1、等腰三角形和等边三角形等腰三角形的定义：有两边相等的三角形是等腰三角形相等的两个边称为这个三角形的腰等腰三角形的性质：1.等腰三角形的两个底角相等。 （简写成“等边对等角”）2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（简写成“等腰三角形的三线合一”） 3.等腰三角形的两底角的平分线相等。 （两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等） 4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。 5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半 6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明) 7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线
2、是它的对称轴等腰三角形的判定：1.在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形(定义) 2.在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等角对等边）等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形等边三角形的性质：等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为 60。等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。 （四心合一）等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于
3、其高)等边三角形的判定：三边相等的三角形是等边三角形（定义）三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形三角形有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形(4) 两个内角为60度的三角形是等边三角形(5) 说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。(6) 等边三角形的性质与判定理解：(7) 首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。等腰三角形的性质应用及判定【例 1】 （扬州中考）如图，ABC 中，D、E 分别是 AC、AB 上的点，BD 与 CE 交于点O.给出下列三
4、个条件：EBO=DCO;BEO=CDO;BE=CD.(1) 上述三个条件中，哪两个条件可判定ABC 是等腰三角形（用序号写出所有情形）(2) 选择第（1）小题中的一种情形，证明ABC 是等腰三角形【例 2】如图，ABC 为等边三角形，延长 BC 到 D,又延长 BA 到 E，使 AE=BD,连接CE,DE,求证：CDE 为等腰三角形例题解析AEB CO DEAB C D【例 3】 （福建中考）如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若 DE=a,则下列说法正确的个数有（ ）DC 平分BDE BC 长为( )a 2BC D 是等腰三角形 CED 的周长等于 BC 的长A.1 个 B.2 个
5、 C.3 个 D.4 个【例 4】如图，ABC 是边长为 1 的正三角形，BDC 是顶角为 120的等腰三角形，以 D为顶点作一个 60的MDN，点 M,N 分别在 AB,AC 上，则 AMN 的周长是 【例 5】 （重庆中考）已知一个等腰三角形两内角的度数比为 1:4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）A.20 B.120 C.20或 120 D.36【例 6】 （双柏中考）等腰三角形两边长分别为 4 和 9，则第三边长为 例 7】如图，点 O 事等边ABC 内一点，AOB=110，BOC=，将BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60得ADC,连接 OD,则COD 是等边三角形；(1)当 为
6、多少度时，AOD 是等腰三角形？(2)求证：COD 是等边三角形（3）当 =150时，试判断AOD 的形状，并说明理由等边三角形的性质应用及判定DB E CDB C .EACBAM NDB CBCAOD【例 8】 （乐山中考）如图，在等边ABC 中，点 D,E 分别在边 BC,AB 上，BD=AE,AD与 CE 交于点 F.(1)求证：AD=CE;(2) 求DFC 的度数。【例 9】 （黄冈中考）如图，分别以 RtABC 的直角边AC,BC 为边，在 RtABC 外作两个等边三角形ACE和BCF，连接BE,AF。求证：BE=AF【例 10】 （天津中考）如图，DAC 和EBC 均是等边三角形，
7、AE、BD 分别与 CD、CE交于点 M、N,有如下结论：ACD DCB; CM=CN; AC=DN.其中正确结论的个数是A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.0 个 【例 13】如图，点 C 在线段 AB 上，在 AB 的同侧作等边三角形 ACM 和 BCN，连三角形 ACM 和 BCN，连接 AN，BN ，若MBN=38，则ANB 的大小等于 。【例 14】 （常州中考）已知，如图，延长ABC 的各边，使得 BF=AC,AE=CD=AB,顺次连接 D,E,F，得到DEF为等边三角形，求证：（1）AEFCDE;(2)ABC为等边三角形AFB CE DNMDACBEABCEFD NMACB
8、FEDACBBAFCE等腰直角三角形的性质应用及判定【例 15】如图，在 RtABC 中，B=90，ACB=60 ，D 是 BC 延长线上一点，且AC=CD,则 BC:CD= 【例 16】已知，如图，AB 是等腰直角三角形 ABC 的斜边，AD 是 A 的平分线，求证： AC+CD=AB【例 17】 （枣庄中考）两个全等的含 30，60的三角板 ADE 和三角板 ABC，如图所示放置，E,A,C 三点在一条直线上，连接 BD,取 BD 的中点 M,连接 ME,MC,试判断EMC 的形状，并说明理由1.下列两个命题：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；如果一个等腰三角形有一个内角是 60，那么
9、这个等腰三角形一定是等边三角形，则以下结论正确的是（ ）A.只有命题正确 B.只有命题正确C.命题、都正确 D.命题、都不正确2. (四川中考)若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为 25，则该三角形的一个底角为BADC ABCD DECBMA练习题（ ）A.32.5 B.57.5 C.65或 57.5 D.32.5或 57.53.如图，在ABC 中，ADBC 于 D,请你再添加一个条件， 就可以确定ABC 是等腰三角形。你添加的条件是 4.在 Rt ABC 中，C=90 ，A=30，BC+AB=6cm ，则 AB= cm5.已知：等边ABC 中，如图，E 为 AB 上任意一点，以 CE 为斜边作等边CDE,连结 AD,则有 ADBC,上述结论还成立吗？答 ABCDADCBE
