1、第 1 页（共 13 页）立体几何大题练习（文科）：1如图，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 是梯形，AB DC，ABC=90，AD=SD，BC=CD= ，侧面 SAD底面 ABCD（1）求证：平面 SBD平面 SAD；（2）若SDA=120，且三棱锥 SBCD 的体积为 ，求侧面SAB 的面积【分析】 （1）由梯形 ABCD，设 BC=a，则 CD=a，AB=2a，运用勾股定理和余弦定理，可得 AD，由线面垂直的判定定理可得 BD平面 SAD，运用面面垂直的判定定理即可得证；（2）运用面面垂直的性质定理，以及三棱锥的体积公式，求得 BC=1，运用勾股定理和余弦定理，可得 SA，SB，
2、运用三角形的面积公式，即可得到所求值【解答】 （1）证明：在梯形 ABCD 中，ABDC，ABC=90，BC=CD= ，设 BC=a，则 CD=a，AB=2a，在直角三角形 BCD 中，BCD=90，可得 BD= a，CBD=45，ABD=45，由余弦定理可得 AD= = a，则 BDAD，由面 SAD底面 ABCD可得 BD平面 SAD，又 BD平面 SBD，可得平面 SBD平面 SAD；（2）解：SDA=120，且三棱锥 SBCD 的体积为 ，由 AD=SD= a，在SAD 中，可得 SA=2SDsin60= a，SAD 的边 AD 上的高 SH=SDsin60= a，由 SH 平面 BC
3、D，可得 a a2= ，第 2 页（共 13 页）解得 a=1，由 BD平面 SAD，可得 BDSD，SB= = =2a，又 AB=2a，在等腰三角形 SBA 中，边 SA 上的高为 = a，则SAB 的面积为 SA a= a= 【点评】本题考查面面垂直的判定定理的运用，注意运用转化思想，考查三棱锥的体积公式的运用，以及推理能力和空间想象能力，属于中档题2如图，在三棱锥 ABCD 中，AB AD，BCBD，平面 ABD平面 BCD，点E、 F（E 与 A、D 不重合）分别在棱 AD，BD 上，且 EFAD 求证：（1）EF平面 ABC；（2）ADAC【分析】 （1）利用 ABEF 及线面平行判
4、定定理可得结论；（2）通过取线段 CD 上点 G，连结 FG、EG 使得 FGBC，则 EGAC，利用线面垂直的性质定理可知 FGAD，结合线面垂直的判定定理可知 AD平面EFG，从而可得结论【解答】证明：（1）因为 ABAD，EFAD，且 A、B、E、F 四点共面，第 3 页（共 13 页）所以 ABEF，又因为 EF平面 ABC，AB 平面 ABC，所以由线面平行判定定理可知：EF平面 ABC；（2）在线段 CD 上取点 G，连结 FG、EG 使得 FGBC，则 EGAC，因为 BCBD，FGBC，所以 FGBD，又因为平面 ABD平面 BCD，所以 FG平面 ABD，所以 FGAD，又因
5、为 AD EF，且 EFFG=F，所以 AD平面 EFG，所以 ADEG，故 ADAC【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定，考查空间想象能力，考查转化思想，涉及线面平行判定定理，线面垂直的性质及判定定理，注意解题方法的积累，属于中档题3如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，CC 1底面 ABC，ACCB，点 M 和 N 分别是B1C1 和 BC 的中点（1）求证：MB平面 AC1N；（2）求证：ACMB 第 4 页（共 13 页）【分析】 （1）证明 MC1NB 为平行四边形，所以 C1NMB，即可证明 MB平面AC1N；（2）证明 AC平面 BCC1B1，即可证明 ACMB【解答】证明
