1、拔高题目 量力而行- 第 1 页拔高相似三角形习题集适合人群：老师备课，以及优秀同学拔高使用。一、基础知识（不局限于此）(一).比例1.第四比例项、比例中项、比例线段；2.比例性质：（1）基本性质： bcadcbacb2（2）合比定理： （3）等比定理： )0.(ndbndbmndc 3.黄金分割：如图，若 ，则点 P 为线段 AB 的黄金分割点ABP24平行线分线段成比例定理(二)相似1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形 .2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例 ,对应角相等.3.相似三角形的判定 （1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 （2
2、）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。 （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。4. 相似三角形的性质 （1）对应边的比相等，对应角相等. （2）相似三角形的周长比等于相似比. （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方. （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比.5.三角形中位线定义: 连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线.三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。6.梯形的中位线定义：梯形两腰
3、中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半.7.相似三角形的应用:、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式） ；、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求建筑物的高度等。(三)位似:位似位似 :如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为位似比. 位似位似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比二、经典例题例 1. 如图在 44 的正方形方格中，ABC 和DEF
4、 的顶点都在长为 1 的小正方形顶点上BA P拔高题目 量力而行- 第 2 页（1）填空：ABC=_，BC=_（2）判定ABC 与DEF 是否相似？考点透视本例主要是考查相似的判定及从图中获取信息的能力.参考答案 135，2 能判断ABC 与DEF 相似，2ABC=DEF=135， =ABCDEF【点评】注意从图中提取有效信息，再用两对应边的比相等且它们两夹角相等来判断例 2. 如图所示，D、E 两点分别在 ABC 两条边上，且 DE 与 BC 不平行，请填上一个你认为适合的条件_，使得ADEABC考点透视本例主要是考查相似的判定参考答案 1=B 或2=C，或 AEBC点评：结合判定方法补充条
5、件例 3. 如图，王华晚上由路灯 A 下的 B 处走到 C 处时，测得影子 CD的长为 1 米，继续往前走 2 米到达 E处时，测得影子 EF 的长为 2 米，已知王华的身高是 1.5 米，那么路灯 A 的高度等于（ ）A4.5 米 B6 米 C7.2 米 D8 米考点透视本例主要是考查相似的应用参考答案 B例 4. 如图，ABC 是一块锐角三角形余料，边 BC=120mm，高 AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？考点透视本例主要是考查相似的实际应用参考答案 48mm【点评】解决有关三角形的内接正方
6、形（或矩形）的计算问题，一般运用相似三角形“对应高之比等于相似比”这一性质来解答例 5.如图所示，在ABC 中，AB=AC=1，点 D、E 在直线 BC 上运动，设 BD=x，CE=y（1）如果BAC=30，DAE=105，试确定 y 与 x 之间的函数关系式；（2）如果BAC 的度数为 ，DAE 的度数为 ，当 、 满足怎样的关系式时， （1）中 y 与 x之间的函数关系式还成立，试说明理由考点透视本例主要是考查相似与函数的综合运用.参考答案解:在ABC 中，AB=AC=1，BAC=30，ABC=ACB=75，ABD=ACE=105又DAE=105，DAB+CAE=75又DAB+ADB=AB
7、C=75，CAE=ADB，ADBEAC， ，y= 1,ABDxECy、当 1 满足 - =90，y= 仍成立21此时DAB+CAE=-，DAB+ADB=-，CAE=ADB又ABD=ACE，ADBEAC，y= x【点评】确定两线段间的函数关系，可利用线段成比例、找相等关系转化为函数关系例 6. 一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm3.5cm，放映的荧屏的规格为2m2m，若放映机的光源距胶片 20cm 时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？解析：胶片上的图象和荧屏上的图象是位似的，镜头就相当于位似中心，因此本题可以转化为位似问题拔高题目 量力而行- 第
