1、用心 爱心 专心 1第 21 讲 三角函数的定义、图像与性质本专题涉及到任意角的三角函数定义、同角三角函数关系、诱导公式；三角函数的图像及其变换和三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等性质，三角函数的定义是三角函数系列知识的源头A 类例题例 角 的终边分别是 和 ， 过点 ，且 ，,OAB(sin,co)M02和 关于直线 对称，则角 的集合是( )OByx 2,kZ2,kZ (2001 年第 12 届“希望杯”全国数学邀请赛)分析 根据角的终边所在的象限确定选项解 由 知 位于第二象限，从而 点关于直线 的对02(sin,co)MMyx称点在第四象限，即角 是第四象限角故选( )A
2、例 2 若 是周期为 的奇函数，则 可以是( )()sifx fx incoxsin2cos2(1999 年全国高考卷)分析 采用分析验证和用定义求解的方法解法一(分析验证) 因为 是奇函数且不恒为零，所以 必须是偶函数，由此排si ()fx除 项，进而验证知 选项满足题意故选( ),ACBB解法二(定义求解) 依题意函数 满足()sinfx，由 的任意性得sin()i)(fxf，()(fxf所以 ，即函数 是周()()(2)fffxfx()fx期为 的偶函数，只能选2B说明 作为选择题解法一直接简明，而解法二揭示了问题的本质，在此基础上可以构造出无数个满足题意的 ()fx例 示波器荧屏上有一
3、正弦波，一个最高点在 ，与 相邻的最低点 ，(3,5)B(7,)C用心 爱心 专心 2则这个正弦波对应的函数是 (2003 年第 14 届“希望杯”全国数学邀请赛)分析 设出其解析式，利用正弦函数图像的性质求解解 设 ，由正弦函数图像的性质可得振幅 ，周sin()yAxB 5(1)32A期 ，频率 ， ，将 坐标代入，得初相2(73)8T24T512(3,)B，故所求表达式为4sin()24yx说明 在本题中函数的表达式不唯一情景再现1方程 在区间 上解的个数是( )3tan(2)x0,2.5A.4B.C.D 当 ，求函数 的最大值和最小值,()sin3cosfxx函数 的图象与直线 有且仅有
4、两个不同的交点，2,0|si|2in)(xf ky则 的取值范围是_kB 类例题例 方程 的实根有多少个?21logsin(5)5x分析 仅仅判断根的个数，基本方法是利用函数的图像数形结合求解解 原方程实根的个数即为两个函数 和 图像的交点的个数21logyxsin(5)yx由于 ，所以只需考虑 sin1x3(1)当 时，由于函数 的最小正周期是 ，所以在其范围内函数32sin(5)yx25的图像出现两次，在 轴下方有四个交点;si(5)yx(2)当 时，其范围的长度是周期的 倍，由于 时 所以有1121xsin0x个交点;724(3) 时两个函数也有一个交点x综上所述原方程共有 个实根154
5、9说明 利用函数的图像来确定某些特殊的非常规方程的实根个数是一条十分重要的途径在“数形结合”时，特别强调“以数定形” ，如方程 的解只有一个（当sinx时， ） (0,)2xsinx用心 爱心 专心 3例 在平面直角坐标系 中，函数 在一个最小正周xOy()sinco(0)fxaxa期长的区间上的图像与函数 的图像所围成的封闭图形的面积是 2()1g(2004 年全国高中数学联赛)分析 利用正弦函数图像的对称性补形转化求解解 ，它的最小正周期为 ，振幅2(1sin(),arctnfxax2a为 由 的图像与 的图像围成的封闭形的对称性，可将该图形割补成2)fg长为 ，宽为 的长方形，故它的面积
6、为 a2 21a例 若 ，则 的最大值是 5,13xtn()tn()cos()36yxxx(2003 年全国数学联赛)分析 化弦后利用单调性求解解，由于函数22tan()cot()cos()336yxxx2cos()6sin()3xx的每一部分在给定区间上都是增函数，所以当 时取最大值为 13例 已知函数 是 R 上的偶函数，其图像关于点()sin)(0,)fx对称，且在区间 是单调函数，求 和 的值3(,0)40,2分析 运用三角函数对称的特征求解，也可用偶函数和关于点对称的定义求解解法一 由偶函数关于 轴对称，知当 时函数 取最大值或最小值，所以x0x()fx又 所以 ;另一方面函数 的图
