1、第 1 页 共 6 页解三角形常见题型正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。题型之一：求解斜三角形中的基本元素指已知两边一角(或二角一边或三边 )，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线 (高线、角平分线、中线)及周长等基本问题1. 在 中，AB=3 ，AC=2，BC= ，则 ( )ABC10ABCA B C D 【答案】D 2332232 （1）在 中，已知 ， ， cm，解三角形；0.A08.4.9a（2）在 中，已知 cm， cm， ，解三角形（角度精确到 ，边长精确到 1cm） 。ab0013 （1）在
2、 ABC 中，已知 ， ， ，求 b 及 A；2362c0B（2）在 ABC 中，已知 ， ， ，解三角形14.am87.bc16.7cm4(2005 年全国高考江苏卷) 中， ，BC 3，则 的周长为（ ）ABCCA B3sin346sinC Di63i6分析：由正弦定理，求出 b 及 c，或整体求出 bc，则周长为 3bc 而得到结果选(D)5 （2005 年全国高考湖北卷) 在 ABC 中，已知 ，AC 边上的中线 BD= ，6os,4BA5求 sinA 的值分析：本题关键是利用余弦定理，求出 AC 及 BC，再由正弦定理，即得 sinA解：设 E 为 BC 的中点，连接 DE，则 DE
3、/AB，且 ，设 BEx 奎 屯王 新 敞新 疆321DE在 BDE 中利用余弦定理可得： ，BEDBcos22，解得 ， （舍去） 奎 屯王 新 敞新 疆xx632852137x故 BC=2，从而 ，即 奎 屯王 新 敞新 疆 又 ，28cos22 BCABAC21A630sinB第 2 页 共 6 页故 ， 奎 屯王 新 敞新 疆213sin06A470sinA在ABC 中，已知 a2 ，b ，C15，求 A。答案： 000183BA ， 且 ， 题型之二：判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状1. (2005 年北京春季高考题)在 中，已知 ，那么 一定是（ ）B
4、CBsincosi2ABA直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D正三角形解法 1：由 sin(AB)sinAcosBcos AsinB，sincosi2即 sinAcosBcosAsinB0，得 sin(AB )0，得 AB故选 (B)解法 2：由题意，得 cosB ，再由余弦定理，得 cosB i2sca22acb ，即 a2b 2，得 ab，故选(B)2acb评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：统一化为角，再判断(如解法 1)，统一化为边，再判断(如解法 2)2在ABC 中，若 2cosBsinAsinC，则ABC 的形状一定是（ ）A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等
5、腰三角形 D.等边三角形答案：C解析：2sinAcosBsin（AB）sin（AB）又2sin AcosBsin C，sin（AB）0，AB3.在ABC 中，若 ，试判断ABC 的形状。ab2tn答案：故ABC 为等腰三角形或直角三角形。4. 在ABC 中， ，判断ABC 的形状。cosA答案：ABC 为等腰三角形或直角三角形。题型之三：解决与面积有关问题主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题1. (2005 年全国高考上海卷) 在 中，若 ， ， ，ABC1205AB7C则 的面积 S_ 奎 屯王 新 敞新 疆ABC2在 中， ， ， ，求 的值和 的面积。sinco23tan
6、AB答案： SABBC121426si ()第 3 页 共 6 页3. （07 浙江理 18）已知 的周长为 ，且 ABC 21sin2sinABC（I）求边 的长；（II ）若 的面积为 ，求角 的度数AB 6C解：（I）由题意及正弦定理，得 ， ，A两式相减，得 1（II）由 的面积 ，得 ，C 1sini26A13BA由余弦定理，得 ，2cosBC22()1CB所以 60题型之四：三角形中求值问题1. (2005 年全国高考天津卷) 在 中， 所对的边长分别为 ，ABCC、 cba、设 满足条件 和 ，求 和 的值cba、 22abc31ABtn分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还
7、是运用正、余弦定理解：由余弦定理 ，因此， 2os2bc60在ABC 中，C=180 A B=120 B.由已知条件，应用正弦定理 BCsin)12(si31解得 从而,cot2sinsi0co120si B,cot.21tan2 的三个内角为 ，求当 A 为何值时， 取得最大值，并求出这个最ACAC、 、 s2CA大值。解析：由 A+B+C=，得 = ，所以有 cos =sin 。B+C2 2 A2 B+C2 A2cosA+2cos =cosA+2sin =12sin 2 + 2sin =2(sin )2+ ；B+C2 A2 A A2 A2 12 32当 sin = ，即 A= 时, cos
