1、直线与方程知识点总结一、直线基本知识1、直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角1 关于倾斜角的概念要抓住三点：.与 x 轴相交; .x 轴正向; .直线向上方向.2 直线与 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 0.3 倾斜角 的范围 0018.4 ； ,90k0,9k（2）直线的斜率直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为 09的直线斜率不存在。经过两点 （ ）的直线的斜率公式是 （ ）),(),(21yxP21x12xyk2每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。2、两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行对于两条不重合的直线 12,l，其斜率分别为 12,k，则有 1212/l
2、k。特别地，当直线 ,l的斜率都不存在时， l与 的关系为平行。（2）两条直线垂直如果两条直线 12,l斜率存在，设为 12,k，则 1212lkA注：两条直线 垂直的充要条件是斜率之积为-1 ，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为 0 时， 12l与 互相垂直。二、直线的方程1、直线方程的几种形式名称 方程的形式 已知条件 局限性点斜式 )(11xky为直线上一定点，),(1yx为斜率k不包括垂直于 x轴的直线斜截式 b为斜率， 是直线在 yb轴上的截距不包括垂直于 x轴
3、的直线两点式 1212xy),(2y其 中 是直线上),(,21yx两定点不包括垂直于 x轴和 y 轴的直线截距式 bax是直线在 x 轴上的非零a截距， 是直线在 y 轴上b的非零截距不包括垂直于 x轴和 y 轴或过原点的直线一般式 0CByA）不 同 时 为其 中 ,( ， ， 为系数ABC无限制，可表示任何位置的直线注：过两点 的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定。),(),(21yxP（1）若 ，直线垂直于 x 轴，方程为 ；221yx且 1x（2）若 ，直线垂直于 y 轴，方程为 ；1且 y（3） （3）若 ，直线方程可用两点式表示）22yx且2、线段的中点坐标公式若两点 ，且
4、线段 的中点 的坐标为 ，则),(),(21yxP21,PM),(yx212yx3. 过定点的直线系斜率为 且过定点 的直线系方程为 ；k),(0yx )(00xky过两条直线 , 的交点的直线系方程为:11CBAl :22CBAl（ 为参数） ，其中直线 l2不在直线系中.)(2211yxCyBxA三、直线的交点坐标与距离公式1.两条直线的交点设两条直线的方程是 , 两条直线的交点坐标0:11CyBxAl 0:22CyBxAl就是方程组 的解，0221yBxA若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。2.几种距离
5、（1）两点间的距离平面上的两点 间的距离公式),(),(21yxP 212121 )()(yxP特别地，原点 与任一点 的距离0O),(xO（2）点到直线的距离点 到直线 的距离),(0yxP0:CByAl 20BACyxd（3）两条平行线间的距离两条平行线 , 间的距离:11yxl 0:22yxl 21BAd（注意：1 求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；2 求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算。 ）补充：1、直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角（2） 已知斜率 k 的范围，求倾斜角 的范围时，若 k 为正数，则 的范围为(0,)的子集，且
