1、 - 1 -相似三角形知识点1 相似图形形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. 知识点 2 比例线段的相关概念如果选用同一单位量得两条线段 的长度分别为 ，那么就说这两条线段的比是ba, nm,，或写成 nmbanmba:注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位在四条线段 中，如果 的比等于 的比，那么这四条线段 叫做成比dc,ba和 dc和 dcba,例线段，简称比例线段注意：(1)当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式(2)比例线段是有顺序的，如果说 是 的第四比例项，那么应得比例式为：,adcb知识点 3 比例的性质基本性
2、质：(1) ；bcadcb:(2) 2注意：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如 ，除bcad了可化为 ，还可化为 ， ， ， ，ca:c:bad:cd:， ， bdc:aabd:更比性质(交换比例的内项或外项)：()()cbdabc， 交 换 内 项， 交 换 外 项 同 时 交 换 内 外 项反比性质(把比的前项、后项交换)：adb合比性质：dcca注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立如： 等等dcbadcb等比性质：如果 ，那么 )0(nfdnmfedcba banfme注意：- 2 -(1)
3、此性质的证明运用了“设 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法k(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立如： ；其中 bafdbecafedcbafedcba 3232 032fd知识点 4 比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例推论：(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例(2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)
4、所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边知识点 5 黄金分割把线段 分成两条线段 ，且使 是 的比例中项，叫做把线AB)(,BCAABC和段 黄金分割，点 叫做线段 的黄金分割点，其中 0.618 CA215B知识点 6 相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形相似用符号“”表示，读作“相似于” 相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)相似三角形对应角相等，对应边成比例注意：对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的两个三角形形状一样，但大小不一定一
5、样全等三角形是相似比为 1 的相似三角形二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例知识点 7 相似三角形的基本定理定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似定理的基本图形：- 3 -用数学语言表述是：，BCDE/ A知识点 8 相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一 有 ABCAB(2)对称性：若 ，则 C(3)传递性：若 ，且 ，则 ABC知识点 9 三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似3、判定定理
6、 1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似简述为：两角对应相等，两三角形相似4、判定定理 2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似5、判定定理 3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似简述为：三边对应成比例，两三角形相似6、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似(3)直角三角形被斜边上的高分成的
7、两个直角三角形与原三角形相似直 角 三 角 形 中 ， 斜 边 上 的 高 是 两 直 角 边 在 斜 边 上 射 影 的 比 例 中 项 。 每 一 条 直 角 边 是 这条 直 角 边 在 斜 边 上 的 射 影 和 斜 边 的 比 例 中 项 。公 式 如 图 ， Rt ABC 中 ， BAC=90， AD 是 斜 边 BC 上 的 高 ， 则 有 射 影 定 理 如 下：- 4 -（ 1） （ AD） 2=BDDC，（ 2） （ AB） 2=BDBC ，（ 3） （ AC） 2=CDBC 。证 明 ： 在 BAD 与 ACD 中 ， B+ C=90， DAC+ C=90， B= DAC
8、，又 BDA= ADC=90， BAD ACD 相 似 ， AD/BD CD/AD， 即（ AD） 2=BDDC。 其 余 类 似 可 证 。注 ： 由 上 述 射 影 定 理 还 可 以 证 明 勾 股 定 理 。 由 公 式 （ 2） +（ 3） 得 ：（ AB） 2+（ AC） 2=BDBC+CDBC =（ BD+CD)BC=（ BC） 2，即 （ AB） 2+（ AC） 2=（ BC） 2。这 就 是 勾 股 定 理 的 结 论 。知识点 10 相似三角形性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比(3)相似三角形周
