1、2009-2015 年全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学）2009 年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题 5 分，共 20 分）1计算 _，其中区域 由直线yxyxDd1)ln()( D与两坐标轴所围成三角形区域.yx2设 是连续函数，且满足 , 则)(f 20d)(3)(xfxf_.3曲面 平行平面 的切平面方程是_.22yxz2zyx4设函数 由方程 确定，其中 具有二阶导数，且)(9ln)(yfef，则 _.1f2dx二、 （5 分）求极限 ，其中 是给定的正整数.xenxxe)(lim20三、 （15 分）设函数 连续， ，且 ， 为常数，)f10d(tfgAxf)(
2、lim0求 并讨论 在 处的连续性.)(xg(xg四、 （15 分）已知平面区域 ， 为 的正向边界，,|),(yxyDLD试证：（1） ；LxyLxy eex ddsinsinsinsin（2） .2sinsin5yy五、 （10 分）已知 ， ， 是某二阶常xe1xe2 xxey23系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、 （10 分）设抛物线 过原点.当 时, ,又已知cbayln100y该抛物线与 轴及直线 所围图形的面积为 .试确定 ,使此图形绕 轴x1x31cbax旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、 （15 分）已知 满足 , 且 , 求)(un )2()(1nexu
3、nn neu)1(函数项级数 之和.1)(nxu八、 （10 分）求 时, 与 等价的无穷大量.02nx2010 年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、 （25 分，每小题 5 分）（1）设 其中 求22(1)(1),nnxaa |1,lim.nx（2）求 。2limxxe（3）设 ，求 。0s0(1,2)sxnIed（4）设函数 有二阶连续导数， ，求 。()ft 21,()rxygfr2gxy（5）求直线 与直线 的距离。10:xylz213:4zl二、 （15 分）设函数 在 上具有二阶导数，并且()f,)且存在一点 ，使得 。()0,lim0li(0,xxf f0x0()fx三、 （
4、15 分）设函数 由参数方程 所确定，其中 具)yf2(1)xtyt有二阶导数，曲线 与 在 出相切，求函数 。(t213tuedt ()t四、 （15 分）设 证明：10,nnkaSa（1）当 时，级数 收敛；1n（2）当 且 时，级数 发散。()ns1naS五、 （15 分）设 是过原点、方向为 ， （其中 的直线，均l(,)221)匀椭球，其中（ 密度为 1）绕 旋转。221xyzabc0,cbal（1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于方向 的最大值和最小值。(,)六、(15 分)设函数 具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线()x上，曲线积分 的值为常数。C42cydA（
5、1）设 为正向闭曲线 证明L2()1,xy42()0;cxydA（2）求函数 ；()（3）设 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求 。C42()cxyd2011 年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷一 计算下列各题（本题共 3 小题，每小题各 5 分，共 15 分）（1）.求 ；1cos0inlmxx（2）.求 ；li.12nn（3）已知 ，求 。arctttxey2dyx二 （本题 10 分）求方程 的通解。410dy三 （本题 15 分）设函数 f(x)在 x=0 的某邻域内具有二阶连续导数，且均不为 0，证明：存在唯一一组实数 ，使得“0,ff 123,k。1230lim0hkhkff四
6、（本题 17 分）设 ，其中 ，221:1xyzabcabc， 为 与 的交线，求椭球面 在 上各点的切平面22:zxy121到原点距离的最大值和最小值。五 （本题 16 分）已知 S 是空间曲线 绕 y 轴旋转形成的椭球面230xz的上半部分（ ）取上侧， 是 S 在 点处的切平面，0z,P是原点到切平面 的距离， 表示 S 的正法向的方向余弦。,xy计算：（1） ；（2）,Szd3Szxyzd六 （本题 12 分）设 f(x)是在 内的可微函数，且,，其中 ，任取实数 ，定义fxmf、 010a证明： 绝对收敛。1ln,2,.a11n七 （本题 15 分）是否存在区间 上的连续可微函数 f
