1、xmaFyazmF竞赛专题二 牛顿运动定律 宋善炎 严娇【基本知识】一、惯性系和牛顿运动定律1、惯性系 牛顿定律成立的参考系叫惯性系。一切相对惯性系作匀速直线运动的参考系也是惯性系。实验证明：地球参考系可以近似看做惯性系。相对地面静止或匀速直线运动物体上的参考系可视为惯性系。 2、牛顿运动定律 （1）牛顿第一定律：任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到其他物体的作用迫使它改变这种状态为止。 任何物体都有保持自已原有运动状态不变的性质叫惯性。惯性是物体固有的属性，可用质量来量度，惯性是维持物体运动状态的原因，力是物体运动状态变化的原因 （2）牛顿第二定律：在外力作用下，物体所获得的加速度的大
2、小与所受合外力的大小成正比，与物体的质量成反比，加速度的方向与合外力的方向相同，其数学表达式为 该定律只适用于质点或做平动的物体，只在惯性系中成立，遵从力的独立性原理（叠加原理）：作用在质点上的每一个力都各自产生对应的加速度，即 i如在直角坐标系中，有分量式 在自然坐标系中，则有：2,vadtvmaFn由加速度的定义，可以给出第二定律的微分形式（3）牛顿第三定律当物体 A 以 F1 作用在物体 B 上时，物体 B 也必同时以 F2 作用在物体 B 上，F 1 和 F2 在同一直线上，大小相等而方向相反，数学表达式为 2牛顿三定律只适用于宏观、低速（远小于光速）的机械运动。3、牛顿定律在曲线中的
3、应用（1）物体作曲线运动的条件：物体的初速度不为零，受到的合外力与初速度不共线且指向曲线“凹侧” 。如图该时刻物体受到的合外力 F 与速度的夹角为 ， 满足的条件是 。o180（2）圆周运动物体做匀速圆周运动的条件是，物体受到始终与速度方向垂直、沿半径指向圆心、大小恒定的力作用，其大小是 RmvaFn2变速圆周运动中，合外力在法线方向和切向方向都有分量，法向分量产生向心加速度，切向分量产生切向加速度 。RvmaFn2 tvmaFrdtrvvF图1（3）一般曲线运动与变速圆周运动类似没在一般曲线运动中，合外力在法线方向和切线方向都有分量，法向分量的大小为 ，R 为曲线在该处的曲率半径，切向分量的
4、大小为vmaFn2。tr二、非惯性系中的力学问题1、非惯性系 相对惯性系做变速运动的参考系，牛顿运动定律不适用，称为非惯性系。2、惯性力 ，其中 是非惯性系相对惯性系的加速度。am惯F引入惯性力的概念后，牛顿方程在非惯性系中形式上得以成立，有 ，aFm惯式中，F 为真实力， 为惯性力， 为质点在非惯性系中的加速度，从产生的效果看，惯 惯性力与真实力一样，都可以改变物体的运动状态,即产生加速度。惯性力的方向与非惯性系的加速度的方向相反， 具体形式与非惯性系的运动状态有关。惯F（1）平动加速系中的惯性力在平动加速参考系中， ， 为非惯性系的加速度。平动非惯性系中，惯oam惯性力由非惯性系相对惯性系
5、的加速度及质点的质量决定，与质点的位置及质点相对于非惯性下速度无关。（2）匀速转动系统中的惯性力惯性力离心力在转动参考系中， ，式中 为转动系的角速度，r 为物体在转动系中的2F惯矢径三、万有引力 天体的运动1、开普勒行星运动定律（1）开普勒第一定律也叫椭圆轨道定律，它的具体内容是：所有行星分别在大小不同的轨道上围绕太阳运动。太阳在这些椭圆的一个焦点上。（2）开普勒第二定律：对任意行星来说，他与太阳的连线（称为径矢）在相等的时间内扫过相等的面积。（3）开普勒第三定律的具体表述是:行星绕太阳运动轨道半长轴 a 的立方与运动周期 T的平方成正比kTa232、万有引力定律自然界中任何两个物体都是相互
6、吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比。如果用 m1 和 m2 表示两个物体的质量，用 r 表示它们的距离，那么万有引力定律可以用下面的公式来表示 21=rGF3、宇宙速度图3-1（1）第一宇宙速度 skmgRGMv/9.71地 地如果发射速度小于 7.9km/s，物体将落到地面，而不能成为一颗卫星；发射速度等于7.9km/s，它将在地面附近作匀速圆周运动；要发射一颗半径大于地球半径的人造卫星，发射速度必须大于 7.9km/s。可见，向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星要困难。第一宇宙速度是人造卫星在地面附近环绕地球作匀速圆周运动所必须具有的速度，所以也称为
