1、广西民族学院计算机与信息科学学院 2003 年 12 月29求逆矩阵的若干方法和举例 苏红杏 广西民院计信学院00数本（二）班摘 要 本文详细给出了求逆矩阵的若干方法并给出相应的例子，以供学习有关矩阵方面的读者参考。关键词 逆矩阵 初等矩阵 伴随矩阵 对角矩阵 矩阵分块 多项式等引 言 在我们学习高等代数时，求一个矩阵的逆矩阵是一个令人十分头痛的问题。但是，在研究矩阵及在以后学习有关数学知识时，求逆矩 阵又是一个必不可缺少的知识点。 为此，我介绍下面几种求逆矩阵的方法，供大家参考。定义: 阶矩阵 为可逆，如果存在 阶矩阵 ，使得 ，这里 是 阶单位矩nAnBEAn阵，此时 ， 就称 为 的逆矩
2、阵，记为 ，即：B1A1方法 一. 初等变换法（加边法）我们知道，n阶矩阵A为可逆的充分必要条件是它能表示成一系列初等矩阵的乘积A=， 从而推出可逆矩阵可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵。即，必有一系mQ21列初等矩阵 使m21（1）E则 = （2）A1把A，E这两个n阶矩阵凑在一起，做成一个n*2n阶矩阵（A，E），按矩阵的分块乘法，（1）（2）可以合并写成（A，E）=（ ，A， ）=（E， ） （3）1Qm 1QmQm11A这样就可以求出矩阵A的逆矩阵 。例 1 . 设A= 求 。01241解：由（3）式初等行变换逐步得到：1012401012412304230广西民族学院计算机与信息科
3、学学院 2003 年 12 月30于是 = 1A2134说明：此方法适用于求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，比较简便，特别是当阶数较高时，使用初等变换法的优点更明显。同样使用初等列变换类似行变换，此略，注意在使用此方法求逆矩阵是，一般做初等行变换，避免做初等列变换。方法 二. 伴随矩阵法定理：矩阵A是可逆的充分必要条件是A非退化，而 = ，（d= 0） (4)1Ad*A我们用（4）式来求一个矩阵的逆矩阵。例 2. 求矩阵A的逆矩阵 ：已知A= 1A342解：d= =9+6+24-18-12-4=2 0=2 =-3 =2 11213=6 =-6 =222=-4 =5 =-23A3A用伴随矩阵法，得
4、= = 1d*1253说明：虽然这个公式对任何可逆矩阵都适用，但由于计算量大，一般只用于较低阶的矩阵的求逆比如二阶三阶矩阵的逆，尤以对二阶，此方法更方便。方法 三. 矩阵分块求逆法在进行高阶矩阵运算时，经常将高阶矩阵按某种规则分成若干块，每一小块是一小矩阵，这样一方面对小矩阵进行运算，一方面每一小矩阵又可作为一个元素按运算规则来进行运算，求出矩阵的逆矩阵。引出公式： 设T的分块矩阵为：T= , 其中T为可逆矩阵，则DCBA= , （5）1 111 11)()( )()(CABDA说明：关于这个公式的推倒从略。例 3. 求下列矩阵的逆矩阵，已知 W= 524310解：将矩阵W分成四块，设广西民族
5、学院计算机与信息科学学院 2003 年 12 月31A= , B= , C= , D= ,10243245于是 即),(1BCAD= 41=B= , =C= ，123123利用公式（5），得=1W124308652方法 四. 因式分解法若 ，即（E-A）可逆，且有 = ， （6）0kA)(AE12KA我们通过上式（6），求出 1例 4.求下面矩阵的逆矩阵，已知：A= ,1002341解：因为存在一个K 0，使 =0，把这里的（E-A）替换（6）式中的“A”，得 =KAE)( 1A2)()( AE通过计算得 = =0，即K=44)( 4100231所以 =1A32)()()(AEE= + 100
6、124广西民族学院计算机与信息科学学院 2003 年 12 月32= 10110方法 五.多项式法我们知道，矩阵A可逆的充分必要条件是有一常数项不为零的多项式f(x)，满足f(A)=0，用这个知识点也可以求出逆矩阵。例 5.已知矩阵A= ，且A满足多项式f(x)= ，即 试312 0352EX0352EA证明A是可逆矩阵，并求其可逆矩阵。证：由 ，可得052E)31(从而可知A为可逆矩阵，并且 3210351231方法 六. 解方程组法在求一个矩阵的的逆矩阵时，可设出逆矩阵的待求元素，根据等式 两端EA1对应元素相等，可得出相应的只含待求元素的诸多线性方程组，便可求解逆矩阵。例 6.求A= 的
7、逆矩阵3412解：求可逆矩阵A的逆矩阵X，则它满足AX=E，设 ，则),(321X， ， 01 012AX03A利用消元解法求 （i=1,2,3）iiixX321解得： 广西民族学院计算机与信息科学学院 2003 年 12 月33102531XA方法 七. 准对角矩阵的求逆方法定义：形如 是矩阵 。inAA,0021 ni,21A称为准对角矩阵。其求逆的方法：可以证明：如果 都可逆，则准对角矩阵也可逆，且nA,21 11221 000000 nn AAA 例 7. 已知 ，求 。500123041解：设 =4 1A51232 53A3210AA求得： ,41 3712 513广西民族学院计算机
8、与信息科学学院 2003 年 12 月34所以 5100731250041013121AA方法八.恒等变形法有些计算命题表面上与求逆矩阵无关，但实质上只有求出其逆矩阵之后，才能解决问题。而求其逆矩阵常对所给矩阵进行恒等变形，且常变为两矩阵乘积等于单位矩阵的等式。例 8.已知 ， 求 ， 其中 ， EA61 213A解：对已知矩阵等式 进行恒等变形，得6E166于是， ，又因为A是正交矩阵， ，所以 1T1231TA方法九.公式法利用下述诸公式，能够迅速准确地求出逆矩阵。） 二阶矩阵求逆公式（两调一除）：若 ， 则 dcbaacbdA1） 初等矩阵求逆公式： ijijE1)()kii1ijij）
9、 对角线及其上方元素全为的上三角矩阵的逆矩阵的逆矩阵为：10 A广西民族学院计算机与信息科学学院 2003 年 12 月35 1001001 A） 正交矩阵的求逆公式：若A为正交矩阵，则 TA15）其他常用的求逆公式： 11)(BTTA)()(1A11)*()(可逆 ，则S,321 22)SS例 9. 已知：， ，求 。10A10B1)(AB解：由于A是初等矩阵，由公式得： A而B为元素都为1的上三角矩阵，由公式得： ，再由公式得：101B 0101010)(1A到此为止，我已介绍了9种求逆矩阵的方法，除此外还有求正定矩阵的逆矩阵的三角阵法，由于其方法不是很简便，在此略。这些方法各有所长，读者可根据实际情况进行选择。当然，除此之外还有其它方法。希望能和大家在今后的学习中，共同研究出更方便，更有效的矩阵求逆方法。参考文献：1 高等代数/北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编。1988.32 高等代数一题多解200例/ 魏献祝 编 福建人民出版社。3 线性代数学习指导/ 戴宗儒 编 科学技术出版社。4 线性代数解题方法技巧归纳/ 毛纲源 编 华中理工大学出版社。5 数学手册/ 数学手册编写组编