6、：（1）证明：在三棱柱 ABCA1B1C1 中，因为点 M，N 分别是B1C1，BC 的中点，所以 C1MBN，C 1M=BN所以 MC1NB 为平行四边形所以 C1NMB因为 C1N平面 AC1N，MB 平面 AC1N，所以 MB平面 AC1N；（2）因为 CC1底面 ABC，所以 ACCC 1因为 ACBC，BCCC 1=C，所以 AC平面 BCC1B1因为 MB平面 BCC1B1，所以 ACMB【点评】本题考查线面平行的判定，考查线面垂直的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题4如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，AD|BC，PD底面ABCD，ADC=
7、90，AD=2BC，Q 为 AD 的中点，M 为棱 PC 的中点（）证明：PA平面 BMQ；（）已知 PD=DC=AD=2，求点 P 到平面 BMQ 的距离第 5 页（共 13 页）【分析】 （1）连结 AC 交 BQ 于 N，连结 MN，只要证明 MNPA，利用线面平行的判定定理可证；（2）由（1）可知，PA平面 BMQ，所以点 P 到平面 BMQ 的距离等于点 A 到平面 BMQ 的距离【解答】解：（1）连结 AC 交 BQ 于 N，连结 MN，因为ADC=90 ，Q 为 AD的中点，所以 N 为 AC 的中点（2 分）当 M 为 PC 的中点，即 PM=MC 时，MN 为PAC 的中位线
8、，故 MNPA ，又 MN平面 BMQ，所以 PA平面 BMQ（5 分）（2）由（1）可知，PA平面 BMQ，所以点 P 到平面 BMQ 的距离等于点 A 到平面 BMQ 的距离，所以 VPBMQ=VABMQ=VMABQ，取 CD 的中点 K，连结 MK，所以 MKPD， ，（7 分）又 PD底面 ABCD，所以 MK底面 ABCD又 ，PD=CD=2 ，所以 AQ=1，BQ=2， ，（10 分）所以 VPBMQ=VABMQ=VMABQ= . ，（11 分）则点 P 到平面 BMQ 的距离 d= （12 分）【点评】本题考查了线面平行的判定定理的运用以及利用三棱锥的体积求点到直线的距离5如图，
9、在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，BCAC ，D，E 分别是 AB，AC 的中点（1）求证：B 1C1平面 A1DE；（2）求证：平面 A1DE 平面 ACC1A1第 6 页（共 13 页）【分析】 （1）证明 B1C1DE ，即可证明 B1C1平面 A1DE；（2）证明 DE平面 ACC1A1，即可证明平面 A1DE平面 ACC1A1【解答】证明：（1）因为 D，E 分别是 AB，AC 的中点，所以 DEBC，（2分）又因为在三棱柱 ABCA1B1C1 中，B 1C1BC，所以 B1C1DE（4 分）又 B1C1平面 A1DE，DE 平面 A1DE，所以 B1C1平面 A1DE（6 分）（
10、2）在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，CC 1底面 ABC，又 DE底面 ABC，所以 CC1DE （8 分）又 BC AC， DEBC ，所以 DEAC ， （10 分）又 CC1， AC平面 ACC1A1，且 CC1AC=C，所以 DE平面 ACC1A1（12 分）又 DE平面 A1DE，所以平面 A1DE平面 ACC1A1（14 分）【点评】本题考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题6在四棱锥 PABCD 中，PC 底面 ABCD，M，N 分别是 PD，PA 的中点，ACAD，ACD=ACB=60，PC=AC （1）求证：PA平面 CMN；（2）
11、求证：AM平面 PBC【分析】 （1）推导出 MNAD，PCAD，ADAC，从而 AD平面 PAC，进而第 7 页（共 13 页）ADPA，MN PA，再由 CNPA，能证明 PA平面 CMN（2）取 CD 的中点为 Q，连结 MQ、AQ，推导出 MQPC ，从而 MQ平面PBC，再求出 AQ平面，从而平面 AMQ平面 PCB，由此能证明 AM平面PBC【解答】证明：（1）M，N 分别为 PD、PA 的中点，MN 为PAD 的中位线，MNAD，PC底面 ABCD，AD 平面 ABCD，PCAD，又ADAC，PCAC=C，AD平面 PAC，ADPA，MN PA，又PC=AC，N 为 PA 的中点