7、像关于点 对称，此点sin1,02f3,0)4是函数图像与 轴的一个交点，所以当 ， ，即x34xsin()2， ， 3cos,4k(1)k0,当 时， 在 上是减函数;0k22,()sin33fx,当 时， 在 上是减函数;1)当 时， 在 上不是减函数2k()sifx0,2用心 爱心 专心 4综上所述 或 23,2解法二 由 是偶函数，得()fx()fxf即 ，所以 对任意 都成立，只能sinsincosincosinxx是 ，又 ，所以 co02由 的图像关于点 对称，得 ，令 得 ，()fx3(,0)433()()44fxfx03()04f以下同解法一例已知 R，且,ya，则 3sin
8、204coxcos(2)xy分析 构造函数用单调性求解，或利用函数的奇偶性和函数图像特征求解解法一 由已知得 ，33si()sin()xa现构造函数 ，由此得 ，而函数 在 上是增函()nftt2fxy()ft,4数，所以有 ，即 2,0xycos()1解法二 记 ， ，于是3()infxxa3()2sin()2gyya，又 分别是 R 上的增函数，所以它们的图像与3()singxxa,()y轴只有一个交点，而 3()si2gx，3()si2x()f即 ，f所以函数 与 的图像关于原点对称，那么它们的交点也关于原点对称()yfx()g记 的根分别是 ，则 ，()0,f ,2xy1(2)0xy所
9、以 cos2xy1情景再现函数 的最小正周期是 42sinx已知 R，则函数x用心 爱心 专心 5的最大值与最小值的和是 sinco()maxsi,c2xf 若函数 在区间 上至少出现 次最大值，则 的最小值是 i(0)y,150C 类例题例 两个周期函数 的最小正周期分别为 ，且 ，其中 如12,y,abna2,nN果函数 的最小正周期为 ，那么下列 种情形： ， ， 12yt5tt， ， 可能出现的情形是 （填写序号）tbtab分析 周期是三角函数的重要性质，构造三角函数回答解 由题意知 是 的周期，所以 ，情形不可能出现；由 知如12yt21y果 ，那么 也是 的最小正周期，矛盾，所以情
10、形不可能出现；其它三种情形都ta有可能出现下面的例子说明其它三种情形是可能的：取 ，则其最小2sin3xy正周期是 令 ，此时 ；令 ，此时6b12sin3xy,ata1si；令 ，此时 2,3,atat6tb所以可能出现的情形是例 1 函数 ，当22()cosincosiFxxxAB时的最大值 与参数 有关，问 取什么值时 为最小?证明你的结论30,2xM,AB,M(1983 年全国数学联赛)分析 在 是最大值的前提下通过特殊值构造不等关系， 并结合函数图像直观分析解法一(数形结合分析)（1）若 ， 则当0|)42sin(|)(xxF时， 的最大值 M 为 89,5x)(xF2（2）若 ，
11、，此时 M=0AB|)4sin(| Bx|2|,ma| （3）若 ， ，若 时，|)2si(|)(AxxF0用心 爱心 专心 6 ，此时 ；若 时，|82|)8(AF2M0A，此时也有 |5|5（4）若 如图，直线 必有一部分在第一或第四象限，与射线0,ABBxy中至少一条相交，交点处两函数 与 函数值同号，321,l A)42sin(xy其和的绝对值必小于 ，因此也有 22M说明 问题的关键就是考察三个函数值 的值，从而得：59(),()88F解法二 由 ，将这三个函数值综合起来考虑|892|)( |5|85|)(BAF当 时同上，当 A0 时讨论如下：0A（1）若 0，则 ；B85)5(（
12、2）若 0， 与ABA84)(89至少有一个大于 0，即 或 至少有A4)( 2)9(F2)8(一个成立，因此总有 2M从而当且仅当 时， ，其他情况下均有 0B2M情景再现已知当 时，不等式 恒成立，试求 的1,x 0sin)1(cos22 xx 取值范围 （1999 年全国高中数学联赛题）习题 若角 是第四象限的角，则 是( )第一象限 第二象限 第三象限 第四象限关于函数 ，有下列命题：()4sin(2)3fxxR 是以 为最小正周期的函数；y 的表达式可以改写为 ；()fx4cos(2)6yx 的图像关于点 对称；y(,0)6用心 爱心 专心 7 的图像关于直线 对称()yfx6x其中
13、正确的命题的序号是_ （注：把你认为正确的命题的序号都填上 ）若 是锐角 的两个内角，则点 在第 ,ABC(cosin,sco)PBA象限设 是定义域为 R，最小正周期为 的函数，若()fx32，则 的值是 cos,0)()2in(xf15()4f设关于 的方程 ，其中 ，则该方程实根的22sin(cos3)0,2最大值是 ，实根的最小值是 关于 角的函数 ，当 时恒大于 ，则实数c4ya,0的取值范围是 a已知函数 满足()sin)(0,)fxxR12f若 ，则 与 的大小关系是sin(9),si(9)AxBxAB已知函数 ，在下列条件中分别求实数 的值si2coyaa(1)函数图像关于原点
