1、相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。注意：相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例全等形3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是 1.知识点二：比例线段有关概念及性质（1
2、）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a、b 的长度分别是 m、n，那么就说这两条线段的比是a：bm：n（或 ）nba2、比的前项，比的后项：两条线段的比 a：b 中。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 dc4、比例外项：在比例 （或 a：bc：d）中 a、d 叫做比例外项。5、比例内项：在比例 （或 a：bc：d）中 b、c 叫做比例内项。6、第四比例项：在比例 （或 a：bc：d）中，d 叫 a、b、c 的第四比例项。7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为 （或 a:bb:c
3、 时，我们把 b 叫做 a 和 d 的比例中项。8.比例线段：对于四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 （或 a：b=c：d） ，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 （注意：在求线段比时，线cb段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）（2）比例性质1.基本性质: （两外项的积等于两内项积）bcadcb2.反比性质： (把比的前项、后项交换 )3.更比性质(交换比例的内项或外项)： ()()abcdbbca， 交 换 内 项， 交 换 外 项 同 时 交 换 内 外 项4.合比性质： （分子加（减）分母,分母不变）dcbd注意：实际上，
4、比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立如： dcbadcb5.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）如果 ，那么 )0(nfdbnmfedcba banfdbmeca注意：(1)此性质的证明运用了“设 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法k(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立知识点三：黄金分割1）定义：在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC（ AC BC） ，如果 ，即ACBAC2=ABBC，那么称线段 A
5、B 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫做黄金比。其中 0.618 。AB215.ABDECF或 等2）黄金分割的几何作图：已知：线段 AB.求作：点 C 使 C 是线段 AB 的黄金分割点.作法：过点 B 作 BDAB，使 ；连结 AD，在 DA 上截取 DE=DB；在 AB 上截取 AC=AE，则点 C 就是所求作的线段 AB 的黄金分割点.黄金分割的比值为：.（只要求记住）3）矩形中，如果宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形。知识点四：平行线分线段成比例定理(一)平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的
6、对应线段成比.例. 已知 l1l 2l 3, A D l1B E l2C F l3可得2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. 由 DEBC 可得： .此推论较原定理应用更加广泛,条件是平ACEBDAECDB或或行.3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么（1）是“A”字型（2）是“8”字型经常考，关键在于找这条直线平行于三角形的第三边. (即利用比例式证平行线)4.定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. 5.平行线等分线段定理：三条平行线截两条直
7、线,如果在一条直线上截得的线段相等，难么在另一条直线上截得的线段也相等。 三角形一边的平行线性质定理定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所得的线段对应成比例。几何语言 ABE 中 BDCE 简记： DEABC下上下上 归纳： 和 推广：类似地还可以得到 和 全上全上 全下全下EDAB CADBEC三角形一边的平行线性质定理推论 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.三角形一边的平行线的判定定理三角形一边平行线判定定理 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.EDAB CAE DCB三角形一边的平行线
8、判定定理推论 如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.EDCBAFEDCBA平行线分线段成比例定理1平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.用符号语言表示：ADBECF, .,ABDECFABDE2平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一直线上所截得的线段相等，那么在另一直线上所截得的线段也相等.用符号语言表示： . FDEA重心定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心.重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍.知识
9、点三：相似三角形1、 相似三角形1）定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。两个等腰直角三角形一定相似。两个等边三角形一定相似。两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似（如正四边形、正五边形等等） ；2）性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。3）相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。如ABC 与DEF 相似，记作ABC DEF。相似比为 k。4）判定：定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。三角形相似的