8、A+2cos 取得最大值为 。A2 12 3 B+C2 323在锐角 中，角 所对的边分别为 ，已知 ， （1）求BC ， abc，2sin3A的值；（2）若 ， ，求 的值。2tansiA2a2ABCS解析：（1）因为锐角ABC 中，AB C， ，所以 cosA ，则sin313第 4 页 共 6 页2222BCsinBCAA1cosBC11cosA7tanisi cs23co （ ） （ ） （ ） （2） ，则 bc3。ABCABCSSbcsinc2因 为 ， 又 将 a2，cosA ，c 代入余弦定理： 中，1322abosA 得 解得 b 。4b690 点评：知道三角形边外的元素如中
9、线长、面积、周长等时，灵活逆用公式求得结果即可。4在 中，内角 对边的边长分别是 ，已知 ， ABC BC， ， abc， ， 23C（）若 的面积等于 ，求 ； 3ab，（）若 ，求 的面积sin()2sinAB本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力满分 12 分解：（）由余弦定理及已知条件得， ，24ab又因为 的面积等于 ，所以 ，得 4 分ABC 31sin3Cab联立方程组 解得 ， 6 分24ab， 2ab（）由题意得 ，sin()si()4sincoBA即 ， 8 分sico2coBA当 时， ， ， ， ，063a2b当 时，
10、得 ，由正弦定理得 ，cssiniBAa联立方程组 解得 ， 24ab， 34所以 的面积 12 分ABC 12sinSC题型之五：正余弦定理解三角形的实际应用利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下：（一.）测量问题1. 如图 1 所示，为了测河的宽度，在一岸边选定 A、B 两点，望对岸标记物 C，测得 CAB=30，CBA=75，图 1A BCD第 5 页 共 6 页AB=120cm，求河的宽度。分析：求河的宽度，就是求ABC 在 AB 边上的高，而在河的一边，已测出 AB 长、CAB、CBA，这个三角形可确定。解析：由
11、正弦定理得 ，AC=AB=120m，又sinsiACB，解得 CD=60m。1122ABCSD 点评：虽然此题计算简单，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题”。（二.）遇险问题2 某舰艇测得灯塔在它的东 15北的方向，此舰艇以 30 海里/小时的速度向正东前进，30 分钟后又测得灯塔在它的东 30北。若此灯塔周围 10 海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？解析：如图舰艇在 A 点处观测到灯塔 S 在东 15北的方向上；舰艇航行半小时后到达 B 点，测得 S 在东30北的方向上。 在ABC 中，可知AB=300.5=15，ABS=150，ASB=15 ，由正弦定理得 BS=AB=1
12、5，过点 S 作 SC直线 AB，垂足为 C，则SC=15sin30=7.5。这表明航线离灯塔的距离为 7.5 海里，而灯塔周围10 海里内有暗礁，故继续航行有触礁的危险。点评：有关斜三角形的实际问题，其解题的一般步骤是：（1）准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；（2）画出示意图，并将已知条件在图形中标出；（3）分析与所研究问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理求解。（三.）追击问题3 如图 3，甲船在 A 处，乙船在 A 处的南偏东 45 方向，距 A 有 9n mile 并以 20n mile/h 的速度沿南 偏西 15方向航行，若甲船以
13、28n mile/h 的速度航行，应沿什么方向，用多少 h 能尽快追上乙船？ 解析：设用 t h，甲船能追上乙船，且在 C 处相遇。在ABC 中，AC=28t，BC=20t，AB=9 ，设ABC=，BAC=。=1804515=120。根据余弦定理，22cosACBAB， ， （4181090()2ttt28607tt3） （32t+9）=0 ，解得 t= ，t= （舍）34AC=28 =21 n mile，BC=20 =15 n mile。4根据正弦定理，得 ，又=120， 为锐角，=arcsin ，又315si2si 4BCA5314 ，arcsin ，53147214西北南东A B C30
14、15图 2图 3ABC北4515第 6 页 共 6 页甲船沿南偏东 arcsin 的方向用 h 可以追上乙船。45314点评：航海问题常涉及到解三角形的知识，本题中的 ABC、AB 边已知，另两边未知，但他们都是航行的距离，由于两船的航行速度已知，所以，这两边均与时间 t 有关。这样根据余弦定理，可列出关于 t 的一元二次方程，解出 t 的值。4如图，当甲船位于 A 处时获悉，在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西 30 ，相距 10 海里 C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援（角度精确到 1 ）？解析：连接 BC,由余弦定理得 BC2=202+10222010COS120=700.于是,BC=10 。 ，sinACB= ，770sinsiC73ACB90，ACB=41。乙船应朝北偏东 71方向沿直线前往 B 处救援。 北2010A BC
