1、- 1 -第 3 讲 全等三角形及其应用【知识精读】1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。2. 全等三角形的表示方法：若ABC 和ABC是全等的三角形，记作 “ABCABC其中， “”读作“全等于 ”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；4. 寻找对应元素的方法（1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，
2、对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。（2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。翻折 如图（1） ，BOCEOD，BOC 可以看成是由EOD 沿直线 AO 翻折 180得到的；- 2 -旋转 如图（2） ，COD BOA，COD 可以看成是由 BOA 绕着点 O 旋转 180得到的；平移 如图（3） ，DEF ACB，DEF 可以看成是由ACB 沿 CB
3、 方向平行移动而得到的。5. 判定三角形全等的方法：（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理（2） 推论：角角边定理6. 注意问题：（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即 AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即 SSA。全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，- 3 -常常需要借助全等三角形的知识。【分类解析】全等三角形知识的应用（1） 证明线段（或角）相等例 1：如图，已知 AD=AE,AB
4、=AC.求证：BF=FC（2）证明线段平行例 2：已知：如图，DEAC，BFAC，垂足分别为 E、 F，DE=BF ，AF=CE.求证：ABCD DCBAE（3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等例 3：如图，在 ABC 中，AB=AC ，延长 AB 到 D，使 BD=AB，取 AB 的中点 E，连接 CD 和 CE. 求证：CD=2CE- 4 -(4)证明线段相互垂直例 4：已知：如图，A、D、B 三点在同一条直线上，ADC、BDO 为等腰三角形，AO、BC 的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。 CBAOED- 5 -5、中考点拨：例 1如图，在 A
5、BC 中， AB AC， E 是 AB 的中点，以点 E 为圆心， EB 为半径画弧，交BC 于点 D，连结 ED，并延长 ED 到点 F，使 DF DE，连结 FC求证： F A例 2 如图，已知 ABC 为等边三角形，延长 BC 到 D，延长 BA 到 E，并且使 AE=BD，连接 CE、DE.求证：EC=ED BCDEFA- 6 -题型展示：例 1 如图， ABC 中， C 2B，12。求证： AB AC CD【实战模拟】1. 下列判断正确的是（ ）（A）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等（B）有两边对应相等，且有一角为 30的两个等腰三角形全等（C）有一角和一边对应相等的两
6、个直角三角形全等（D ）有两角和一边对应相等的两个三角形全等2. 已知：如图， CD AB 于点 D， BE AC 于点 E， BE、 CD 交于点 O，且 AO 平分BAC求证： OB OC3. 如图，已知 C 为线段 AB 上的一点， ACM 和 CBN 都是等边三角形，AN 和 CM 相交于 F 点，BM 和 CN 交于 E 点。求证： CEF 是等边三角形。- 7 -A B C M N E F 1 2 4.如图，在ABC 中，AD 为 BC 边上的中线求证：AD (AB+AC) 125. 如图，在等腰 RtABC 中， C90 ， D 是斜边上 AB 上任一点， AE CD 于E， BF CD 交 CD 的延长线于 F， CH AB 于 H 点，交 AE 于 G求证： BD CG- 8 -NMEFACBA例 6 D 为等腰 斜边 AB 的中点，DMDN,DM,DN 分别交 BC,CA 于点 E,F。RtABC（1） 当 绕点 D 转动时，求证 DE=DF。MN（2） 若 AB=2，求四边形 DECF 的面积。例 7. 如图，在 中， ， ， 为 上任意一点。求证：ABCA12PAD。ABCP