6、 k=tan为增函数；若 k 为负数，则 的范围为 (,)2的子集，且k=tan为增函数。若 k 的范围有正有负，则可所范围按大于等于 0 或小于 0 分为两部分，针对每一部分再根据斜率的增减性求倾斜角范围。2、利用斜率证明三点共线的方法：已知 123(,)(,)(,)AxyBCxy若 123ABCxk或 ，则有 A、B、C 三点共线。注：斜率变化分成两段， 09是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。3. 两条直线位置关系的判定：已知 , ，则：:11yxl 0:22yAxl（1） 22BA（2） ;,0-/ 1211 Cl（3） 221重 合与（4） 与 相交l 11如果 时，则：20A
7、BC(1) 1211l(2) ；2/ ）不 为 0,(2CBA(3) 与 重合1l2 ）不 为,2121(4) 与 相交1l2 ）不 为 0,(4. 有关对称问题常见的对称问题：（1）中心对称若点 及 关于 对称，则由中点坐标公式得),(1yxM),(2yxN),(baP12ybxa直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用 ，由点斜式得到所求直线方程。21/l（2）轴对称点关于直线的对称若两点 与 关于直线 对称，则线段 的中点在对),(1yxP),(2yx0:CByAxl 21P称
8、轴 上，而且连接 的直线垂直于对称轴 上，由方程组l1)(021221BAxyCy2yx可得到点 关于 对称的点 的坐标 （其中 ）Pl2P),(2x21,0xA直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行。注：曲线、直线关于一直线 对称的解法： 换 ， 换 . 例：曲线bxyyxy关于直线 对称曲线方程是0),(yxf 2xy 0)2,(yf曲线 关于点 的对称曲线方程是0),(:fC),(a 0),(baf5. 两条直线的交角直线 到 的角（方向角） ；直线 到 的角，是指直线 绕交点依逆时针方向旋1l2 1l2
9、1l转到与 重合时所转动的角 ，它的范围是 ，当 时 .2),0(9021tank两条相交直线 与 的夹角：两条相交直线 与 的夹角，是指由 与 相交所成1l2 1l2l的四个角中最小的正角 ，又称为 和 所成的角，它的取值范围是 ，当 ，则1l2 2,090有 .21tank6. 直线 上一动点 P 到两个定点 A、B 的距离“最值问题”：l(1) 在直线 上求一点 P，使 取得最小值，1 若点 位于直线 的同侧时，作点 （或点 ）关于 的对称点 或 , BA、 l Bl/A/B.)(/ 即 为 所 求 点， 则 点于交或连 接 l2 若点 位于直线的异侧时，连接 交于 点 ，则 为所求点。
10、、 AlP可简记为“同侧对称异侧连”.即两点位于直线的同侧时，作其中一个点的对称点；两点位于直线的异侧时，直接连接两点即可.（2）在直线 上求一点 使 取得最大值，lPB方法与（1）恰好相反，即“异侧对称同侧连”1 若点 位于直线 的同侧时，连接 交于 点 ，则 为所求点。BA、 lAlP2 若点 位于直线的异侧时，作点 （或点 ）关于 的对称点 或 , 、 Bl/A/B.)(/ 即 为 所 求 点， 则 点于交或连 接 Pl(3) 的最值：函数思想 “转换成一元二次函数，找对称轴 ”。2P7. 直线过定点问题：1 含有一个未知参数，（1）12)(axy 1)2(xay令 ，0x将 ，从而该直
11、线过定点3)(y式 ， 得代 入 )3,(2 含有两个未知参数0)2()3(nymxn 0)12()(yxnym令 1yx731yx从而该直线必过定点 )73,1(8. 点到几种特殊直线的距离（1）点 0(,)Pxy到 x 轴的距离 0|dy。（2）点 到 y 轴的距离 |x.（3）点 0(,)x到与 x 轴平行的直线 y=a 的距离 0|dya。（4）点 Py到与 y 轴平行的直线 x=b 的距离 |x.9. 与已知直线平行的直线系有：（1）平行于直线 )(00/CByACBAx 的 直 线 可 表 示 为（2）平行于直线 )(/bkxbky的 所 有 直 线 为10. 易错辨析：（1） 讨论斜率的存在性：解题过程中用到斜率，一定要分类讨论：1 斜率不存在时，是否满足题意；2 斜率存在时，斜率会有怎样关系。（2）注意“截距”可正可负，不能“错认为”截距就是距离，会丢解；（求解直线与坐标轴围成面积时，较为常见。 ）（3） 直线到两定点距离相等，有两种情况：1 直线与两定点所在直线平行；2 直线过两定点的中点。（求解过某一定点的直线方程时，较为常见。 ）（4）过点 ，平行于 轴的直线方程为),(0yxAx0y过点 ，平行于 轴的直线方程为yx
