1、1 一平行板电容器的两极板都是半径为 的圆导体片，在充电时，其中电场强度的变化率为： 。试求： （1） 两极板间的位移电流 ； （2） 极板边缘的磁感应强度 。解: （1）如图所示,根据电容器极板带电情况，可知电场强度 的方向水平向右（电位移矢量 的方向与 的方向相同） 。 因电容器中为真空，故 。忽略边缘效应，电场只分布在两板之间的空间内，且为匀强电场。已知圆板的面积 ，故穿过该面积的 的通量为 由位移电流的定义式，得电容器两板间位移电流为 因 ，所以 的方向与 的方向相同，即位移电流的方向与 的方向相同。 （2）由于忽略边缘效应，则可认为两极板间的电场变化率是相同的，则极板间的位移电流是轴
2、对称分布的,因此由它所产生的磁场对于两板中心线也具有轴对称性。在平行板电容器中沿极板边缘作以半径为 的圆，其上 的大小相等，选积分方向与 方向一致，则由安培环路定理可得 （全电流）因在电容器内传导电流 ，位移电流为 ，则全电流为 所以 极板边缘的磁感应强度为 根据右手螺旋定则，可知电容器边缘处的磁感应强度 的方向，如图所示。2 一平行板电容器的两极板为圆形金属板，面积均为 ，接于一交流电源时，板上的电荷随时间变化，即 。试求： （1） 电容器中的位移电流密度的大小；（2） 设 为由圆板中心到该点的距离，两板之间的磁感应强度分布 。解: （1）由题意可知， ，对于平行板电容器电位移矢量的大小为
3、所以，位移电流密度的大小为 （2）由于电容器内无传导电流，故 。又由于位移电流具有轴对称性，故可用安培环路求解磁感应强度。设 为圆板中心到场点的距离，并以 为半径做圆周路径 。根据全电流安培环路定理可知 通过所围面积的位移电流为 所以 . 最后可得 3. 如图（ a）所示，用二面积为 的大圆盘组成一间距为 的平行板电容器，用两根长导线垂直地接在二圆盘的中心。今用可调电源使此电容器以恒定的电流 充电，试求： （1） 此电容器中位移电流密度； （2） 如图（b）所示，电容器中 点的磁感应强度； （3） 证明在此电容器中从半径为 厚度为 的圆柱体表面流进的电磁能与圆柱体内增加的电磁能相等。解:（1）
4、由全电流概念可知，全电流是连续的。电容器中位移电流密度 的方向应如图（ c）所示，其大小为 通过电源给电容器充电时，使电容器极板上电荷随时间变化，从而使极板间电场发生变化。因此，也可以这样来求 ： 因为 由于 ， 因此 所以 （2）由于传导电流和位移电流均呈轴对称，故磁场 也呈轴对称，显然过 点的 线应为圆心在对称轴上的圆，如图（c）所示。 根据全电流安培环路定理，将 用于此 线上，有得 所以 （3）在电容器中作半径为 厚度为 的圆柱体，如图（ d）所示。由坡印廷矢量 分析可知， 垂直指向圆柱体的侧壁，这表明电磁场的能量是从侧壁流入圆柱体内的。在单位时间内流入的能量为 因为 所以 由于传导电流
5、和位移电流都不随时间变化，故磁场和磁场的能量也都不随时间变化。但电容器中的电场是随时间增强的，故电场的能量是随时间增加的。图（d）中圆柱体内单位时间内增加的电场的能量为显然，单位时间内流入圆柱体的能量与圆柱体内增加的能量相等。4 如图所示，已知电路中直流电源的电动势为 电阻 ，电容器的电容 ，试求： （1） 接通电源瞬时电容器极板间的位移电流； （2） 时，电容器极板间的位移电流； （3） 位移电流可持续多长时间。 （通常认为经过 10 倍电路时间常数 后电流小到可忽略不计）解: 对 串联电路的暂态过程有 求解该方程得：，表示极板上的电荷量是随时间变化。在电容器内，由上题结论得电容器中的位移电
6、流为对应不同的情况，可求得 （1）在接通电源的瞬时 ，电容器极板间的位移电流 。 （2）当 时， （3）在 时可认为电流忽略不计，即 。所以 5 一球形电容器，其内导体半径为 ，外导体半径为 ，两极板之间充有相对介电常数为 的介质。现在电容器上加电压，内球与外球的电压为 ，假设 不太大，以致电容器电场分布与静电场情形近似相等，试求介质中的位移电流密度以及通过半径为 的球面的位移电流。解: 设电容器极板上带有电荷 ，由位移电流密度公式可知 由于球形电容器具有球形对称，用电场高斯定理求出球形极板间的电位移矢量为 （ 为径向单位向量） 球形电容器极板间的电势差为 与上式联立，消去 ，得 所以位移电流
7、密度为 在电容器中，作半径为 的球面 ，通过它的位移电流为的流向沿径向，且随时间变化。6 如图所示，电荷 以速度 向 点运动（ 到 点的距离以 表示） 。在 点处作一半径为 的圆，圆面与 垂直。试求通过该圆面的位移电流和圆周上各点处的磁感应强度 。 解: 电荷在其周围要激发电场，同时由于电荷运动，根据麦克斯韦假设，此时随时间变化的电场又激发磁场。设 时间穿过圆面上的电位移通量为 为使计算简便，可以 为球心， 为半径， 为小圆半径的底面，做一球冠，球面上各点的 的大小相等，穿过题意圆面的电位移通量与穿过球冠的电位移通量相等。即 代入位移电流的定义式，得 取半径为 的圆为积分回路 ，由麦克斯韦方程
8、，有 由于 运动沿圆面的轴线，系统具有对称性，所以环路上各点的 大小相等，即得 写成矢量形式有 这正是运动电荷产生的磁场公式。7 如图所示，由电容为 的电容器和自感系数为 的线圈构成一振荡电路，若忽略线路中的电阻，充电后电容器所带电量的幅值为 。试求： （1） 充电时电容器两极板间电位差随时间的变化率； （2） 电路中电流随时间的变化率； （3） 电场和磁场能量分别随时间的变化率。解:在图示中，将开关 先后扳向位置 2，1 使电容器充放电，便可在 电路中产生电流的周期性变化。设电路中电荷随时间的变化规律为 则电路中的充放电流为 由于在 电路中， ，所以回路的振荡频率 由题意可知，所以 代入电容器的电容公式，有表明电容器两极板间电压随时间作用周期性变化。 已知电路中电荷变化规律，则有 电容器储存的电场能量为线圈储存的磁场能量为整个电路系统的总能量 8.试证明麦克斯韦方程组中蕴含了电荷守恒定律。解: 由麦克斯韦方程 （ 为传导电流）设想闭合曲线缩小为一点，相应地以 为边界的曲面 将变成一个闭合面，在这种情况下有 ，即 因此传导电流 而 代入上式得 结果表明，如果一个地方没有电荷量的减小，就不可能从那里流出电荷来。这就是电荷守恒定律的数学表达式，因此麦克斯韦方程组中蕴含了电荷守恒定律。
