导。求隐函数的偏导时，我们一般有两种方法选择：1) 公式法2) 对函数两边直接求导。 （但必须明确谁是谁的函数） 。然后按复合函数求导法则来求。例一：方程组 （注：x2 为 x 的平方）ozyxa22法一：题中有 3 个自变量，明确了 x=x(z),y=x(z),既 z 是自变量。我们可以利用公式求但比较繁。我们可以采用下面的方法：法二：对方程组两边对求 z 导得：01022dzyzxdzyzx求得此解得： = ， =dzxyzdzyyx