8、3 页解答考点透视本例主要是考查位似的性质.参考答案 m807【点评】位似图形是特殊位置上的相似图形，因此位似图形具有相似图形的所有性质三适时训练（一）精心选一选1梯形两底分别为 m、n，过梯形的对角线的交点，引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长为（ ） （A） （B ） （C ） （D）2nmn22如图，在正三角形 ABC 中，D，E 分别在 AC，AB 上，且 ，AE BE，则（ ）AC31（A）AEDBED（B）AED CBD（C）AEDABD（D ）BADBCD题 2 题 4 题 53P 是 RtABC 斜边 BC 上异于 B、C 的一点，过点 P 作直线截ABC，使截得的三角形与A
9、BC 相似，满足这样条件的直线共有（ ）（A）1 条 （B）2 条 （C）3 条 （D）4 条4如图，ABDACD，图中相似三角形的对数是（ ）（A）2 （B）3 （C）4 （D）55如图，ABCD 是正方形，E 是 CD 的中点，P 是 BC 边上的一点，下列条件中，不能推出ABP 与ECP 相似的是（ ）（A）APB EPC （B） APE90（C ）P 是 BC 的中点（D）BPBC236如图，ABC 中，ADBC 于 D，且有下列条件：（1）BDAC90；（2）BDAC；（3） ；（4）AB 2BD BCABC其中一定能够判定ABC 是直角三角形的共有（ ）（A）3 个 （B）2 个
10、（C）1 个 （D）0 个题 6 题 7 题 87如图，将ADE 绕正方形 ABCD 顶点 A 顺时针旋转 90，得ABF，连结 EF 交 AB 于 H，则下列结论中错误的是（ ）（A）AEAF （B）EFAF 1（C）AF 2FHFE （D）FBFCHBEC28如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是 AD 上任意一点，则有（ ）（A）ABE 的周长 CDE 的周长BCE 的周长（B）ABE 的面积CDE 的面积BCE 的面积拔高题目 量力而行- 第 4 页（C）ABE DEC（D）ABEEBC9如图，在 ABCD 中，E 为 AD 上一点，DE CE 23，连结 AE、BE、BD，且 AE、
11、BD 交于点 F，则 SDEF S EBF S ABF 等于（ ）（A）41025 （B）4925 （C）235 （D）2525题 9 题 10 题 1110如图，直线 ab，AFFB35，BCCD31，则 AEEC 为（ ） （A）512 （B）95 （C）125 （D）3211如图，在ABC 中，M 是 AC 边中点，E 是 AB 上一点，且 AE AB，连结 EM 并延长，交 BC 的41延长线于 D，此时 BCCD 为（ ）（A）21 （B）32 （C）31 （D）5212如图，矩形纸片 ABCD 的长 AD9 cm，宽 AB3 cm，将其折叠，使点 D 与点 B 重合，那么折叠后DE
12、 的长和折痕 EF 的长分别为（ ）（A）4 cm、 cm （B）5 cm、 cm（C ）4 cm、2 cm （D ）5 cm、2 cm010 3题 12（二）细心填一填13已知线段 a6 cm，b2 cm，则 a、b、ab 的第四比例项是_cm，ab 与ab 的比例中项是_cm14若 m 2，则 m_cc15如图，在ABC 中，ABAC 27，D 在 AC 上，且 BD BC 18，DEBC 交 AB 于 E，则DE_16如图， ABCD 中，E 是 AB 中点，F 在 AD 上，且 AF FD，EF 交 AC 于 G，则21AGAC_题 16 题 17 题 1817如图，ABCD，图中共有
13、_对相似三角形18如图，已知ABC，P 是 AB 上一点，连结 CP，要使ACP ABC，只需添加条件_（只要写出一种合适的条件） 拔高题目 量力而行- 第 5 页19如图，AD 是ABC 的角平分线，DEAC，EFBC，AB15，AF4，则 DE 的长等于_题 19 题 20 题 2120如图，ABC 中，AB AC ，ADBC 于 D，AEEC，AD18，BE15，则ABC 的面积是_21如图，直角梯形 ABCD 中，ADBC，ACAB，AD8，BC10，则梯形 ABCD面积是_22如图，已知 ADEF BC，且 AE2EB ，AD 8 cm，AD8 cm，BC14 cm，则 S 梯形 A
14、EFD S 梯形 BCFE_(三)认真答一答23.方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形请你在图示的1010 的方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明（要求所画三角形是钝角三角形，并标明相应字母） 24. 如图，ABC 中，CD AB 于 D，E 为 BC 中点，延长 AC、DE 相交于点 F，求证 BCAF拔高题目 量力而行- 第 6 页25. 如图，在ABC 中，ABAC，延长 BC 至 D，使得 CDBC，CE BD 交 AD 于 E，连结 BE 交 AC于 F，求证 AFFC26. 已知：如图，F 是四边形 ABCD 对角线 AC 上一点
15、，EFBC，FGAD求证： 1ABECDG27. 如图，BD、CE 分别是ABC 的两边上的高，过 D 作 DGBC 于 G，分别交 CE 及 BA 的延长线于F、H，求证：（1）DG 2BGCG；（2）BGCGGFGH28. 如图，ABCCDB90，AC a，BC b（1）当 BD 与 a、b 之间满足怎样的关系时， ABC CDB？（2）过 A 作 BD 的垂线，与 DB 的延长线交于点 E，若 ABCCDB求证四边形 AEDC 为矩形（自己完成图形） 29. 如图，在矩形 ABCD 中，E 为 AD 的中点，EFEC 交 AB 于 F，连结 FC拔高题目 量力而行- 第 7 页（ABAE
