1、2015 暑期数学辅导第四章图形的相似知识点与经典题型（2015.7.28）知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)知识点2 比例线段的相关概念（1）如果选用同一单位量得两条线段 的长度分别为 ，那么就说这两条线段的比是 ，或写ba,nm, nmba成 注：在求线段比时，线段单位要统一。nmba:（2）在四条线段 中，如果 的比等于 的比，那么这四条线段 叫做成比例线段，dcba,和 dc和 dc,简称比例线
2、段注：比例线段是有顺序的，如果说 是 的第四比例项，那么应得比例式为：ab, a、d 叫比例外项，b、c 叫比例内项, a、c 叫比例前项，dc()bc在 比 例 式 ： ： 中 ，b、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果 b=c，即 那么 b叫做 a、d 的比例中项， 此时有d： ：。2a（3）黄金分割：把线段 分成两条线段 ，且使 是 的比例中项，即AB)(,BCAABC和，叫做把线段 黄金分割，点 叫做线段 的黄金分割点，其中AC0.618 即 简记为：215512C512长 短 全 长注：黄金三角形：顶角是 360的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点3 比例的性质
3、（注意性质立的条件：分母不能为0）（1） 基本性质： ； bcadcba: 2:abcac注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如 ，除bcad了可化为 ，还可化为 ，d， ， ， ， ， d:bd:（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()cabdabc， 交 换 内 项， 交 换 外 项 同 时 交 换 内 外 项（3）反比性质(把比的前项、后项交换)： abd（4）等比性质：如果 ，那么 )0(nfnmfedcba banfdbmeca注： 性质的证明运用了“设 法” （即引入新的参数 k）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例k计算变形中一种
4、常用方法 应用等比性质时，要考虑到分母是否为零2015 暑期数学辅导ED CBA可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立如：；其中 bafdbecafedcbafedcba 3232 032fd知识点 4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. 由 DEBC 可得： ACEBDAECDB或或注：重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要
5、破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知 ADBECF, 可得 等. ABDEBCEFABCCFADEF或 或 或 或【典型例题示范】1、若 2x5y=0，求 的值。 2、已知： =2求 的值。yx532dcbafefdbeca323、已知线段 AB=18 ， 点 C是 AB一个黄金分割点,求 AC的长。4、用平行线分线段成比例定理求线段的长度已知：如图，ABC 中，DEBC（1）若 AD=4 BD=2 AE=7求 EC。 （2）若 AD=4 AB=7 EC=10求 AE。（3）若 AB=10 AE=3 EC
6、=4求 DB。 （4）若 AD : AB=4 : 5 ,AEEC=3 求 AE，EC 的长。分析：平行出比，有下面的比 上：下=上：下 上：全=上：全 下：全=下：全 左：右=左：右FEDCBAEAB CD2015 暑期数学辅导【达标测评】1、等腰 RtABC 的直角边与斜边之比是_2、下列各组线段长度成比例的是（ ）（A）2cm，3cm，4 cm，1 cm （B）1.5cm，2.5cm，4.5cm，6.5cm（C）1.1cm，2.2cm，3.3cm，4.4cm （D）1cm，2cm，2cm，4cm3、已知点 M将线段 AB黄金分割，且 AMBM , 则下列各式中不正确的是（ ）(A) AM
7、：BM = AB ：AM (B) AM = AB215(C) BM = AB (D) AM0.618 AB2154、.现有三个数 1， ，2，请你再添上一个数 使它们成为比例式，想一想这样的比例式唯一吗？5、已知： ，求 的值。 6、若 ,且 2ab+3c=21.试求 ab：c.59ba 65432cba7、已知： ，求 k的值。abca能力题（师生共作）例 1 、运用平行线分线段解决“知二求二”这类题的解法。如图，在ABC 中，AD 是 BC边上的中线，过 B作射线 BE分别交 AC、AD 于 E、F，已知 ,求 的值51ADEC思路点拨：由已知 为线段的比，需作恰当平行线，构造线段的比，产
8、生含 的比例线段，并设法沟通51ADF已知比例式与未知比例式的联系。解：小结：当利用图中的线段无法得到比例线段时，可考虑添加平行线，其方法是添加成 A 字图或 X 字图。FAB CDE2015 暑期数学辅导FE DCBAGFEDCBA【达标测评】1、如图，在ABC 中，D、E 分别在 AB、AC 上，且 DEBC，AD = 3，AB = 5，CE = 1，那么 AC = _.2、如图，在ABC 中，DEBC，如果 ，那么 =_.12ADBEF3、如图，在ABC 中，BD 平分ABC，交 AC于 D，DEBC，交 AB于点 E，若 AB = 6，DE = 4，则 BC = _.4、如图，EFBC
9、，FDAB，AE = 18，BE = 12，CD = 14，则 BD = _.5、直角梯形 ABCD中，ADBC，DCBC，AD = 3，BC = 6，CD = 4，则 AO = _6、如图，已知平行四边形 ABCD中,G 是 DC延长线上一点，AG 交 BD和 BC于 E,F，求证： =AEEFEGAE7.已知：如图，已知 ABEFCD,求证： EFCDAB1第第1第第ED CBA FCBEDA第第2第第CBE DA第第3第第FCBE DA第第4第第2015 暑期数学辅导第四章图形的相似知识点与经典题型（2015.7.29）知识点 5 相似三角形的概念相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系
10、数)相似三角形对应角相等，对应边成比例注：对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边 顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的知识点 6 三角形相似的等价关系与三角形相似的判定定理的预备定理(1)相似三角形的等价关系：反身性：对于任一 有 ABCABC对称性：若 ，则 传递性：若 ，且 ，则 ABC(2) 三角形相似的判定定理的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似定理的基本图形：用数学语言表述是： ， BCDE/ADEBC知识点 7 三角形相似的判定方法1、定义法：三个对
