1、数学期望：随机变量最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。又称期望或均值。它是简单算术平均的一种推广。例如某城市有 10 万个家庭，没有孩子的家庭有 1000 个，有一个孩子的家庭有 9万个，有两个孩子的家庭有 6000 个，有 3 个孩子的家庭有 3000 个， 则此城市中任一个家庭中孩子的数目是一个随机变量，记为 X，它可取值 0，1，2，3，其中取 0 的概率为 0.01，取 1 的概率为 0.9，取 2 的概率为 0.06，取 3 的概率为0.03，它的数学期望为 00.0110.920.0630.03 等于 1.11，即此城市一个家庭平均有小孩 1.11 个，用数学式子表
2、示为：E(X)=1.11。也就是说，我们用数学的方法分析了这个概率性的问题，对于每一个家庭，最有可能它家的孩子为 1.11 个。可以简单的理解为求一个概率性事件的平均状况。各种数学分布的方差是：1、 一个完全符合分布的样本2、 这个样本的方差概率密度的概念是：某种事物发生的概率占总概率(1)的比例,越大就说明密度越大。比如某地某次考试的成绩近似服从均值为 80 的正态分布，即平均分是 80 分，由正态分布的图形知 x=80 时的函数值最大，即随机变量在 80 附近取值最密集，也即考试成绩在 80 分左右的人最多。下图为概率密度函数图(F(x)应为 f(x)，表示概率密度)：离散型分布：二项分布
3、、泊松分布连续型分布：指数分布、正态分布、X 2 分布、t 分布、F 分布抽样分布只与自由度，即样本含量（抽样样本含量）有关二项分布（binomial distribution）：例子抛硬币1、 重复试验（n 个相同试验，每次试验两种结果，每种结果概率恒定伯努利试验）2、抽样分布3、 P(X=0), P(X=1), P(X=3), .所有可能的概率共同组成了一个分布，即二项分布泊松分布（possion distribution）：1、 一个单位内（时间、面积、空间）某稀有事件2、 此事件发生 K 次的概率3、P(X=0), P(X=1), P(X=3), .所有可能的概率共同组成了一个分布，即
4、泊松分布二项分布与泊松分布的关系：二项分布在事件发生概率很小，重复次数 n 很大的情况下，其分布近似泊松分布均匀分布(uniform distribution)：分为连续型均匀分布和离散型均匀分布离散型均匀分布：1、 n 种可能的结果2、 每个可能的概率相等(1/n)连续型均匀分布：1、 可能的结果是连续的2、 每个可能的概率相等( )连续型均匀分布概率密度函数如下图：指数分布（exponential distribution）：用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进机场的时间间隔、中文维基百科新条目出现的时间间隔等等。指数分布常用于各种“寿命”分布的近似。1、连续型分布，每个点的概率
5、：2、无记忆性。已经使用了 s 小时的元件，它能再使用 t 小时的概率，与一个从未使用过的元件使用 t 小时的概率相同。即它对已经使用过的 s 小时没有记忆。指数分布的概率密度函数如下图：正态分布（normal distribution）：又称高斯分布。1、 描述一个群体的某个指标。2、 这个指标是连续的。3、 每个特定指标在整个群体中都有一个概率（ ） 。4、 所有指标概率共同组成了一个分布，这个分布就是正态分布。正态分布的概率密度函数如下图：中心极限定理：不论总体的分布形式如何（正态或非正态） ，只要样本（抽样样本）含量 n 足够大时，样本均数的分布就近似正态分布，且均数与总体均数相等，标
6、准差为（总体标准差）/（n 的开方） 。中心极限定理使得 t 分布、F 分布和 X2 分布在抽样样本含量很大时不需要对总体样本是否正态有要求。t 分布（student t distribution）: 1、t 分布是以 0 为中心的一簇曲线，每个自由度决定一个曲线2、自由度是一个抽样小样本中的具体观测值的个数（抽样样本含量）-13、总体样本呈正态分布（抽样样本含量较小时，要求总体样本呈正态分布，如果抽样样本含量很大（eg. n = 100） ，由中心极限定理可知抽样样本均数也近似正态分布，因而“差值”的概率也呈正态分布，而 t 分布的每一条曲线实际上都是正态分布曲线）4、从一个总体样本中抽取很
7、多个小样本抽样5、每个小样本都有一个均值6、每个小样本的均值与总体样本均值有一个差值，这个差值用 t 估计7、可能有多个小样本的差值估计都是 t，t 出现的次数占所有小样本的比例可以用一个概率衡量8、所有 t 值的概率组成一个分布，就是 t 分布的一个曲线9、另外做一个抽样，每个小样本包含的观测值不同，则形成 t 分布的另外一个曲线10、自由度越大，则曲线越接近于标准正态分布11、t 分布只与自由度相关t 分布的概率密度函数如下图（v 为自由度）：X2 分布（chi square distribution）：1、X 2 分布也是一簇曲线，每个自由度决定一个曲线2、自由度是一个抽样小样本中的具体
8、观测值的个数（抽样样本含量）-12、总体样本呈正态分布（抽样样本含量（n）较小时，要求总体样本呈正态分布）3、从总体样本中抽取 n 个观测值：z 1，z 2，z 3抽样4、将它们平方后求和，这个和用一个新变量表示，即 X25、重复抽样并获得多个 X2：X 12，X 22，X 32，X 426、可能有多次抽样的 X2 值相同，同一个 X2 值的抽样次数占总次数的比例可以用一个概率表示7、所有的概率值共同组成一个分布，就是 X2 分布 的一条曲线8、另外做一次，只要从总体中选取观测值数目 n 不同，得到的就是另外一条曲线10、自由度越大，则曲线越接近于标准正态分布11、X 2 分布只与自由度相关X2 分布的概率密度函数如下图（n 在这里为自由度）：F 分布（ F-distribution）：1、F 分布也是 一簇曲线， 每对自由度决定一个曲线2、自由度是一个抽样小样本中的具体观测值的个数（抽样样本含量）-12、两总体样本方差比的分布3、总体样本呈正态分布（抽样样本含量（n）较小时，要求总体样本呈正态分布）4、从总体样本中抽取两个样本， 两个样中的观测值数目可相同也可不同，分