16、） （1）AEF 与EFC 是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；（2）设 k，是否存在这样的 k 值，使得AEF BFC，若存在，证明你的结论并求出 kBCA的值；若不存在，说明理由30. 如图，在 RtABC 中，C 90，BC6 cm，CA8 cm，动点 P 从点 C 出发，以每秒 2 cm 的速度沿 CA、AB 运动到点 B，则从 C 点出发多少秒时，可使 SBCP SABC ？4131. 如图，小华家（点 A 处）和公路（L）之间竖立着一块 35m长且平 行于公路的巨型广告牌（DE） 广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点 A 的盲区，并将盲区内的那段公路设为 BC
17、一辆以 60km/h 匀速行驶的汽车经过公路段 BC 的时间是 3s，已知广告牌和公路的距离是 40m，求小华家到公路的距离（精确到 1m） 32. 某老师上完“三角形相似的判定”后，出了如下一道思考题：如图所示，梯形 ABCD 中，ADBC，对角线 AC、BD 相交于 O，试问：AOB 和DOC 是否相似？某学生对上题作如下解答：答：AOBDOC理由如下：在AOB 和DOC 中，ADBC， ，ADOCBAOB=DOC，AOBDOC请你回答，该学生的解答是否正确？如果正确，请在每一步后面写出根据；如果不正确，请简要说拔高题目 量力而行- 第 8 页明理由33. 如图：四边形 ABCD 中，A=
18、BCD=90，过 C 作对角线 BD 的垂线交 BD、AD 于点 E、F，求证：；如图：若过 BD 上另一点 E 作 BD 的垂线交 BA、BC 延长线于 F、G，又有什么DAFC2结论呢？你会证明吗？BEG34. 阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下 2.7m 宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高 AB=1.8m,求窗口底边离地面的高 BC.35. （1）如图一，等边 ABC 中，D 是 AB 上的动点，以 CD 为一边，向上作等边EDC，连结AE。求证：AE/BC；（2）如图二，将(1) 中等边 ABC 的形状改成以 BC 为底边的等腰三角形。所作 EDC
19、 改成相似于ABC。请问：是否仍有 AE/BC？证明你的结论。36. 如图，从O 外一点 A 作O 的切线 AB、AC，切点分别为 B、C，且O 直经 BD=6，连结CD、AO。 （1）求证：CDAO；拔高题目 量力而行- 第 9 页（2）设 CD=x，AO=y，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（3）若AO+CD=11，求 AB 的长。37. 已知：如图，在正方形 ABCD 中，AD = 1，P、Q 分别为 AD、BC 上两点，且 AP=CQ，连结AQ、BP 交于点 E，EF 平行 BC 交 PQ 于 F，AP、BQ 分别为方程 的两根.（1）求02nmx的值（
20、2）试用 AP、BQ 表示 EFm（3）若 SPQE = ，求 n 的值8138. 如图，在平面直角坐标系中，已知 OA=12cm，OB=6cm，点 P 从 O 点开始沿 OA 边向点 A 以 1cm/s的速度移动：点 Q 从点 B 开始沿 BO 边向点 O 以 1cm/s 的速度移动，如果 P、Q 同时出发，用t(s)表示移动的时间（ ） ，那么：06t（1）设POQ 的面积为 ，求 关于 的函数解析式。y（2）当POQ 的面积最大时， POQ 沿直线 PQ 翻折后得到PCQ，试判断点 C 是否落在直线 AB 上，并说明理由。（3）当 为何值时， POQ 与AOB 相似？t39. 如图，矩形
21、 PQMN 内接于 ABC ，矩形周长为 24，ADBC 交 PN 于 E，且 BC10，AE16，求ABC 的面积40. 已知：如图，ABC 中，ABAC ，AD 是中线，P 是 AD 上一点，过 C 作CFAB，延长 BP 交 AC 于 E，交 CF 于 F求证：BP 2PEPFO P A XYBQ拔高题目 量力而行- 第 10 页PO41.(09 延庆一模) 在 Rt ABC 中，C=90 ， BC=9， CA=12， ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D， DE DB 交 AB 于点 E， O 是 BDE 的外接圆，交 BC 于点 F（1）求证: AC 是 O 的切线;（2）联结
22、 EF， 求 的值 .FAC42.(09 东城一模) 请阅读下列材料：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等即如右图 1,若弦 AB、CD 交于点 P 则 PAPB=PCPD请你根据以上材料，解决下列问题.已知O 的半径为 2，P 是O 内一点，且 OP=1，过点 P 任作一弦 AC，过 A、C 两点分别作O 的切线m 和 n，作 PQm 于点 Q， PRn 于点 R.（如图 2）(1)若 AC 恰经过圆心 O,请你在图 3 中画出符合题意的图形，并计算： 的值；PRQ1(2)若 OPAC, 请你在图 4 中画出符合题意的图形，并计算： 的值；1(3)若 AC 是过点 P 的任一弦（图 2）, 请你结合(1)(2)的结论, 猜想： 的值，并给出证明PRQPO（图 3） （图 4）RQnmCAPO（图 2）POABDC（图 1）A C E O B FD （第 41 题）