10、预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。三角形相似的判定定理：判定定理 1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似简述为：两角对应相等，两三角形相似(此定理用的最多)判定定理 2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似判定定理 3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似简述为：三边对应成比例，两三角形相似直角三角形相似判定定理:.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。 1.直角三
11、角形被斜边上的高分 成 的 两 个 直 角 三 角 形 与 原 直 角 三 角 形 相 似 ， 并 且 分 成 的 两 个 直 角 三 角 2形 也 相 似 。 补充一：直角三角形中的相似问题：斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.射影定理：CD=ADBD， AC=ADAB，BC=BDBA（在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用）.补充二：三角形相似的判定定理推论推 论 一 ： 顶 角 或 底 角 相 等 的 两 个 等 腰 三 角 形 相 似 。 推 论 二 ： 腰 和 底 对 应 成 比 例 的 两 个 等 腰 三 角 形 相 似 。 推 论 三 ： 有 一 个 锐
12、角 相 等 的 两 个 直 角 三 角 形 相 似 。 推 论 四 ： 直 角 三 角 形 被 斜 边 上 的 高 分 成 的 两 个 直 角 三 角 形 和 原 三 角 形 都 相 似 。 推 论 五 ： 如 果 一 个 三 角 形 的 两 边 和 其 中 一 边 上 的 中 线 与 另 一 个 三 角 形 的 对 应 部 分 成 比 例 ， 那 么 这 两 个三 角 形 相 似 。相似三角形的性质相似三角形对应角相等、对应边成比例.相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线、周长的比都等于相似比(对应边的比).相似三角形对应面积的比等于相似比的平方.2、 相似的应用：位似1）定义：如果两个多
13、边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。需注意：位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形。两个位似图形的位似中心只有一个。两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧。位似比就是相似比。2）性质：位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质。位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比（相似比） 。每对位似对应点与位似中心共线，不经过位似中心的对应线段平行。一、如何证明三角形相似
14、例 1、如图：点 G 在平行四边形 ABCD 的边 DC 的延长线上,AG 交 BC、BD 于点 E、F，则AGD 。例 2、已知ABC 中，AB=AC ，A=36，BD 是角平分线，求证：ABC BCD例 3：已知，如图，D 为ABC 内一点连结 ED、AD，以 BC 为边在ABC 外作CBE=ABD，BCE=BAD求证：DBEABC例 4、矩形 ABCD 中，BC=3AB，E、F，是 BC 边的三等分点，连结 AE、AF、AC，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式例 5、ABC 中，在 AC 上截取 AD，在 CB 延长线上截取 BE，
15、使 AD=BE，求证：DF AC=BC FEB G 例 6：已知：如图，在ABC 中，BAC=90 0，M 是 BC 的中点，DMBC 于点 E，交 BA 的延长线于点 D。求证：（1）MA 2=MD ME；（2）DEA2例 7：如图ABC 中，AD 为中线，CF 为任一直线，CF 交 AD 于 E，交 AB 于 F，求证：AE：ED=2AF：FB。三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。例 8：已知：如图 E、F 分别是正方形 ABCD 的边 AB 和 AD 上的点，且 。求证：31ADFBEAEF=FBDAB CDEFGAB CDEM12例 9、在平行四边形 ABCD 内，A
16、R、BR、CP、DP 各为四角的平分线， 求证：SQAB，RP BC例 10、已知 A、C、E 和 B、 F、D 分别是O 的两边上的点，且 ABED，BCFE，求证：AFCD例 11、直角三角形 ABC 中，ACB=90，BCDE 是正方形，AE 交 BC 于 F，FGAC 交 AB 于 G，求证：FC=FG例 12、Rt ABC 锐角 C 的平分线交 AB 于 E，交斜边上的高 AD 于 O，过 O 引 BC 的平行线交 AB 于F，求证：AE=BF （答案）例 1 分析：关键在找“角相等” ，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的
17、角。本例除公共角G 外,由 BCAD 可得1=2，所以AGDEGC。再1=2（对顶角） ，由 ABDG 可得4=G，所以EGCEAB。例 2 分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然C 是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。借助于计算也是一种常用的方法。证明：A=36，ABC 是等腰三角形，ABC= C=72又 BD 平分ABC，则DBC=36在ABC 和BCD 中，C 为公共角，A=DBC=36ABCBCD例 3 分析： 由已知条件ABD=CBE，DBC 公用。所以DBE=ABC，要证的DBE 和ABC，有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应
18、成比例。从已知条件中可看到CBEABD，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决。证明：在CBE 和ABD 中，CBE=ABD, BCE=BADCBEABD = 即： =BCAEDABDDBE 和ABC 中，CBE=ABD, DBC 公用CBE+DBC=ABD+DBCDBE=ABC 且= DBEABCCE例 4 分析：本题要找出相似三角形，那么如何寻找相似三角形呢？下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形 E(2)如图：其中1= 2，则 ADEABC 称为“相交线型 ”的相似三角形。 EE1242(3)如图：1=2，B= D，则ADEABC，称为 “旋转型”的相似三角形。观察本题的图形，如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形，及EAF 与ECA解：设 AB=a，则 BE=EF=FC=3a，