7、环绕速度。（2）第二宇宙速度 ，使卫星挣脱地球的束skmgRGMv/2.12地 地缚，成为绕太阳运行的人造行星的最小发射速度，也称为脱离速度。发射速度大于 7.9km/s，而小于 11.2km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆；等于或大于11.2km/s 时，卫星就会脱离地球的引力，不再绕地球运行。（3）第三宇宙速度 ，使卫星挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，也称316.7/vkms为逃逸速度。发射速度大于 11.2km/s，而小于 16.7km/s，卫星绕太阳作椭圆运动，成为一颗人造行星。如果发射速度大于等于 16.7km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。【例题解析】例 1
8、如图 2-1 所示，已知物块 A、B 的质量分别为 m1、m 2，A、B 间的摩擦因数为 1，A 与地面之间的摩擦因数为 2，在水平力 F 的推动下，要使 A、B 一起运动而 B 不至下滑，力 F 至少为多大？解析 B 受到 A 向前的压力 N，要想 B 不下滑，需满足的临界条件是： 1N=m2g.设 B 不下滑时，A、B 的加速度为 a，以 B 为研究对象，用隔离法分析， B 受到重力，A 对 B 的摩擦力、A 对 B 向前的压力 N，如图 2-2 所示，要想 B 不下滑，需满足： 1Nm 2g,即： 1m2am 2g,所以加速度至少为 a=g/ 1再用整体法研究 A、B，根据牛顿第二定律，
9、有：F 2（m 1+m2）g=(m 1+m2)g=(m1+m2)a,所以推力至少为 .g)1)(221注释 隔离法就是从整个系统中将某一部分物体隔离出来，然后单独分析被隔离部分的受力情况和运动情况，从而把复杂的问题转化为简单的一个个小问题求解。例 2 六个完全相同的长条薄片 、2、6）依次架1(iBA在水平碗口上，一端搁在碗口，另一端架在另一薄片的正中位置（不计薄片的质量）. 将质量为 m 的质点置于 A1A6 的中点处，试求：A 1B1 薄片对 A6B6 的压力.图 2-1 图2-2图3-2图3-3图4解析 （递推法） 本题共有六个物体，通过观察会发现，A 1B1、A 2B2、A 5B5 的
10、受力情况完全相同，因此将 A1B1、A 2B2、A 5B5 作为一类，对其中一个进行受力分析，找出规律，求出通式即可求解。以第 i 个薄片 AB 为研究对象，受力情况如图 3-2 所示，第 i个薄片受到前一个薄片向上的支持力 Ni、碗边向上的支持力和后一个薄片向下的压力 Ni+1. 选碗边 B 点为轴，根据力矩平衡有 2,11 iiiiL得所以 6532)(N再以 A6B6 为研究对象，受力情况如图 3-2 所示，A 6B6 受到薄片A 5B5 向上的支持力 N6、碗向上的支持力和后一个薄片 A1B1 向下的压力 N1、质点向下的压力mg. 选 B6 点为轴，根据力矩平衡有 LNmgLN614
11、32由、联立，解得 421g所以，A 1B1 薄片对 A6B6 的压力为 .m例 3 一根均匀柔软的绳长为 L，质量为 m，对折后两端固定在一个钉子上，其中一端突然从钉子上滑落，试求滑落的绳端点离钉子的距离为 x 时，钉子对绳子另一端的作用力是多大？解析 （微元法）钉子对绳子另一端的作用力随滑落绳的长短而变化，由此可用微元法求解.如图 38 所示，当左边绳端离钉子的距离为 x 时，左边绳长为，速度 ，)(21xlgxv2右边绳长为 又经过一段很短的时间t 以后，左边绳子又有长度 的一).(1l tV21小段转移到右边去了，我们就分析这一小段绳子，这一小段绳子受到两力：上面绳子对它的拉力 T 和