11、应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似3、判定定理 1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似简述为：两角对应相等，两三角形相似4、判定定理 2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似5、判定定理 3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似简述为：三边对应成比例，两三角形相似6、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适
12、用(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似注 ：射 影 定 理 ： 在 直 角 三 角 形 中 ， 斜 边 上 的 高 是 两 直 角 边 在 斜 边 上 射 影 的 比 例 中 项 。 每 一 条 直 角 边 是 这条 直 角 边 在 斜 边 上 的 射 影 和 斜 边 的 比 例 中 项 。如 图 ， Rt ABC 中 ， BAC=90， AD 是 斜 边 BC 上 的 高 ，则 AD2=BDDC， AB2=BDBC ， AC2=CDBC 。(1)EAB
13、CD(3)DB CAE (2)CD EABDB CA2015 暑期数学辅导知识点 8 相似三角形常见的图形1、下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中1=2，则ADEABC 称为“斜交型”的相似三角形。 （有“反 A共角型”、“反 A共角共边型”、 “蝶型”）（3） 如图：称为“垂直型” “双垂直共角型” 、 “双垂直共角共边型（也称“射 影 定 理 型 ”） ” “三垂直型”也称 K字图） EE1242 E CAB DEAB C(D)(1)EAB CD(3)DB CAE (2)CD EABEA DCB
14、2015 暑期数学辅导(4)如图：1=2，B=D，则ADEABC，称为“旋转型”的相似三角形。2、几种基本图形的具体应用：（1）若 DEBC（A 型和 X型）则ADEABC（2）射影定理 若 CD为 RtABC 斜边上的高（双直角图形） 则 RtABCRtACDRtCBD 且 AC2=ADAB，CD 2=ADBD，BC 2=BDAB；EADCBEADCBA DCB（3）满足 1、AC 2=ADAB，2、ACD=B，3、ACB=ADC，都可判定ADCACB（4）当 或 ADAB=ACAE时，ADEACBAECADCBEADCB知识点 9：全等与相似的比较：三角形全等 三角形相似两角夹一边对应相等
15、(ASA)两角一对边对应相等(AAS)两边及夹角对应相等(SAS)三边对应相等(SSS)直角三角形中一直角边与斜边对应相等(HL)两角分别相等两边成比例，且夹角相等三边成比例直角三角形中斜边与一直角边对应成比例知识点 10 相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比(3)相似三角形周长的比等于相似比(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方注：相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等 2015 暑期数学辅导知识点 11 相似三角形中有关证 （解）题规律与辅助线作法1、证明四条线段成比例
16、的常用方法：(1)线段成比例的定义(2)三角形相似的预备定理(3)利用相似三角形的性质(4)利用中间比等量代换(5)利用面积关系2、证明题常用方法归纳：（1）总体思路:“等积”变“比例” ， “比例”找“相似”(2)找相似：通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.(3)找中间比：若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这 几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)，常用的
17、“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.即：找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。 )(,为 中 间 比nmdcba,nmdcnba ), 或(4) 添加辅助线：若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成比例.以上步骤可以不断的重复使用，直到被证结论证出为止.注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。平面直角坐标系中通常是作垂线（即得平行线）构造相似三角形或比例线段。（5）比例问题：常用处理方法是将“一份”看着 k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为 k。（6） 对于复杂的几何图形，通常采用将部分需要的图形（
18、或基本图形） “分离”出来的办法处理。口诀：1、遇乘积化比例，横找竖找定相似，不相似，不着急，等线等比来代替2、几何证明题：分析从求证入手，做题从已知出（分析在草稿上完成）知识点 12 相似多边形的性质(1)相似多边形周长比，对应对角线的比都等于相似比(2)相似多边形中对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比(3)相似多边形面积比等于相似比的平方注意：相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决，因此，熟练掌握相似三角形知识是基础和关键2015 暑期数学辅导【典型例题示范】【例 1】 如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠
19、，此时他距离该塔 18 m，已知小明的身高是 1.6 m，他的影长是 2 m(1)图中ABC 与ADE 是否相似?为什么? (2)求古塔的高度【例 2】ABC 中，DEBC，M 为 DE 中点，CM 交 AB 于 N，若 ，求 .解【变式 1】已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下 1.5m 宽的亮区 DE.亮区一边到窗下的墙脚距离 CE=1.2m，窗口高 AB=1.8m，求窗口底边离地面的高 BC？ 2015 暑期数学辅导类型六、综合探究【达标检测】1在平行四边形 ABCD中，E 是 AD上一点，BE 与 AC相交于 P，与 CD延长线相交于 Q，EFAB，交 AC于 F，求证：（
20、1）AFDQ=ABCF （2）AP 2=PFPC9如图，ABCD，A=90，AB=2 ，AD=5 ，P 是 AD 上一动点( 不与 A、D 重合)，PEBP，P 为垂足，PE 交 DC 于点 E， (1)设 AP=x，DE=y，求 y 与 x 之间的函数关系式，并指出 x 的取值范围；(2)请你探索在点 P 运动的过程中，四边形 ABED 能否构成矩形？如果能，求出 AP 的长；如果不能，请说明理由.解：(1)AB CD ， A+D=180A=90， D=90，A=D又PEBP ， APB+DPE=90 ，又APB+ABP=90， ABP=DPE，ABPDPE ，即(2)欲使四边形 ABED 为矩形，只需 DE=AB=2，即 ，解得 ， 均符合题意，故 AP=1 或 4.PEA DB CQF
