1、动点最值问题解法探析一、问题原型：如图 1-1，要在燃气管道 上修建一个泵站，分别向 、 两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？这个“确定最短路线”问题，是一个利用轴对称解决极值的经典问题。解这类问题二、基本解法：对称共线法。利用轴对称变换，将线路中各线段映射到同一直线上（线路长度不变），确定动点位置，计算线路最短长度。三、一般结论：( 在线段 上时取等号) （如图 1-2）线段和最小，常见有三种类型：（一）“|定动|+|定动| ”型：两定点到一动点的距离和最小通过轴对称，将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，映射到直线的另一侧，当动点在这个定点的对称点及另一定点的线段
2、上时，由“两点之间线段最短”可知线段和的最小值，最小值为定点线段的长。1.两个定点+一个动点。如图 1-3，作一定点 关于动点 所在直线 的对称点 ，线段 （ 是另一定点）与 的交点即为距离和最小时动点 位置，最小距离和 。例 1（2006 年河南省中考题）如图 2，正方形 的边长为 ， 是 的中点，是对角线 上一动点，则 的最小值是 。 解析： 与 关于直线 对称，连结 ，则 。连结 ,在中， ， ，则故 的最小值为例 2 （2009 年济南市中考题）如图 3，已知：抛物线 的对称轴为 ，与 轴交于 、 两点，与轴 交于点 ，其中 ， 。（1）求这条抛物线的函数表达式；（2）已知在对称轴上存
3、在一点 ，使得 的周长最小，请求出点 的坐标。解析：（1）对称轴为 ， ，由对称性可知： 。根据 、 、三点坐标，利用待定系数法，可求得抛物线为：（2） 与 关于对称轴 对称，连结 ， 与对称轴交点即为所求 点。设直线 解析式为： 。把 、 代入得，。当 时， ，则2.两个定点+两个动点。两动点，其中一个随另一个动（一个主动，一个从动），并且两动点间的距离保持不变。用平移方法，可把两动点变成一个动点，转化为“两个定点和一个动点”类型来解。例 3 如图 4，河岸两侧有 、 两个村庄，为了村民出行方便，计划在河上修一座桥，桥修在何处才能两村村民来往路程最短？解析：设桥端两动点为 、 ，那么 点随
4、点而动， 等于河宽，且 垂直于河岸。将 向上平移河宽长到 ，线段 与河北岸线的交点即为桥端 点位置。四边形为平行四边形， ，此时 值最小。那么来往 、 两村最短路程为： 。例 4 (2010 年天津市中考)在平面角坐标系中，矩形 的顶点 在坐标原点，顶点 、 分别在 轴、 轴的正半轴上， ， ， 为边 的中点。（1）若 为边 上的一个动点，当 的周长最小时，求点 的坐标；（2）若 ， 为边 上的两个动点，且 ，当四边形 的周长最小时，求点 ， 的坐标。解析：作点 关于 轴的对称点 ，则 ， 。（1）连接 交 轴于点 ，连接 ，此时 的周长最小。由可知 ，那么 ，则 。（2）将 向左平移 2 个
5、单位（ ）到 点，定点 、 分别到动点 、 的距离和等于为定点 、 到动点 的距离和，即 。从而把“两个定点和两个动点”类问题转化成“两个定点和一个动点”类型。在 上截取 ，连接 交 轴于 ，四边形 为平行四边形，。此时 值最小，则四边形 的周长最小。由 、 可求直线 解析式为 ，当 时， ，即，则 。（也可以用（1）中相似的方法求 坐标）（二）“|动定|+|动动| ”型：两动点分别在两条直线上独立运动，一动点分别到一定点和另一动点的距离和最小。利用轴对称变换，使一动点在另一动点的对称点与定点的线段上（两点之间线段最短），且这条线段垂直于另一动点的对称点所在直线（连接直线外一点与直线上各点的所
6、有线段中，垂线段最短）时，两线段和最小，最小值等于这条垂线段的长。例 5 （2009 年陕西省中考）如图 6，在锐角 中， ， 的平分线交 于点 ， 、 分别是 和上的动点，则 的最小值为 4 。解析：角平分线所在直线是角的对称轴， 上动点 关于 的对称点 在上， ， ，当 时， 最小。作 于 ，交 于 ， ， 作 交 于 ，例 6 如图 7，四边形 是等腰梯形， 、 在轴 上， 在 轴上， ， ， ，抛物线 过 、两点。（1）求 、 ；（2）设 是 轴上方抛物线上的一动点，它到 轴与 轴的距离之和为 ，求 的最大值；（3）当（2）中 点运动到使 取最大值时，此时记点 为 ，设线段 与 轴交于
