1、鞍山三中高二文科数学1专题 1：椭圆中焦点三角形的性质及应用性质一：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为 ab2证明：性质二：已知椭圆方程为 两焦点分别为 设焦点三角形),0(12bayx ,21F中 则 .21FP,21tn21SPF证明：性质三：已知椭圆方程为 两焦点分别为 设焦点三角形),0(12bayx ,21F中 则21FP,21.cose例 1. 若 P 是椭圆 上的一点， 、 是其焦点，且 ，16402yx1F2 6021PF求 的面积.21F例 2.已知 P 是椭圆 上的点， 、 分别是椭圆的左、右焦点，1952yx1F2若 ，则 的面积为（ ）2|1F21P
2、A. B. C. D. 3333例 3.已知椭圆 的左、右焦点分别是 、 ，点 P 在椭圆上. 1962yx 1F2若 P、 、 是一个直角三角形的三个顶点，则点 P 到 轴的距离为（ ）1F2 xA. B. C. D. 或59749497例 4. 已知 、 是椭圆 的两个焦点，椭圆上一点 使1F2 )0(12bayx P，求椭圆离心率 的取值范围。9021PFe鞍山三中高二文科数学2练习题：1. 椭圆 上一点 P 与椭圆两个焦点 、 的连线互相垂直，则1249xy 1F2的面积为（ ）21PFA. 20 B. 22 C. 28 D. 242. 椭圆 的左右焦点为 、 ， P 是椭圆上一点，当
3、 的面积为142yx1F2 21PF1 时， 的值为（ ）21PFA. 0 B. 1 C. 3 D. 63. 椭圆 的左右焦点为 、 ， P 是椭圆上一点，当 的面积42yxF2 21PF最大时， 的值为（ ）21PFA. 0 B. 2 C. 4 D. 24已知椭圆 （ 1）的两个焦点为 、 ，P 为椭圆上一点，2yaxa1F2且 ，则 的值为（ ）6021PF|21PFA1 B C D334325. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴， 、 为焦点，点 P 在椭圆上，1F2直线 与 倾斜角的差为 ， 的面积是 20，离心率为 ，1PF29021P35求椭圆的标准方程.专题 2：离心率求法：
4、1若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.22 32 53 632若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A. B. C. D.45 35 25 153若椭圆的短轴长为 6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是 1，则椭圆的离心率为_4.已知 A 为椭圆 1(a b0)上的一个动点，直线 AB、AC 分别过焦点 F1、 x2a2 y2b2F2，且与椭圆交于 B、C 两点，若当 AC 垂直于 x 轴时，恰好有|AF1|AF 2|31，求该椭圆的离心率5如图所示，F 1、F 2 分别为椭圆的左、右焦点，椭
5、圆上点 M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的 ，求椭圆的离心率23鞍山三中高二文科数学3椭圆中焦点三角形的性质及应用（答案）性质二证明：记 ，21|,| rPFr由椭圆的第一定义得 .4)(,221ara在 中，由余弦定理得：21F .)(cos2配方得： .2)( 2211rr即 .4cos42a.1)(221br由任意三角形的面积公式得：.2tan2cosincos1insi22211 bbbrSPF.tan21PF同理可证，在椭圆 （ 0）中，公式仍然成立. 12bxaya性质三证明：设 则在 中，由余弦定理得：,21rPF21PF124)(cos 2121 rcarc
6、命题得证。.)(221 earca例 1解法一：在椭圆 中， 而16402yx,68,0cb.0记 .|,| 21rPFr点 P 在椭圆上，由椭圆的第一定义得：.2021a在 中，由余弦定理得：21F .)2(cos1rr配方，得： .43)(21r从而.43402156.342sin2121 rSPF解法二：在椭圆 中， ，而640yx6b.0y F1 O F2 xP鞍山三中高二文科数学4.3640tan2t21 bSPF例 2.解：设 ，则 ，21 21|cos1PF.60.30tan9t21 bSPF故选答案 A.例 3.解：若 或 是直角顶点，则点 P 到 轴的距离为半通径的长 ；若
7、P 是直角顶12 x492ab点，设点 P 到 轴的距离为 h，则 ，又x 45tn92ta21 bSF,7)2(21cSF， 故答案选 D.97h.思路一：由焦点三角形性质二， .2190cose 2e1思路二：利用焦点三角形性质，从面积角度考虑不妨设短轴一端点为 B则 2245tan1 bSPF bcSF2121 ，故 bc22c2ae2e1练习题：1. 解： ， .24,9021bPF245tan2t21 bSPF故答案选 D.2. 解：设 ， ，21tant21PF， .90,450故答案选 A.3. 解： ，设 ， ，3,12cba21 2tant21 bSPF当 的面积最大时， 为
8、最大，这时点 P 为椭圆短轴的端点， ，PF 10.20coss| 22121 a故答案选 D.4 解： ， ， ，6021PFb30tant21 bSPF又 ，|43sin| 212121SPF ，从而 .3|4321 |21PF故答案选 C.5. 解：设 ，则 . ，21PF902045tant221 bbSPF又 ，352abce，即 .95129012解得： .4a鞍山三中高二文科数学5所求椭圆的标准方程为 或 .12045yx12045x离心率求法：1.解析：选 A.如图所示，四边形 B1F2B2F1 为正方形，则B 2OF2 为等腰直角三角形， .ca 222.解析：选 B.由题意
9、知 2bac，又 b2a 2c 2，4(a 2 c2)a 2c 22ac.3a 22ac 5c20.5c 22ac3a 20.5e 22e30.e 或 e1(舍去)353.解析：依题意，得 b3，ac1.又 a2b 2c 2，解得 a5 ，c 4，椭圆的离心率为 e . 答案：ca 45 454.解：设|AF 2|m，则|AF 1|3m，2a|AF 1| |AF2|4m.又在 RtAF 1F2 中，|F1F2| 2 m.|AF1|2 |AF2|2 2e .2c2a |F1F2|2a 22m4m 225. 解：法一：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为 a、b、c .则焦点为F1(c,0) ，F 2(c,0)，M 点的坐标为 (c， b)，23则MF 1F2 为直角三角形在 Rt MF1F2 中，|F1F2|2|MF 2|2|MF 1|2，即 4c2 b2 |MF1|2.49而|MF 1|MF 2| b2a，4c2 49b2 23整理得 3c2 3a22ab.又 c2a 2b 2，所以 3b2a.所以 .b2a2 49e 2 1 ， e .c2a2 a2 b2a2 b2a2 59 53法二：设椭圆方程为 1( ab0)，x2a2 y2b2则 M(c， b)代入椭圆方程，得 1，23 c2a2 4b29b2所以 ，所以 ，即 e .c2a2 59 ca 53 53
