1、 1课 题 等腰三角形教学目的1、 熟练掌握等腰三角形的性质和判定2、 熟练等腰三角形“三线合一”的性质3、 会运用性质和判定解决实际问题重点、难点重点：等腰三角形的性质难点：“三线合一”的应用教学内容基础知识巩固：1等腰三角形定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形.2等腰三角形的性质：1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角” ） 。推论 1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。推论 2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于 60。等腰三角形是以
2、底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；2. 定理及其推论的作用等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。AB C23等腰三角形的判定：1. 有关的定理及其推论定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边” 。）推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形。推论 2：有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形。推论 3：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30
3、，那么它所对的直角边等于斜边的一半。2. 定理及其推论的作用。等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。3. 等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。【知识点简单运用】例 1、 如图，
4、在ABC 中， ， 在 AC 上，且 求ABC 各角的度数。 ACBD,BCAD练习：1、如图ABC 是等腰直角三角形（AB=AC,BAC=90） ，AD 是底边 BC 上的高，标出B，C，BAD，DAC 的度数，图中有哪些相等的线段？ 32、如图，在ABC 中，AB=AD=DC，BAD=26.求B 和C 的度数。例 2：求证：如果三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。（写出已知和求证，画出图形）随堂练习：1如图 1，在ABC 中，AB=AC，A=50，BD 为ABC 的平分线，则BDC=_（1） （2）2如图 2，一个顶角为 40的等腰三角形纸片，剪去顶角后
5、，得到一个四边形，则1+2=_度3.等腰ABC 的底边 BC=8cm，腰长 AB=5cm，一动点 P 在底边上从点 B 开始向点 C 以 0.25cm/秒的速度运动，当点 P 运动到 PA 与腰垂直的位置时，点 P 运动的时间应为_4【例题经典】根据等腰三角形的性质寻求规律例 1在ABC 中，AB=AC，1= ABC，2= ACB，BD 与 CE 相交于点 O，如图，BOC 的大小与A 的1212大小有什么关系？若1= ABC，2= ACB，则BOC 与A 大小关系如何？33若1= ABC ，2= ACB ，则BOC 与A 大小关系如何？1n1n练习：如图，在下列三角形中若 AB=AC，则能被
6、一条直线分成两个小等腰三角形的是 。会用等腰三角形的判定和性质计算与证明例 2如图，等腰三角形 ABC 中，AB=AC，一腰上的中线 BD 将这个等腰三角形周长分成 15 和 6 两部分，求这个三角形的腰长及底边长AAA AB B BCC C36 45 90 10812练习：1、如图，在ABC 中，AB=AC，BAD=20 ，且 AE=AD ，则CDE=_2、同学们都玩过跷跷板的游戏如图 11 所示， 是一跷跷板的示意图，立柱 OC 与地面垂直，OA=OB当跷跷板的一头 A 着地时，OAC=25， 则当跷跷板的另一头 B 着地时，AOA等于（ ）A25 B50 C60 D130利用等腰三角形的
7、性质证线段或角相等例 3如图，P 是等边三角形 ABC 内的一点，连结 PA、PB、PC， 以 BP 为边作PBQ=60，且 BQ=BP，连结CQ（1）观察并猜想 AP 与 CQ 之间的大小关系，并证明你的结论（2）若 PA：PB：PC=3：4：5，连结 PQ，试判断PQC 的形状，并说明理由练习：已知：如图所示， 的平分线交于 ，过 作 交 于 ，交 于 求证：ACB, F,/BCDEACEDECB AB CEFD2例 4：如图，ABC 中，AD 平分BAC，BPAD 于 P，AB=5，BP=2，AC=9。求证：ABP=2ACB。练习：1、如图，ABC 中，D、E 分别是 AC、AB 上的点
8、，BD 与 CE 交于点 O， 给出下列三个条件：EBO=DCO；BEO=CDO；BE=CD（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定ABC 是等腰三角形（用序号写出所有情形） ；（2）选择第（1）小题中的一种情况，证明ABC 是等腰三角形2、如图，AD=BC，AC=BD，求证EAB 是等腰三角形。APD CB2实际应用：上午 8 时，一条船从海岛 A 出发，以 15 海里/时的速度向正北航行，10 时到达海岛 B 处，从 A，B 望灯塔 C，测得NAC=42，NBC=84.求从海岛 B 到灯塔 C 的距离。练习：要在离地面 5m 处引拉线固定电线杆， 使拉线和地面成 60角，若考虑既要符合设计要
9、求，又要节省材料，则在库存的 L1=5.2m，L 2=6.2m，L 3=7.8m，L 4=10m 的四种备用拉线材料中，拉线 AC 最好选用（ ）AL 1 BL 2 CL 3 DL 4典型题目练习：1、 如图，BAC=ABD ,AC =BD ,点 O 是 AD、BC 的交点，点 E 是 AB 的中点。试判断 OE 和 AB 的位置关系，并给予证明。22、 如图，ABC 中，ABC=50，ACB=80，延长 CB 至 D，使 DB=BA，延长 BC 至 E，使 CE=CA。连接AD、AE。求D，E，DAE 的度数。（2） 3、 如图，AD 是ABC 的角平分线，DE，DF 分别是ABD 和ACD
10、 的高，求证 AD 垂直平分 EF（3）4、如图，已知在等边三角形 ABC 中，D 是 AC 的中点，E 为 BC 延长线上一点，且 CECD，DMBC，垂足为 M。求证：M 是 BE 的中点。A D 1 B M C E 25、如图， ACD 和 BCE 都是等腰直角三角形， ACD BCE90， AE 交 DC 于 F， BD 分别交 CE， AE 于点G、 H.试猜测线段 AE 和 BD 的位置和数量关系，并说明理由. EDA BCF GH等腰三角形有时作为隐含的挑拣出现在题目中，需要我们能够识别出来，下面列出五种常见的情形：一起发现数学中的美！2OC 为AOB 的平分线， CD/OB 于 AO于点 D，则ODC 是等腰三角形。想一想：为什么？ABC 中，AB=AC ，DE/BC 则ADE 为等腰三角形。想一下，相等的两腰为什么？ABC 中，OC 为AOB 的平分线，D 是 OB上一点，DCOC 于 C，延长 DC 交 OA 于E，则DOE 是等腰三角形，其中OD=OE，DC=EC想一想，为什么？C 是线段 AB 的垂直平分线上的一点，则ABC 是等腰三角形，其中 AC=BC想一想，为什么？ABC 中，AB=AC ，BD 平分ABC，ABD=36，则图中共有三对等腰三角形，哪三对？