7、点 ， 为线段 上一动点，求 到 点与到 轴的距离之和的最小值，并求此时 点的坐标。解析：（1）由 ， ， ， 可得： 、 、 ；根据 、 的坐标可求出抛物线解析式为（2）设 ，且 ，则 ，用零点分段法可求得， 。当 时， 。此时 ，则 。（3） 轴与直线 关于 对称，作 轴于 ，动点 关于 的对称点 在直线 上， ，当 垂直于直线 时，的值最小。，根据 和 可求直线 的解析式 ，则有 。由可知， 。作 ，过 点作 轴的平行线，交 于 ，那么 。作 于 ，则 ， ，当 是 于 的交点时，与 重合， 有最小值 5。函数 ，此时 ，则 ，即 。3.“|定动 |+|动动|+|动定| ”型：两定点到两
8、动点的距离、以及两动之间距离和最小。例 7 （2009 年漳州中考）如图 8， ， 是 内一点， 、 分别是 和 上的动点，求 周长的最小值。解析：分别作 关于 、 的对称点 、，连接 ，则 ，当 、 在线段 上时， 周长最小， ， 。 则 周长的最小值为例 8 高速公路 与沪渝高速公路 垂直，如图 9 建立直角坐标系。著名的恩施大峡谷（）和世界级自然保护区星斗山（ ）位于两高速公路同侧， ， 到直线的距离为 ， 到直线 和 的距离分别为 和 。请你在 旁和 旁各修建一服务区 、 ，使 、 、 、 组成的四边形的周长最小，并求出这个最小值。解析：作点 关于 轴的对称点 ，点 关于 轴的对称点
9、，连接 ，。当 、 在线段 上时，最小。过 、 分别作 轴、 轴的平行线交于 。在 中， ，交 轴于 ，交 轴于 。 ，而 四边形 的周长最小值为： 线段和的最值与定值”问题初探学生常常找不到解题的突破口，此类试题往往同根而异形，利用两个“典型题例” 进行“发散式”的概括和引申，是解决此类问题的一个捷径。所谓“典型题例 ”，就是某些题例虽然不是几何公理或定理，却可以举一反三地运用于其他相关的系列问题的解答。下面就“线段和的最值与定值” 问题，运用两个“典型题例”的源命题进行探讨。一、关于线段和的最小值源命题（北师大版七年级下册 P228 第七章习题 7.3“问题解决”第 2 题）：如图 1 所
10、示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区 A、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从 A、B 到它的距离之和最短？本题的解答是：作出点 B 的轴对称点 B1，连接 AB1 交直线 l 于点 P，则点 P 为所求的奶站位置。利用这一题例的结论，可以解决一些同根异形关联题，下面试举几例：【关联题 1】（2008 年湖北荆门市中考题）如图 2，菱形 ABCD 的两条对角线分别长 6 和 8，点 P 是对角线 AC 上的一个动点，点 M、N 分别是边 AB、BC 的中点，则 PM+PN 的最小值是_析解：利用菱形的对称性，在 AD 上找出点 M 关于 AC 的对称点 M（即AD 的中点），连结 MN
11、交 AC 于 P，则 PM+PN 的最小值为线段 MN 的长，而 M、N 分别为边 AD、BC 的中点，故 MN 的长等于菱形的边长 5。【关联题 2】（2007 年乐山市中考题）如图 3，MN 是O 的直径，MN=2，点 A 在O 上，AMN=30 ，B 为弧 AN 的中点，P 是直径 MN 上一动点，则 PA+PB 的最小值为（ ）析解：连结 OA，由 AMN=30得AON=60，取点 B 关于 MN 的对称点 B，中国教育文库:www.china-连结 OB、AB ，AB交 MN 于点 P，则 AB的长为 PA+PB 的最小值，且易知AOB=90 ，即AOB为等腰 Rt，故 。【关联题
