1、 第 1 页 共 5 页等边三角形(提高)【学习目标】1. 掌握等边三角形的性质和判定.2. 掌握含 30角的直角三角形的一个主要性质3. 熟练运用等边三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算【要点梳理】要点一、等边三角形等边三角形定义:三边都相等的三角形叫等边三角形. 要点诠释:由定义可知,等边三角形是一种特殊的等腰三角形也就是说等腰三角形包括等边三角形要点二、等边三角形的性质等边三角形的性质:等边三角形三个内角都相等,并且每一个内角都等于 60.要点三、等边三角形的判定等边三角形的判定:(1)三条边都相等的三角形是等边三角形;(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;(3)有一个角是 60的
2、等腰三角形是等边三角形要点四、含 30的直角三角形含 30的直角三角形的性质定理:在直角三角形中,如果有一个锐角是 30,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点诠释:这个定理的前提条件是“在直角三角形中” ,是证明直角三角形中一边等于另一边(斜边)的一半的重要方法之一,通常用于证明边的倍数关系.【典型例题】类型一、等边三角形1、已知:如图,B、C、E 三点共线, ABC, DE都是等边三角形,连结 AE、BD 分别交 CD、AC于 N、M,连接 MN.求证:AEBD,MNBE.证明: ABC, DE都是等边三角形BCAC,CECD,1360123180260 ECABD在 和 中第 2 页
3、共 5 页CEDAB(已证)BCDACE (SAS)BDAE(全等三角形对应边相等)54(全等三角形对应角相等)在 BM和 AN中21C(已证)BMCANC(ASA)MCNC(全等三角形对应边相等)260MCN 是等边三角形(有一个角为 60的等腰三角形是等边三角形)660,61MNBE(内错角相等,两直线平行)【总结升华】本题应从等边三角形的性质出发,利用三角形全等证明 AEBD;为证明 MNBE,可先证明MNC 为等边三角形,再利用角去转化证明.举一反三:【变式】 (2014 秋 利通区校级期末)如图, ABD, ACE 都是正三角形,BE 和 CD 交于 O 点,则BOC= 度【答案】1
4、20解:ABD , ACE 都是正三角形AD=AB,DAB=EAC=60 ,AC=AE,DAC=EABDACBAE(SAS)DC=BE,ADC=ABE,AEB=ACD,BOC=CDB+DBE=CDB+DBA+ABE=ADC+CDB+DBA=1202、如图,ABC 为等边三角形,延长 BC 到 D,延长 BA 到 E,使 AEBD,连接 CE、DE. 求证:CEDE.第 3 页 共 5 页EDCBA【思路点拨】此题如果直接找含有 CE 和 DE 的三角形找不到,也不方便证ECDEDC,联想的全等三角形的性质,把原等边ABC 扩展成大等边BEF 后,易证EBCEFD.【答案与解析】证明:延长 BD
5、 至 F,使 DFAB,连接 EFABC 为等边三角形ABBC, B60AEBD,DFABAEABBDDF即 BEBFBEF 为等边三角形BEEF, F60在EBC 与EFD 中DFBCEEBCEFDECED【总结升华】本题主要考查了等边三角形的性质,全等三角形的判定,关键是在现有图形不能解决问题时,将原图补全成为有对称美感的等边三角形,对学生综合运用知识解答问题的能力要求较高.举一反三:【变式】如图所示,ABC 是正三角形,BDC 是顶角BDC120的等腰三角形,以 D 为顶点作一个 60角,角的两边分别交 AB、AC 边于 M、N 两点,连接 MN试探究线段 CN、BM、MN 之间的关系,