14、对称;(2)函数图像关于直线 对称8x设 分别是方程 和 在区间 上的解，确定,cos(in)xsi(co)x(0,)2的大小关系三个数 a,b,c ，且满足 ， ， ，按从小)2,0(acsbcsincsino到大的顺序排列这三个数 （16 届全苏竞赛题）已知集合 是满足下列性质的函数 的全体;M()fx存在非零常数 ，对任意 ，有 成立若函数 ,TxRT()sinfxkM求实数 k 的取值范围已知：定义在 R 上的函数 为奇函数，且在 上是增函数)(f ),0用心 爱心 专心 8若不等式 对任意 恒成立求实数 的取值范0)sin2()3(cosmff Rm围本节“情景再现”解答：1解 本题
15、实质是函数周期性的应用函数 的最小正周期 ，而区tan(2)3yx2T间长度是 ，是周期的 倍，而正切函数在每个周期内是单调的，故解的个数为 选24 4B解 化成一个角的一个三角函数形式，用函数的单调性求解， ，由 及正弦函数的单调性知其最大()sin()3fx,2x5,36x值为 ，最小值为 21解 ，作出其图像，可知有两个交点时的 的范围为i,0()s(fx k31k解 42cosiny222cos(1in)six2 7iico48x所以函数 的最小正周期为 42csyx2解 注意到 sinc()masi,coxf ，显然 的最大值为 ，可以通过作出 和axsin,coi()4x()f1s
16、inyx的图像得到 的最小值是 ，在 时取得，yasin,cox2524xk而此时 的值为 ，所以 的最小值是 ，从而最大值与最小值的和sin()4x1()f是 21解 函数在一个周期内只能取得一个最大值，其图像从原点开始并注意到可在端点 处1取到最大值，所以在区间 内至少有 周期再加 个周期，由 得0,14912(49)，即 的最小值是 197272解设 ， 则由 时 恒成立，sin)(cos)( 22xxxf 1,0x0)(xf用心 爱心 专心 9DCBA有 ， ，0sin)(f 0cos)1(f22coin(1)sincoxxx2(1)si()，当0)csi2(i)(c2 xxx时， ，
17、令 ，则ossinin)1coscossin0x， ，故 ，即10x )2si)(2)(00 xf 21i，且 ，所求范围是：2sincos,sin Zkk,51反之，当 时，有 ，且 ，Zkk,12512sin0cossin于是只要 ，必有 恒成立,0x0)(xf“习题”解答：解 利用诱导公式推导的方法确定选项角 和角 的终边关于 轴对称，所以角 的终边在第一象限，又角 和角x的终边关于原点对称，所以角 的终边在第三象限故选( )C解 作出函数 的图像，由其直观性可知正确命题的序号是()yf解 由正弦函数的单调性和诱导公式求解因为 是锐角三角形，所以ABC，即 ，所以 ，09AB00,9AB
18、sinco，点 应在第二象限sincoP解 由周期性和诱导公式求解15()4f3()()24ff2sin解 数形结合求解设两实根分别为 ，则,，于是 ，又由 知2sinco22()10,20于是满足条件 且 的点2102在如图所示的(,)用心 爱心 专心 10弧 或 上ABCD由此可知实根的最大值为 ，实根的最小值是3DBxy5ACxy解 可以转化为二次函数求最小值，由最小值大于 求出 的范围现用分离变量的0a方法求解由 ，cos2s40,2a得 ，而 ，由基本不等式得其最大2cos2(cos)4s值是 ，故 424a解 发现函数 的周期性，运用周期变换求解()fx由 得 ，两式相加得()12
19、fx(1)(2)(3)fxffx，即得 ，从而可知 是以 为周期的函数，所以3()f669Afx3()fx，即 与 的大小关系是 ()BAAB解 ，其中 ，2sin2cos1sin()yxaaxtan(1)关于原点对称则有 ，所以 ;i0,k0(2)关于直线 对称则有 ，即 ，所以8xsi()1434ktan1解 构造函数，运用其单调性求解记 ，因为 ，()cosi),02fxx(0)1f，所以 在 上有根，又 在 上单调递减，12()fx,()fx0,2所以 在 上的根 是唯一的()fx(,)同样记 ，由 及 在 上单调递减，所以sincogx(0),()02g()gx,在 上的根 存在且是唯一的()0x(,)2由 两边取 得 cosisiincos(i)sin由于 的解是唯一的，所以 ，n()x
