1、第 1 页 共 4 页矩阵知识点归纳(一) 二阶矩阵与变换1线性变换与二阶矩阵在平面直角坐标系 xOy 中，由 Error!(其中 a，b，c，d 是常数) 构成的变换称为线性变换由四个数 a，b，c，d 排成的正方形数表 称为二阶矩阵，其中 a，b，c，d 称为矩a bc d阵的元素，矩阵通常用大写字母 A，B ，C，或(a ij)表示( 其中 i，j 分别为元素 aij所在的行和列) 2矩阵的乘法行矩阵a 11a12与列矩阵 的乘法规则为 a11a12 a 11b11a 12b21，二阶矩阵b11b21 b11b21与列矩阵 的乘法规则为 .矩阵乘法满足结合律，不满足交换律和消a bc d
2、 xy a bc dxy ax bycx dy去律3几种常见的线性变换(1)恒等变换矩阵 M ；1 00 1(2)旋转变换 R对应的矩阵是 M ；cos sin sin cos (3)反射变换要看关于哪条直线对称例如若关于 x 轴对称，则变换对应矩阵为 M1；若关于 y 轴对称，则变换对应矩阵为 M2 ；若关于坐标原点对称，则变1 00 1 1 00 1换对应矩阵 M3 ； 1 00 1(4)伸压变换对应的二阶矩阵 M ，表示将每个点的横坐标变为原来的 k1 倍，纵k1 00 k2坐标变为原来的 k2 倍，k 1，k 2 均为非零常数；(5)投影变换要看投影在什么直线上，例如关于 x 轴的投影
3、变换的矩阵为 M ；1 00 0(6)切变变换要看沿什么方向平移，若沿 x 轴平移|ky| 个单位，则对应矩阵 M ，1 k0 1若沿 y 轴平移|kx|个单位，则对应矩阵 M .(其中 k 为非零常数)1 0k 14线性变换的基本性质设向量 ，规定实数 与向量 的乘积 ；设向量 ， ，规定xy xy x1y1 x2y2向量 与 的和 .x1 x2y1 y2(1)设 M 是一个二阶矩阵， 、 是平面上的任意两个向量， 是一个任意实数，则M( )M ，M ()MM .(2)二阶矩阵对应的变换(线性变换 )把平面上的直线变成直线(或一点) (二) 矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量1矩阵的逆矩阵(1)
4、一般地，设 是一个线性变换，如果存在线性变换 ，使得 I，则称变换 可逆并且称 是 的逆变换第 2 页 共 4 页(2)设 A 是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵 B，使得 BAABE，则称矩阵 A 可逆，或称矩阵 A 是可逆矩阵，并且称 B 是 A 的逆矩阵(3)(性质 1)设 A 是一个二阶矩阵，如果 A 是可逆的，则 A 的逆矩阵是唯一的A 的逆矩阵记为 A1 (4)(性质 2)设 A，B 是二阶矩阵，如果 A，B 都可逆，则 AB 也可逆，且( AB)1 B 1A1 .(5)已知 A，B ，C 为二阶矩阵，且 ABAC，若矩阵 A 存在逆矩阵，则 BC.(6)对于二阶可逆矩阵 A (ad
5、bc0)，它的逆矩阵为 A1 .a bc d dad bc bad bc cad bc aad bc2二阶行列式与方程组的解对于关于 x，y 的二元一次方程组Error! 我们把 称为二阶行列式，它的运算结果是|a bc d|一个数值( 或多项式)，记为 det(A) adbc.|a bc d|若将方程组中行列式 记为 D， 记为 Dx， 记为 Dy，则当 D0 时，方程|a bc d| |m bn d| |a mc n|组的解为Error!3二阶矩阵的特征值和特征向量(1)特征值与特征向量的概念设 A 是一个二阶矩阵，如果对于实数 ，存在一个非零向量 ，使得 A，那么 称为 A 的一个特征值
6、， 称为 A 的一个属于特征值 的一个特征向量(2)特征多项式设 是二阶矩阵 A 的一个特征值，它的一个特征向量为 ，则 A ，a bc d xy xy xy即Error! 也即Error!(*)定义：设 A 是一个二阶矩阵，R，我们把行列式 f()a bc d 2(ad)adbc 称为 A 的特征多项式| a b c d|(3)矩阵的特征值与特征向量的求法如果 是二阶矩阵 A 的特征值，则 一定是二阶矩阵 A 的特征多项式的一个根，即 f()0，此时，将 代入二元一次方程组(*)，就可得到一组非零解 ，于是非零向量 即x0y0 x0y0为 A 的属于 的一个特征向量所有变换矩阵单位矩阵： ，
7、点的变换为10M(,),xy伸压变换矩阵： ： ，将原来图形横坐标扩大为原来 倍，纵坐标不变01kk第 3 页 共 4 页，将原来图形横坐标缩小为原来 倍，纵坐标不01kk变点的变换为 (,),)xyk： ，将原来图形纵坐标扩大为原来 倍，横坐标不变10Mk1k，将原来图形纵坐标缩小为原来 倍，横坐标不变点的变换为 (,),)xyk反射变换： ：点的变换为 变换前后关于 轴对称10M,x：点的变换为 变换前后关于 轴对称01(,),)xyy：点的变换为 变换前后关于原点对称(,),)y：点的变换为 变换前后关于直线 对称01M(,),xyyx旋转变换： ：逆时针 ： ；顺时针 ：cosini0
8、910M0901旋转变化矩阵还可以设为： ab投影变换：将坐标平面上的点垂直投影到 轴上10M x点的变换为 (,),xy：将坐标平面上的点垂直投影到 轴上01M y第 4 页 共 4 页点的变换为 (,)0,xy：将坐标平面上的点垂直于 轴方向投影到 上1Mxyx点的变换为 (,),xy：将坐标平面上的点平行于 轴方向投影到 上01xyx点的变换为 (,),)xy：将坐标平面上的点垂直于 方向投影到 上12Myxyx点的变换为 (,),)2xy切变变换： ：把平面上的点沿 轴方向平移 个单位10k |ky点的变换为 (,),)xyky：把平面上的点沿 轴方向平移 个单位1Mk |kx点的变换为 (,),)xykxy
