1、数列模块小结1 ，数列是特殊的函数， ；()naf1,12nnSa2等差数列的定义及性质（1） ， ；1nd11()()()nmaddad（2） ；21 1()2nSna（3）若 ，则 ；若 ，则 ；mpqmnpqamp2mnpa（4）若 是等差数列，则 ， 仍成等差数列，公差为 ；na kkkSS232, kd（5）若 是等差数列，则 也是等差数列，公差为 ；nn2d（6）若 是等差数列，则 ， .na21()nnSa12nSTb3等比数列的定义及性质（1） ， ；1nqa11nnmnaq（2） ；111, 1() ,nn nn qSaqq（3）若 ，则 ；若 ，则 ；pmmnp2p2mnp
2、a（4） ；2 21,nGababa（5）若 是等比数列，则 ， 仍成等比数列（ 或n kkkSS232, 1q为奇数） ， （当 时，若 为偶数，则不为等比数列）. k1q4数列求和的方法（1）公式法： ，222113()216nn；334（2）错位相减法：适用于通项由等差和等比相应项的乘积构成的数列求和；（3）裂项相消法： （ 为公差为 的等差数列） ，11nnadand， ，122n 1abb， ；112nn1nk（4）分组求和法； （5）倒序相加法；5.由递推公式求通项公式（1） ，由 得（叠加）1()naf11221()()()nnnaaa；（2） ，由 可得（迭乘法） ；1()ng
3、 121n（3） ，由 可得（同化） ；()nSfa1,nnS（4） ，由 构造等比数列求得；1npq1()nnqpa（5） ，两边同除 可以转化为（4）处理；1narq（6） ，由 可以求得；pq1()nnaxypaxy（7） ，两边取倒数可以转化；1nnar（8） ，若 ，则可取 求得；若 ，则可取 求得；1nplg1plogp（9） ，两边同除以 可以求得；1nnaqana（10） ，由 可以求得；1 1()nxyx（11）奇偶项，如 ； （12）周期数列.1nnp数列习题（一）1.如果等差数列 中， ，那么 （ ）na34512a127aaA14 B21 C28 D35解析：选 C.
4、2设 为等比数列 的前 项和，已知 ， ，则公比 （ nSna342Sa32Saq）A3 B4 C5 D6解析：选 B. 两式相减得， 343434.aaq3设 为等比数列 的前 项和， ，则 （ ）nSn258052SA11 B5 C D 1解析：选 D. 由 32280.aaq4.已知 是首项为 1 的等比数列， 是 的前 项和，且 ，则数列n nS369S的前 5 项和为（ ）1naA 或 5 B 或 5 C D8316316158解析：选 C.显然 ， ，所以 是首q639()92qqna项为 1，公比为 的等比数列， 前 5 项和21.T5.设 为等差数列 的前 项和，若 ，则 .n
5、Sna36,24S9a解析：填 15. 依题设求出 1,.d6已知数列 满足 ，则 的最小值为_.na113,2nana解析：填 由叠加法得 ，2. 231nn构造函数 ，由单调性知， 在 上增，在 上减，3()1fn()f,)(0,3)当 5 或 6 时 有最小值，又f56321,.a7已知数列 满足： ，na *43412,0,nnnN则 ， .20920a解析：填 1，0. 考查周期数列， 94503201407104251, 0.aa8.已知数列 的前 项和为 ，且nanS*8.nN（1）证明： 是等比数列；（2）求数列 的通项公式，并求出使得 成立的最小正整数 .nS1nSn解析：（
6、1）当 时， ；当 时，14a2,1155()6nnnnnaa又 ， 是等比数列.10（2）由（1）知： 11*()75()90()nnnaSN由 得 ，最小正整数1nS156522()log4.65.9.已知 是公差不为零的等差数列， ，且 成等比数列.na1a139,a（1）求数列 的通项公式； （2）求数列 的前 项和 .2nnS解析：（1）由题设知公差 ，依题意， ，0d2(1)81dd.na（2）由（1）知 ，2na2.nS10.已知 是首项为 19，公差为 的等差数列， nS为 a的前 项和.na（1）求通项 及 ；nS（2）设 是首项为 1，公比为 3 的等比数列，求数列 的通项
7、公式及其前nb nb项和 .T解析：（1）依题意， 22,0.nnaS（2） ，13nb1231(13)0.nnnT数列习题（一）1.如果等差数列 中， ，那么 （ ）na34512a127aaA14 B21 C28 D352设 为等比数列 的前 项和，已知 ， ，则公比 （ nSna342Sa32Saq）A3 B4 C5 D63设 为等比数列 的前 项和， ，则 （ ）nSna2580a52SA11 B5 C D 14.已知 是首项为 1 的等比数列， 是 的前 项和，且 ，则数列nanSa369S的前 5 项和为（ ）1nA 或 5 B 或 5 C D83163161585.设 为等差数列
8、 的前 项和，若 ，则 .nSna36,24S9a6已知数列 n满足 113,na则 n的最小值为_.7已知数列 满足： ，na *43412,0,nnnaaN则 ， .2092018.已知数列 的前 项和为 ，且nanS*58,.naN（1）证明： 是等比数列；1（2）求数列 的通项公式，并求出使得 成立的最小正整数 .nS1nSn9.已知 是公差不为零的等差数列， ，且 成等比数列.na1a139,a（1）求数列 的通项公式； （2）求数列 的前 项和 .2nnS10.已知 是首项为 19，公差为 的等差数列， nS为 a的前 项和.na2（1）求通项 及 ；nS（2）设 是首项为 1，公
9、比为 3 的等比数列，求数列 的通项公式及其前nb nb项和 .T数列习题（二）1.已知各项均为正数的等比数列 ， ， ，则 （ na123578910a456a）A 52 B7 C 6 D 2解析：选 A， 6313895502.aa2已知等比数列 中，各项都是正数，且 成等差数列，则 （ n 132,a91078a）A B C D11232解析： 2910312 7812.aaqqq3.设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则当 取最小值时，nnS146,nS等于（ ）A6 B7 C8 D9解析： .2,S16nd4已知等比数列 满足 ，且 ，则当 时，a0,12,n 25(3)na1n（ ）
10、21232logllogaA B C D ()n()2n2()解析： 2 22121,0llog.nn na a5设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 .nnS9749解析： 9524915958324.Saaaa6等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 .nnS536S解析： 5314().d7.设 ，则数列 的通项公式 .*1122,nnaabNnbnb解析： 114.nnb8设 为实数，首项为 ，公差为 的等差数列 的前 项和为 ，满足,ad1adnanS.560S（1）若 ，求 及 ； （2）求 的取值范围.6S1解析：（1） ， ，653658aS11057.8ada（2） ，22256111090(49)0Sd 或d.另解：看作关于 的方程，解1a.9已知等差数列 满足： ， 的前 项和为 .n357,26ananS（1）求 及 ； （2）令 ，求数列 的前 项和 .naS*21()nbNnbnT解析：（1） 13, ,.nndaS（2） ，()4nb1().44(1)nT