12、3】（2008 年湖北黄石市中考题）如图 4，在等腰ABC 中，ABC=120，点 P 是底边 AC 上一个动点，M、 N 分别是 AB、BC 的中点，若 PM+PN 的最小值为 2，则ABC 的周长是（ ）析解：把等腰 ABC 沿 AC 翻折可得一菱形，由上面 【关联题 1】的解答可知，PM+PN 的最小值就是菱形的边 AB 的长，故 AB=2，由AB=BC=2，ABC=120易求得 ，因此ABC 的周长是( )。【关联题 4】（威海市 2009 年中考题）如图 5，在直角坐标系中，点 A，B ，C 的坐标分别为（-1 ，0 ），（3，0），（0，3 ），过 A，B，C 三点的抛物线的对称轴
13、为直线 l，D 为对称轴上 l 一动点，(1) 求抛物线的解析式；(2)求当 AD+CD 最小时点 D 的坐标；(3) 以点 A 为圆心，以 AD 为半径作A，证明：当 AD+CD 最小时，直线 BD 与 A 相切。写出直线 BD 与 A 相切时，D 点的另一个坐标。析解：（ 1）可设 y=a(x+1)(x-3)，再代入点 C 坐标，即可求得 y=-x2+2x+3。（2）利用点 A、B 关于直线 l：x=1 对称，连结 BC 交 l 于 D，则此时AD+CD 取得最小值；设 l 与 x 轴交点为 E，由BEDBOC 可求得DE=2，BD=2 姨 2 =AD，所以 D 的坐标为(1，2)。（3）
14、如图 6,连结 AD，由点 A、B、D 、E 的坐标易知ADE 和BDE 均为等腰 Rt，故ADE=BDE=45所以ADB=90，所以直线 BD 与A 相切。由对称性知点 D 的另一个坐标是（1，-2 ）。上述源命题还可作进一步引申：【引申题】小明在某景区游玩，他打算从景点 A 到河边（直线 l）走一段（长度为已知线段 a）再到景点 B，怎么走最近？析解：如图 7，本题的关键是确定直线 l 上的两点 D、E，因 DE=a 为定长，故只需 AE+BD 为最小即可；作线段 ACl 且 AC=a，作点 C 关于直线 l 的轴对称点 C，连接 CB 交直线 l 于点 D，在直线 l 上截取 DE=a，
15、连接 AE，则小明应走的路线是 AEED DB。理由是：连接 CD，则 CD=AE=CD，因DE=a 为定长， 故只须 AE+BD(=CD+BD)最小即可。【关联题 1】已知平面直角坐标系内两点 A（2，-3），B（4，-1 ）,(1)若C（ a，0），D（a+3，0）,是 x 轴上的两个动点，则当 a=_时，四边形ABCD 的周长最短。（2）设 M、N 分别为 x 轴和 y 轴上的动点，是否存在这样的点M（ m，0）， N（0，n）, 使四边形 ABMN 的周长最短？若存在，请求出 m、n 的值；若不存在，请说明理由。析解：（ 1）如图 8，本题中 AB 和 CD（a+3-a=3）均为定长，
16、故只需AC+BD 取最小值即可； 平移点 A 到 A1，使 AA1=CD=3，作点 A1 关于 x 轴的对称点 A2，连结 A2B 交 x 轴于 D，作 ACA1D 交 x 轴于点 C，由上述“ 引申题”结论知此时 AC+BD 取得最小值；求得直线 A2B 的解析式为 y=4x-17，可得 （2）如图 9，本题中 AB 为定长，分别作点 A、B 关于 y 轴、x 轴点对称点 A1、B1，连接 A1B1 交 x 轴于 M，交 y 轴于 N，则根据上述“源命题” 的结论，M、 N 为所求的点；易得直线 A1B1 的解析式为 ，令 y=0 得二、关于线段和为定值问题关于线段和为定值问题，可由一个较经
17、典的源命题进行引申发散。源命题：（来自马复主编讲堂中考冲刺P123）等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。如图，已知点 P 是等腰ABC 的底边BC 上一点，PFAB 于 F，PGAC 于 G，BD AC 于 D；求证：PF+PG=BD。本题的证明主要有 “截长补短”法和“面积法”，略证如下：略证一：如图 10，作 PEBD 于 E，则四边形 PEDG 是矩形，所以PG=ED；易证 PBF BPE，所以 PF=BE，所以 PF+PG=BD。略证二：如图 11，连结 AP，点 P 到两腰的距离分别为 r1，r2 ，腰上的高为 h，则有 SABP+SACP=S ABC，即 12ABr1+12ACr2= 12ACh，所以 r1+r2=h（定值）。