6、并加以证明【答案】对于此类题,三条线段之间的关系一般是它们的和差关系,证明方法通常采用截长补短法 证明:如图所示,延长 AC 至 M1,使 CM1BM ,连接 DM1 ABC 是正三角形, ABCACB 60 BDC120 ,且 BDCD, DBCDCB 30FEDCBA第 4 页 共 5 页 ABDACD90又 BDCD,BM CM 1, RtBDMRtCDM 1(SAS) DMDM 1,BDMCDM 1, MDM 1MDCCDM 1MDCBDMBDC120又 MDN60 M 1DNMDN60又 DMDM 1,DNDN, MDNM 1DN(SAS) MNM 1NNC M 1CCNBM3、 (
7、2014 春 宜宾校级期末)如图所示,某船上午 11 时 30 分在 A 处观测海岛 B 在北偏东 60方向,该船以每小时 10 海里的速度航行到 C 处,再观测海岛 B 在北偏东 30方向,又以同样的速度继续航行到 D处,再观测海岛在北偏西 30方向,当轮船到达 C 处时恰好与海岛 B 相距 20 海里,请你确定轮船到达 C 处和 D 处的时间解: 在 A 处观测海岛 B 在北偏东 60方向, BAC=30,C 点观测海岛 B 在北偏东 30方向, BCD=60,BAC=CBA=30, AC=BCD 点观测海岛 B 在北偏西 30方向, BDC=60, BCD=60,CBD=60,BCD 为
8、等边三角形, BC=BD,BC=20 , BC=AC=CD=20,船以每小时 10 海里的速度从 A 点航行到 C 处,又以同样的速度继续航行到 D 处,船从 A 点到达 C 点所用的时间为: 2010=2(小时) ,船从 C 点到达 D 点所用的时间为:2010=2(小时) ,船上午 11 时 30 分在 A 处出发,D 点观测海岛 B 在北偏西 30方向到达 D 点的时间为 13 时 30 分+2 小时=15 时 30 分,答:轮船到达 C 处的时间为 13 时 30 分,到达 D 处的时间 15 时 30 分【总结升华】本题主要考查等边三角形的判定与性质、外角的性质、余角的性质等知识点,
9、关键在于通过求相关角的度数,推出相关边的关系,熟练运用航程、时间、速度的关系式,认真地进行计算类型二、含 30的直角三角形4、如图所示,A60,CEAB 于 E,BDAC 于 D,BD 与 CE 相交于点 H,HD1,HE2,试求 BD和 CE 的长解:BDAC 于 D,A60, ABD906030,在 RtBEH 中,HEB90,EBH30第 5 页 共 5 页BH2EH4同理可得,CH2HD2, BDBHHD415 CECHHE224【总结升华】已知条件中出现 60角与直角三角形并存时,应考虑到“在直角三角形中,如果一个锐角等于 30,那么它所对的直角边等于斜边的一半” ,进而把三角形中角
10、与角的关系转化为边与边之间的关系,充分应用转化思想来解决问题举一反三:【变式】如图所示,在ABC 中,ABAC,D 是 BC 边上的点,DEAB,DFAC,垂足分别为点E、F,BAC120求证: 12BC证明: 在ABC 中,ABAC,BAC120, BC 1(80)302BAC DEAB,DFAC, DE, FD 12DEFBC5、如图所示,在等边ABC 中,AECD,AD、BE 相交于点 P,BQAD 于 Q,求证:BP2PQ【思路点拨】(1)从结论入手,从要证 BP2PQ 联想到要求PBQ30(2)不能盲目地用截长补短法寻找要证的“倍半”关系本题适合用“两头凑”的方法,从结论入手找已知条件,即 BP2PQ PBQ30,另一方面从已知条件找结论,即由条件 ACDBAE BPQ60 PBQ30,分析时要注意联想与题目有关的性质定理证明: ABC 为等边三角形, ACBCAB,CBAC60在ACD 和BAE 中,,ACBED ACDBAE(SAS) CADABE CADBAPBAC60, ABEBAP60, BPQ60 BQAD, BQP90, PBQ906030, BP2PQ 【总结升华】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形外角的性质、含 30直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质,考查了学生综合运用知识解答问题的能力.