12、，CNPA，MNCN=N，MN 平面 CMN，CM平面 CMN，PA 平面 CMN解（2）取 CD 的中点为 Q，连结 MQ、AQ，MQ 是PCD 的中位线，MQPC，又PC平面 PBC，MQ平面 PBC，MQ平面 PBC，ADAC，ACD=60，ADC=30 DAQ=ADC=30， QAC=ACQ=60，ACB=60 ，AQ BC，AQ平面 PBC，BC 平面 PBC，AQ平面 PBC，MQAQ=Q，平面 AMQ平面 PCB，AM平面 AMQ，AM平面 PBC第 8 页（共 13 页）【点评】本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解
13、能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题7如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，侧面 PAD底面 ABCD，且 PA=PD= AD，E 、F 分别为 PC、BD 的中点（1）求证：EF平面 PAD；（2）求证：面 PAB平面 PDC【分析】 （1）连接 AC，则 F 是 AC 的中点，E 为 PC 的中点，证明 EFPA ，利用直线与平面平行的判定定理证明 EF平面 PAD；（2）先证明 CDPA，然后证明 PAPD利用直线与平面垂直的判定定理证明PA平面 PCD，最后根据面面垂直的判定定理即可得到面 PAB面 PDC【解
14、答】证明：（1）连接 AC，由正方形性质可知，AC 与 BD 相交于 BD 的中点F，F 也为 AC 中点，E 为 PC 中点所以在CPA 中，EFPA，又 PA平面 PAD，EF 平面 PAD，所以 EF平面 PAD；（2）平面 PAD平面 ABCD平面 PAD面 ABCD=ADCD平面 PADCDPA正方形 ABCD 中 CDADPA平面 PADCD平面 ABCD第 9 页（共 13 页）又 ，所以 PA2+PD2=AD2所以PAD 是等腰直角三角形，且 ，即 PAPD因为 CDPD=D，且 CD、 PD面 PDC所以 PA面 PDC又 PA面 PAB，所以面 PAB面 PDC【点评】本题
15、考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定的应用，考查逻辑推理能力8如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，底面 ABCD 为菱形，且PA=AD=2，BD=2 ，E、F 分别为 AD、PC 中点（1）求点 F 到平面 PAB 的距离；（2）求证：平面 PCE平面 PBC【分析】 （1）取 PB 的中点 G，连接 FG、AG ，证得底面 ABCD 为正方形再由中位线定理可得 FGAE 且 FG=AE，四边形 AEFG 是平行四边形，则 AGFE，运用线面平行的判定定理可得 EF平面 PAB，点 F 与点 E 到平面 PAB 的距离相等，运用线面垂直的判定和性质，证得 AD平面 P
16、AB，即可得到所求距离；（2）运用线面垂直的判定和性质，证得 BC平面 PAB，EF平面 PBC，再由面面垂直的判定定理，即可得证第 10 页（共 13 页）【解答】 （1）解：如图，取 PB 的中点 G，连接 FG、AG ，因为底面 ABCD 为菱形，且 PA=AD=2， ，所以底面 ABCD 为正方形E 、F 分别为 AD、PC 中点，FGBC，AE BC ， ， ，FGAE 且 FG=AE，四边形 AEFG 是平行四边形，AGFE，AG平面 PAB，EF平面 PAB，EF平面 PAB，点 F 与点 E 到平面 PAB 的距离相等，由 PA 平面 ABCD，可得 PAAD，又 ADAB，PA AB=A，AD平面 PAB，则点 F 到平面 PAB 的距离为 EA=1（2）证明：由（1）知 AGPB，AGEF，PA 平面 ABCD，BCPA，BC AB，ABBC=B，BC平面 PAB，由 AG平面 PAB，BC AG，又PBBC=B，AG平面 PBC，EF平面 PBC，EF 平面 PCE，平面 PCE平面 PBC