7、(x)，满足，0ff？请说明理由。201,1xxd、2012 第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、 （本大题共 5 小题，每小题 6 分共 30 分）解答下列个体（要求写出要求写出重要步骤）(1) 求极限 21)!(limn(2) 求通过直线 的两个互相垂直的平面 和 ，使其中03452:zyxl 12一个平面过点 。)1,(3) 已知函数 ，且 。确定常数 和 ，使函数byaxeuz2uab满足方程),(yxz 02zz(4) 设函数 连续可微， ，且 在右半)(xu1)2(uudyxdyx)()2(3平面与路径无关，求 。,y(5) 求极限 dttxxcosinlim13二、 （本题 10
8、 分）计算 xexi20三、求方程 的近似解，精确到 0.001.51si2四、 （本题 12 分）设函数 二阶可导，且 ， ，)(fy0)(xf)(f，求 ，其中 是曲线 上点 处的0)(f ux30sinlimy),xP切线在 轴上的截距。x五、 （本题 12 分）求最小实数 ，使得满足 的连续函数 都 C1)(10dxf )(f有 df)(10六、 （本题 12 分）设 为连续函数， 。区域 是由抛物面xt2yxz和球面 所围起来的部分。定义三重积分22tzyx)0(dvzyftF)(2求 的导数 )(t七、 （本题 14 分）设 与 为正项级数，证明：na1nb1（1）若 ，则级数 收
9、敛；0limnn na1（2）若 ，且级数 发散，则级数 发散。11banbna12013 第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、 解答下列各题（每小题 6 分共 24 分，要求写出重要步骤）1.求极限 .2lim1sin4nn2.证明广义积分 不是绝对收敛的0xd3.设函数 由 确定，求 的极值。y323yyx4.过曲线 上的点 A 作切线，使该切线与曲线及 轴所围成的平3x面图形的面积为 ，求点 A 的坐标。4二、 （满分 12）计算定积分 2sinarct1oxxeId三、 （满分 12 分）设 在 处存在二阶导数 ，且 。证f00f0limxf明 ：级数 收敛。1nf四、 （满分 12
10、分）设 ，证明,0fxfaxb2sinbafxdm五、 （满分 14 分）设 是一个光滑封闭曲面，方向朝外。给定第二型的曲面积分 。试确定曲面 ，使积分 I3332Ixdyzydzzdy 的值最小，并求该最小值。六、 （满分 14 分）设 ，其中 为常数，曲线 C 为椭圆2aaCxIryA，取正向。求极限22xyrlimarI七（满分 14 分）判断级数 的敛散性，若收敛，求其和。12nn2014 年全国大学生数学竞赛预赛试题非数学类一、 填空题(共有 5 小题，每题 6 分，共 30 分)1. 已知 和 是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是xey1x1_ _2. 设有曲面 和平面 。
11、则与 平行的 的切平2:yzS02:zyxLLS面方程是_3. 设函数 由方程 所确定。求)(xyxydt124sin_0xd4. 设 。则 _nk1)!(nxlim5. 已知 。则 _310liexfx20)(lixf二、 （本题 12 分）设 为正整数，计算 。n121lncosnedxxI三、 （本题 14 分）设函数 在 上有二阶导数，且有正常数 使得)(xf,0 BA,。证明：对任意 ，有 。Bxf|)(“| 12|)(|xf四、 （本题 14 分） （1）设一球缺高为 ，所在球半径为 。证明该球缺体积hR为 。球冠面积为 ；（2）设球体2)3(hRR被平面 所截得小球缺为 ，1)(
12、22zyx 6:zyxP记球冠为 ，方向指向球外。求第二型曲面积分dxdyzI五、 （本题 15 分）设 在 上非负连续，严格单增，且存在 ，f,ba ,baxn使得 。求nndxxf)(1)( nlim六、 （本题 15 分）设 。求222An nnA4lim2015 第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题 6 分，共 5 小题，满分 30 分）（1）极限 .222sinisinlm1n（2）设函数 由方程 所决定，其中 具有连,zxy,0zFxy ,Fuv续偏导数，且 。则 .0uvF（3）曲面 在点 的切平面与曲面所围区域的体积是 .21zxy,13M（4）函数 在 的傅立叶
13、级数在 收敛的值是 .3,50.f, 0x（3）设区间 上的函数 定义域为的 ，则 的初等0,ux20xtuedux函数表达式是 .二、 （12 分）设 是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程。M三、 （12 分）设 在 内二次可导，且存在常数 ，使得对于fx,ab,，有 ，则 在 内无穷次可导。,xabfxffxf,ab四、 （14 分）求幂级数 的收敛域，及其和函数。3021!nn五、 （16 分）设函数 在 上连续，且 。试证：fx,1100,fxdfxd（1） 使0,1x04f（2） 使 1x五、 （16 分）设 在 上有连续的二阶偏导数，且,fy2。若22xyfM证明： 。0,0,0,xyfff21,4xy Mfdxy