9、长的比等于相似比(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方(5)相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等知识点 11 相似多边形如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形相似多边形对应边的比叫做相似比(相似系数)知识点 12 相似多边形的性质(1)相似多边形周长比，对应对角线的比等于相似比(2)相似多边形中对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比(3)相似多边形面积比等于相似比的平方注意：相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决，因此，熟练掌握相似三角形知识是基础和关键知识点13 与位似图形有关的概念 1. 如果两个图形不
10、仅是相似图形，而且每组对应顶点的连线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形. 2. 这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比. 拓展： （1） 位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点. （2） 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形. （3） 位似图形的对应边互相平行或共线. 知识点14 位似图形的性质 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 拓展：位似图形有许多性质，它具有相似图形的所有性质.知识点15 画位似图形 1. 画位似图形的一般步骤： （1） 确定位似中心 （2） 分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或
11、截取）. - 5 -（3） 根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置. （4） 顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形. 2. 位似中心的选取： （1） 位似中心可以在图形外部，此时位似中心在两个图形中间，或在两个图形之外. （2） 位似中心可取在多边形的一条边上. （3） 位似中心可取在多边形的某一顶点上. 说明：位似中心的选取决定了位似图形的位置，以上位似中心位置的选取中，每一种方法都能把一个图形放大或缩小.知识点 16 相似三角形常见的图形（1）若 DEBC（A 型和 X 型）则ADEABC（2）射影定理 若 CD 为 RtABC 斜边上的高（双直角图形） 则 R
12、tABCRtACDRtCBD 且 AC2=ADAB，CD 2=ADBD，BC 2=BDAB；EADCB EADCB A DCB（3）满足 1、AC 2=ADAB，2、ACD=B，3、ACB=ADC，都可判定ADCACB（4）当 或 ADAB=ACAE 时，ADEACBAADCB EADCB（3） （4）练习题1、如图1,ADC= ACB=90 0,1=B,AC=5,AB=6, 则AD=_.2.如图2,ADEFBC, 则图的相似三角形共有_对.3.如图3,正方形ABCD中,E是AD的中点,BMCE,AB=6,CE=3 ,则BM=_.5- 6 -4.ABC的三边长为 , ,2,ABC的两边为1和
13、,若ABC ABC,则ABC的笫三边2105长为_.5.两个相似三角形的面积之比为15,小三角形的周长为4,则另一个三角形的周长为_.6.如图4,RtABC 中,C=90 0,D为AB的中点,DEAB,AB=20,AC=12,则四边形ADEC 的面积为_.7.如图5,RtABC 中,ACB=90 0,CDAB,AC=8,BC=6,则AD=_,CD=_.8.如图6,矩形ABCD中,AB=8,AD=6,EF垂直平分BD,则EF=_.9.如图7,ABC中,A=DBC,BC= ,SBCDS ABC=23,则CD=_.10.如图8,梯形ABCD中,ADBC,两腰BA 与CD的延长线相交于 P,PFBC,
14、AD=3.6, BC=6,EF=3,则PF=_.11.如图9,ABC中,DEBC,ADDB=2 3,则S ADES ABE=_.12.如图10,正方形ABCD内接于等腰PQR,P=90 0,则PAAQ=_.13.如图11,ABC中,DEFG BC,ADDFFB=123,则S 四边形DFGE S 四边形FBCG =_.14.如图12,ABC中,中线BD与CE相交于O点,S ADE=1,则S 四边形BCDE-=_.15.已知:如图,ABC中,CE AB,BF AC.求证:AEFACB.- 7 -E AFD CB16.已知:如图,ABC中,ABC=2 C,BD平分ABC.求证:ABBC=ACCD.17.已知：ACB为等腰直角三角形， ACB=90 0 延长BA至E，延长AB至F ，ECF=135 0。 求证：EAC CBF18、已知:如图,ABC 中,AD=DB, 1=2.求证:ABCEAD.19已知:如图,CE是RtABC的斜边AB上的高,BGAP。求证:(1)CE 2=AEEB ; (2) AEEB=EDEP20 已知，如图，在ABC 中，D 为 BC 的中点，且 AD=AC，DEBC，DE 与 AB 相交于点E，EC 与 AD 相交于点 F（1）求证：ABC FCD；（2）若 SFCD =5，BC=10 ，求 DE 的长。- 8 -