12、它本身的重力 为绳子的线密度） ，lmgtv/(21根据动量定理，设向上方向为正 )21(0)21vttgvT由于t 取得很小，因此这一小段绳子的重力相对于 T 来说是很小的，可以忽略，所以有 因此钉子对右边绳端的作用力为gxvT21)3()(2lmxlF例 4 一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹图5-1图5-2图5-3图5-4角为 =30，如图 5 所示。一长为 L 的绳（质量不计） ，一端固定在圆锥体的顶点 O 处，另一端拴着一个质量为 m 的小物体（可看做质点） 。物体以速度 v 绕圆锥体的轴线在水平面内做匀速圆周运动。（1）当 时，求绳对物体的拉力；
13、61gLv（2） ，求绳对物体的拉力。3解析 当物体以某一速率绕圆锥体的轴线做水平匀面内的匀速圆周运动时，可能存在圆锥体对物体的弹力为零的临界状况，此时物体刚好与圆锥面接触但不发生形变。而当速率变大时，物体将脱离圆锥面，从而导致绳对物体的拉力大小和方向都要变化。因此，此题的关键是先求出临界状态下线速度的值。以小物体为研究对象，假设它与圆锥面接触，而没有弹力作用。受力如图 5-2 所示，根据运动定律得：Tcos =mg Tsin= sin2Lmv解得： 63gv（1）因为 所以物体 m 与圆锥而接触且有压力，v1受力如图 5-3 所示，由运动定律得T1cos+Nsin=mg T1sinNcos=
14、m sin21Lv解得拉力： )3(61g（2）因为 ，所以物体 m 脱离圆锥面，设绳子vLv2与轴线的夹角为 ，受力如图 5-4 所示，由运动定律得：sinsi22mTgTcos2解得绳子拉力：T 2=2mg注释 假设法是对于待求解的问题，在与原题所给条件不相违的前提下，人为的加上或减去某些条件，以使原题方便求解。求解物理试题常用的有假设物理情景，假设物理过程，假设物理量等，利用假设法处理某些物理问题，往往能突破思维障碍，找出新的解题途径，化难为易，化繁为简。例 5 如图 6 所示，半径 R=10cm 的光滑凹球面容器固定在地面上，有一小物块在与容器最低点 P 相距 5mm 的 C 点由静止
15、无摩擦滑下，则物块自静止下滑到第二次通过 P 点时所经历的时间是多少？若此装置放在以加速度 a 向上运动的实验舱中，上述所求的时间又是多少？解析 （类比法）本题中的小物块是在重力、弹力作用下做变速曲线运动，我们若抓住物体受力做 往复运动的本质特征，便可以进行模型等效，即把小物块在凹球面上的5运动等效为单摆模型.将上述装置等效为单摆，根据单摆的周期公式 glT2得 gRTt234若此装置放在以加速度 a 向上运动的实验舱中，比较两种情形中物体受力运动的特征，可以等效为单摆的重力加速度为 的情形，经类比推理可得：aggTt234例 6 如图 7-1 所示，半径为 R，质量为 m 的圆形绳圈，以角速
16、率 绕中心轴 O 在光滑水平面上匀速转动时，绳中的张力为多大？解析 （近似法）取绳上一小段来研究，当此段弧长对应的圆心角 很小时，有近似关系式.sin若取绳圈上很短的一小段绳 AB= 为研究对象，设这段绳所对应的圆心角为 ，L这段绳两端所受的张力分别为 和 （方向见图 7-2） ，因为绳圈匀速转动，无切向加速ATB度，所以 和 的大小相等，均等于 T. 和 在半径方向上的合力提供这一段绳做匀ATBAB速圆周运动的向心力，设这段绳子的质量为 ，根据牛顿第二定律有：m；Rm2sin2因为 段很短，它所对应的圆心角 很小所以L2sin将此近似关系和 2R代入上式得绳中的张力为 mT例 7 粗细均匀的
17、 U 形管内装有某种液体，开始静止在水平面上，如图 8 所示，已知：L=10cm，当此 U 形管以 4m/s2 的加速度水平向右运动时，求两竖直管内液面的高度差.（g=10m/s 2）解析 （等效法）当 U 形管向右加速运动时，可把液体当做放在等效重力场中， 的方向是等效重力场的竖直方向，这时两边的液g面应与等效重力场的水平方向平行，即与 方向垂直.g设 的方向与 g 的方向之间夹角为 ，则 4.0tan由图 8 可知液面与水平方向的夹角为 ，所以， .4.01tanmcLh图143甲图 6图 7-1图 7-2图 8ABCS1S2图10例 8 有一质量为 m=50kg 的直杆，竖立在水平地面上
