1、二次函数专题训练（正方形的存在性）11如图，已知抛物线 y=x2+bx+c 的图象经过点 A（l ，0） ，B（ 3，0） ，与 y 轴交于点 C，抛物线的顶点为 D，对称轴与 x 轴相交于点 E，连接 BD（1）求抛物线的解析式（2）若点 P 在直线 BD 上，当 PE=PC 时，求点 P 的坐标（3）在（2）的条件下，作 PFx 轴于 F，点 M 为 x 轴上一动点， N 为直线 PF 上一动点，G 为抛物线上一动点，当以点 F，N，G，M 四点为顶点的四边形为正方形时，求点 M 的坐标二次函数专题训练（正方形的存在性）22如图，抛物线 y= x2+bx+c 与 x 轴交于点 A 和点 B
2、，与 y 轴交于点 C，点 B 坐标为（6，0） ，点 C 坐标为（0，6） ，点 D 是抛物线的顶点，过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为 E，连接 BD（1）求抛物线的解析式及点 D 的坐标；（2）点 F 是抛物线上的动点，当FBA=BDE 时，求点 F 的坐标；（3）若点 M 是抛物线上的动点，过点 M 作 MNx 轴与抛物线交于点 N，点 P 在 x 轴上，点 Q 在坐标平面内，以线段 MN 为对角线作正方形 MPNQ，请写出点 Q 的坐标二次函数专题训练（正方形的存在性）33如图，已知抛物线 y=ax2+bx3 过点 A（1，0） ，B（3，0） ，点 M、N 为抛物线上的动点，过点
3、M 作MDy 轴，交直线 BC 于点 D，交 x 轴于点 E过点 N 作 NFx 轴，垂足为点 F（1）求二次函数 y=ax2+bx3 的表达式；（2）若 M 点是抛物线上对称轴右侧的点，且四边形 MNFE 为正方形，求该正方形的面积；（3）若 M 点是抛物线上对称轴左侧的点，且DMN=90，MD=MN ，请直接写出点 M 的横坐标二次函数专题训练（正方形的存在性）44.(2015 贵州省毕节地区) 如图，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A（ 1，0） ，B（3，0）两点，顶点 M 关于 x 轴的对称点是 M（1）求抛物线的解析式；（2）若直线 AM与此抛物线的另一个交点为 C，求
4、CAB 的面积；（3）是否存在过 A，B 两点的抛物线，其顶点 P 关于 x 轴的对称点为 Q，使得四边形 APBQ 为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由二次函数专题训练（正方形的存在性）55. (2016 辽宁省铁岭市) 如图，抛物线 y= x2+bx+c 与 x 轴交于点 A，点 B，与 y 轴交于点 C，点 B 坐标为（6，0） ，点 C 坐标为（ 0，6） ，点 D 是抛物线的顶点，过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为 E，连接BD（1）求抛物线的解析式及点 D 的坐标；（2）点 F 是抛物线上的动点，当FBA=BDE 时，求点 F 的坐标；（3）若点 M 是抛物
5、线上的动点，过点 M 作 MNx 轴与抛物线交于点 N，点 P 在 x 轴上，点 Q 在平面内，以线段 MN 为对角线作正方形 MPNQ，请直接写出点 Q 的坐标二次函数专题训练（正方形的存在性）66. (2016 广东省茂名市) 如图，抛物线 y=x2+bx+c 经过 A（1，0），B（3，0）两点，且与 y 轴交于点C，点 D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴 DE 交 x 轴于点 E，连接 BD（1）求经过 A，B，C 三点的抛物线的函数表达式；（2）点 P 是线段 BD 上一点，当 PE=PC 时，求点 P 的坐标；（3）在（2）的条件下，过点 P 作 PFx 轴于点 F，G 为抛物线上
6、一动点， M 为 x 轴上一动点，N 为直线 PF 上一动点，当以 F、M、G 为顶点的四边形是正方形时，请求出点 M 的坐标二次函数专题训练（正方形的存在性）7二次函数专题训练（正方形的存在性问题）参考答案1如图，已知抛物线 y=x2+bx+c 的图象经过点 A（l ，0） ，B（ 3，0） ，与 y 轴交于点 C，抛物线的顶点为 D，对称轴与 x 轴相交于点 E，连接 BD（1）求抛物线的解析式（2）若点 P 在直线 BD 上，当 PE=PC 时，求点 P 的坐标（3）在（2）的条件下，作 PFx 轴于 F，点 M 为 x 轴上一动点， N 为直线 PF 上一动点，G 为抛物线上一动点，当
7、以点 F，N，G，M 四点为顶点的四边形为正方形时，求点 M 的坐标【解答】解：（1）抛物线 y=x2+bx+c 的图象经过点 A（1，0） ，B（ 3，0） ， ， ，抛物线的解析式为 y=x2+2x3；（2）由（1）知，抛物线的解析式为 y=x2+2x3；C（0，3） ，抛物线的顶点 D（ 1，4） ，E（ 1，0） ，设直线 BD 的解析式为 y=mx+n， ， ，直线 BD 的解析式为 y=2x6，设点 P（a，2a6） ，C（0，3） ， E（ 1，0） ，根据勾股定理得，PE 2=（a+1） 2+（2a 6） 2，PC2=a2+（2a 6+3） 2，PC=PE，（ a+1） 2+（