18、，杆与地面间静摩擦因数，杆的上端固定在地面上的绳索拉住，绳与杆的夹角 ，如图 9-1 所示。3.0 30（1）若以水平力 F 作用在杆上，作用点到地面的距离 为杆长） ，要使杆不滑Lh(5/21倒，力 F 最大不能越过多少？（2）若将作用点移到 处时，情况又如何？4解析 （极限法）杆不滑倒应从两方面考虑，杆与地面间的静摩擦力达到极限的前提下，力的大小还与 h 有关，讨论力与 h 的关系是关键。杆的受力如图 9-2 所示，由平衡条件得0)(cosinfLhFmgTNf另由上式可知，F 增大时，f 相应也增大，故当 f 增大到最大静摩擦力时，杆刚要滑倒，此时满足： N解得： hLgmas /tan
19、)(由上式又可知，当 时对 F 就没有限制了。L6.0,即 当（1）当 ，将有关数据代入 的表达式得 0152hmaxFN385max（2）当 无论 F 为何值，都不可能使杆滑倒，这种现象即称为自锁。,42L例 9（第 23 届预赛题）如图所示，弹簧 S1 的上端固定在天花板上，下端连一小球 A，球 A 与球 B 之间用线相连。球 B 与球 C 之间用弹簧 S2 相连。A、B、C 的质量分别为 mA、m B、m C，弹簧与线的质量均可不计。开始时它们都处在静止状态。现将 A、B 间的线突然剪断，求线刚剪断时 A、B 、C 的加速度解析 1. 线剪断前，整个系统处于平衡状态。此时弹簧 S1 的弹
20、力（1）B1AC()Fg弹簧 S2 的弹力 （2）2在线刚被剪断的时刻，各球尚未发生位移，弹簧的长度尚无变化，故 F1、 F2 的大小尚未变化，但线的拉力消失。设此时球 A、B、C 的加速度的大小分别为 aA、 aB、a C ，则有（3）1mg（4）2（5）C解得 方向竖直向上； 方向竖直向BAagBCmag下； C0例 10 （第 25 届预赛题）假定月球绕地球作圆周运动，地球绕太阳也作圆周运动，且轨图 9-1图 9-2道都在同一平面内。已知地球表面处的重力加速度 g=9.80m/s2，地球半径 R0=6.37106m，月球质量 mm=7.31022kg，月球半径 Rm=1.7106m，引力
21、恒量 G=6.671011Nm2/kg2，月心地心间的距离约为 rem=3.84108m(i)月球的球心绕地球的球心运动一周需多少天？(ii)地球上的观察者相继两次看到满月需多少天？(iii)若忽略月球绕地球的运动，设想从地球表面发射一枚火箭直接射向月球，试估算火箭到达月球表面时的速度至少为多少（结果要求两位数字）？解析(i)月球在地球引力作用下绕地心作圆周运动，设地球的质量为 me，月球绕地心作圆周运动的角速度为 m，由万有引力定律和牛顿定律有 (1)22erG另有 (2)gRG2e月球绕地球一周的时间 (3)m2T解(1)、(2)、(3) 三式得 (4)2e3gRr代入有关数据得 Tm=2
22、.37106s=27.4 天 (5)(ii)满月是当月球、地球、太阳成一条直线时才有的，此时地球在月球和太阳之间，即图中 A 的位置。当第二个满月时，由于地球绕太阳的运动，地球的位置已运动到 A。若以Tm 表示相继两次满月经历的时间， e 表示地球绕太阳运动的角速度，由于 e 和 m 的方向相同，故有mTm=2+eTm (6)而 (7)2T(8)e式中 Te 为地球绕太阳运动的周期， Te=365 天。由(6) 、(7)、(8)三式得 (9)meT注意到(5)式，得 Tm=29.6 天 (10)(iii)从地面射向月球的火箭一方面受到地球的引力作用，另一方面也受到月球引力的作用。当火箭离地球较
23、近时，地球的引力大于月球的引力；当离月球较近时，月球的引力大于地球的引力。作地心和月心的连线，设在地月间某一点 O 处，地球作用于火箭的引力的大小正好等于月球作用于火箭的引力大小。以 r 表示 O 点到月球中心的距离，则有(11)2m2em)(rGr式中 m 是火箭的质量。由(11)式得 (12)02)1(2emmerr解(12)式，注意到(2) 式，代入有关数据，得 r=3.8107m (13)图 11从地球表面发射直接射向月球的火箭只要能到达 O 点，则过 O 点后，因月球引力大于地球引力，它便能在月球引力作用下到达月球，这样发射时火箭离开地面时的速度最小，它到达月球时的速度也最小。设火箭