8、2a6） 2=a2+（2a6+3） 2，二次函数专题训练（正方形的存在性）8a=2，y= 2（2） 6=2，P（ 2，2） ，（3）如图，作 PFx 轴于 F，F（ 2，0） ，设 M（d，0） ，G（ d， d2+2d3） ，N（2，d 2+2d3） ，以点 F，N，G，M 四点为顶点的四边形为正方形，必有 FM=MG，|d+2|=|d2+2d3|，d= 或 d= ，点 M 的坐标为（ ， 0） ， （ ，0） ， （ ，0） ， （ ，0） 2如图，抛物线 y= x2+bx+c 与 x 轴交于点 A 和点 B，与 y 轴交于点 C，点 B 坐标为（6，0） ，点 C 坐标为（0，6） ，点
9、 D 是抛物线的顶点，过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为 E，连接 BD（1）求抛物线的解析式及点 D 的坐标；（2）点 F 是抛物线上的动点，当FBA= BDE 时，求点 F 的坐标；（3）若点 M 是抛物线上的动点，过点 M 作 MNx 轴与抛物线交于点 N，点 P 在 x 轴上，点 Q 在坐标平面内，以线段 MN 为对角线作正方形 MPNQ，请写出点 Q 的坐标【解答】解：（1）把 B、C 两点坐标代入抛物线解析式可得 ，解得 ，抛物线解析式为 y= x2+2x+6，y= x2+2x+6= （x2） 2+8，D （2，8） ；（2）如图 1，过 F 作 FGx 轴于点 G，设 F（x，
10、x2+2x+6） ，则 FG=| x2+2x+6|，FBA=BDE， FGB=BED=90，FBGBDE， = ，B（6，0） ，D（2，8） ，二次函数专题训练（正方形的存在性）9E（ 2，0） ，BE=4，DE=8，OB=6，BG=6 x， = ，当点 F 在 x 轴上方时，有 = ，解得 x=1 或 x=6（舍去） ，此时 F 点的坐标为（1， ） ；当点 F 在 x 轴下方时，有 = ，解得 x=3 或 x=6（舍去） ，此时 F 点坐标为（ 3， ） ；综上可知 F 点的坐标为（ 1， ）或（3， ） ；（3）如图 2，设对角线 MN、PQ 交于点 O，点 M、N 关于抛物线对称轴对
11、称，且四边形 MPNQ 为正方形，点 P 为抛物线对称轴与 x 轴的交点，点 Q 在抛物线的对称轴上，设 Q（2，2n） ，则 M 坐标为（2 n，n） ，点 M 在抛物线 y= x2+2x+6 的图象上，n= （2n） 2+2（2n）+6 ，解得 n=1+ 或 n=1 ，满足条件的点 Q 有两个，其坐标分别为（ 2， 2+2 ）或（2，22 ） 3如图，已知抛物线 y=ax2+bx3 过点 A（1，0） ，B（3，0） ，点 M、N 为抛物线上的动点，过点 M 作MDy 轴，交直线 BC 于点 D，交 x 轴于点 E过点 N 作 NFx 轴，垂足为点 F（1）求二次函数 y=ax2+bx3
12、的表达式；（2）若 M 点是抛物线上对称轴右侧的点，且四边形 MNFE 为正方形，求该正方形的面积；（3）若 M 点是抛物线上对称轴左侧的点，且DMN=90，MD=MN，请直接写出点 M 的横坐标【解答】解：（1）把 A（1，0） ，B（3，0）代入 y=ax2+bx3，得： ，解得 ，故该抛物线解析式为：y=x 22x3；（2）由（1）知，抛物线解析式为：y=x 22x3=（x 1） 24，该抛物线的对称轴是 x=1，顶点坐标为（ 1，4） 如图，设点 M 坐标为（m，m 22m3） ，其中 m1，二次函数专题训练（正方形的存在性）10ME=|m2+2m+3|，M、N 关于 x=1 对称，且
13、点 M 在对称轴右侧，点 N 的横坐标为 2m，MN=2m2，四边形 MNFE 为正方形，ME=MN，|m2+2m+3|=2m2，分两种情况：当m 2+2m+3=2m2 时，解得：m 1= 、m 2= （不符合题意，舍去） ，当 m= 时，正方形的面积为（2 2） 2=248 ；当m 2+2m+3=22m 时，解得：m 3=2+ ，m 4=2 （不符合题意，舍去） ，当 m=2+ 时，正方形的面积为2 （2+ ）2 2=24+8 ；综上所述，正方形的面积为 24+8 或 248 （3）设 BC 所在直线解析式为 y=px+q，把点 B（3，0） 、C（0， 3）代入表达式，得： ，解得： ，直线 BC 的函数表达式为 y=x3，设点 M 的坐标为（t，t 22t3） ，其中 t1，则点 N（2t，t 22t3） ，点 D（ t，t 3） ，MN=2tt=22t，MD=|t 22t3t+3|=|t23t|MD=MN，|t 23t|=22t，分两种情况：当 t23t=22t 时，解得 t1=1，t 2=2（不符合题意，舍去） 当 3tt2=22t 时，解得 t3= ，t 2= （不符合题意，舍去） 综上所述，点 M 的横坐标为1 或