24、刚到达月球时的最小速度为 v，则由机械能守恒定律有(14)2memem 1RGrGr 解得 (15)(2)1(2ee rRv注意到(2)式，代入有关数据得 v=2.3103m/s例 11（第 25 届复赛）足球射到球门横梁上时，因速度方向不同、射在横梁上的位置有别，其落地点也是不同的。已知球门的横梁为圆柱形，设足球以水平方向的速度沿垂直于横梁的方向射到横梁上，球与横梁间的滑动摩擦系数 ，球与横梁碰撞时的恢复0.7系数 e=0.70。试问足球应射在横梁上什么位置才能使球心落在球门线内（含球门上）？足球射在横梁上的位置用球与横梁的撞击点到横梁轴线的垂线与水平方向（垂直于横梁的轴线）的夹角 （小于
25、）来表示。不计空气及重力的影响。90解析足球射到球门横梁上的情况如图所示（图所在的平面垂直于横梁轴线）.图中B表示横梁的横截面，O 1为横梁的轴线； 为过横梁轴线并垂直于轴线的水平线；A表示足球，1OO2为其球心；O点为足球与横梁的碰撞点，碰撞点O的位置由直线O 1OO2与水平线 的1O夹角 表示 .设足球射到横梁上时球心速度的大小为v 0，方向垂直于横梁沿水平方向，与横梁碰撞后球心速度的大小为v，方向用它与水平方向的夹角 表示如图 .以碰撞点O为原点作直角坐标系Oxy ，y轴与O 2OO1重合.以 表示碰前速度的方向与y轴的夹角，以 表示碰后速度的方向与y轴(负方向)的夹角，足球被横梁反弹后
26、落在何处取决于反弹后的速度方向，即角 的大小.以F x表示横梁作用于足球的力在x方向的分量的大小，F y表示横梁作用于足球的力在y方向的分量的大小， t表示横梁与足球相互作用的时间，m表示足球的质量，有(1)0xv(2)yyt式中 、 、 和 分别是碰前和碰后球心速度在坐标0xxy系Oxy中的分量的大小.根据摩擦定律有 (3)xyF由（1）、（2）、（3）式得 (4)0yv根据恢复系数的定义有 （5）0e因 （6） 0xytanv（7）xyt 图 12由（4）、（5）、（6）、（7）各式得 （8）ee1tan1t0由图可知 （9） 若足球被球门横梁反弹后落在球门线内，则应有 (10)在临界情况
27、下，若足球被反弹后刚好落在球门线上，这时 .由（9）式得0(11)tan90tan因足球是沿水平方向射到横梁上的，故 ，有 0 ee1tan1t(12)这就是足球反弹后落在球门线上时入射点位置 所满足的方程.解（12）式得22114taneee代入有关数据得 ，即 。现要求球落在球门线内，故要求1.65858例 12（第 26 届预赛题）一个质量为 m1 的废弃人造地球卫星在离地面 h=800km 高空作圆周运动，在某处和一个质量为 m2m 1/9 的太空碎片发生迎头正碰，碰撞时间极短，碰后二者结合成一个物体并作椭圆运动碰撞前太空碎片作椭圆运动，椭圆轨道的半长轴为7500km，其轨道和卫星轨道
28、在同一平面内已知质量为 m 的物体绕地球作椭圆运动时，其总能量即动能与引力势能之和 ，式中 G 是引力常量，M 是地球的质量，a2Ea为椭圆轨道的半长轴设地球是半径 R=6371km 的质量均匀分布的球体，不计空气阻力http:/（i）试定量论证碰后二者结合成的物体会不会落到地球上http:/（ii）如果此事件是发生在北级上空（地心和北极的连线方向上） ，碰后二者结合成的物体与地球相碰处的纬度是多少？http:/解析 （i）如图为卫星和碎片运行轨道的示意图以 v1 表示碰撞前卫星作圆周运动的速度，以 M 表示地球 E 的质量，根据万有引力定律和牛顿定律有 2112()MmvGRh（1）式中 G 是引力常量由（l）式得 （2）1GMvRh以 v2 表示刚要碰撞时太空碎片的速度，因为与卫星发生碰撞时，碎片到地心的距离等于卫星到地心的距离，根据题意，太空碎片作椭圆运动的总能量（3）2221MmRha
