1、 B CEA DEABC D例 1有公共顶点 C的ABC 和CDE 都是等边三角形.MN EACB DA EDBC（1）求证：AD=BE；（2）如果将CDE 绕点 C沿顺时针方向旋转一个任意角，AD=BE 还成立吗？推广：四边形 ABDE和 ACFG都是正方形，连结 EC,BG，如果将 ABDE绕点 A旋转一个任意角，问 EC与 BG有何关系.例 2.课本例题推广：（1）如图，在四边形 ABCD中，ABAD，BAD=BCD=90，且四边形 ABCD的面积 36，求线段 BC与 CD的和.（2）已知：在五边形 ABCDE中，ABAE，BCDECD，ABCAED180求证：AD 是CDE 的平分线
2、（3）如图，在梯形 ABCD中，ADBC，且 BCAD；D90，BCCD12，ABE45若 AE10，求 CE的长GFED AB CECDBA例 3已知 E、F 分别在正方形 ABCD边 AB和 BC上，AB=1，EDF=45.求BEF 的周长.例 4. 已知：在ACB 中，ACB90，ACBC，D、E在 AB边上，且使得DCE45求证：AD、DE、EB 三条线段确定的数量关系练习：1 在ABC 中，AB=AC，如图，BAC=90，DAE=45，BD=2，CE=3 .求 DE的长.拓展：如图，在等腰三角形 ABC中，AB=AC，（1）P 是三角形内的一点，且APB=APC求证：PB=PC（2）
3、D 是三角形内一点，若ADBADC求证DBCDCB（3）若 P为正方形 ABCD内一点，PAPBPC=123试证APB=135PCBADCBA3 21PDC BAFEDCBA2 （正方形中的三角形旋转）已知：如图，E 是正方形 ABCD边 BC上任意一点，AF 平分EAD 交 CD于F，试说明 BE+DF=AE.A DB F CEME BCA DED CBA拓展：已知：在正方形 ABCD中，E、F 分别是 BC、CD 上的点，（1）如图（1） ，若有 BE+DF=EF，求：EAF 的度数.（2）如图（2） ，若有EAF =45.求证：BE+DF=EF.（3）如图（3） ，若EAF=45，AHE
4、F求证：AH=AB （4）如图（4） ，若正方形 ABCD边长为 1，CEF 的周长为 2求EAF 的大小（5）如图（5） ，若 AB= 3，且BAE=30，DAF=15，求AEF 的面积（6）如图（6） ，正方形 ABCD被两条与边平行的线段 EF、GH 分割成 4个小矩形，P 是 EF与 GH的交点，若矩形 PFCH的面积恰是矩形 AGPE面积的 2倍试确定HAF 的大小，写出推导的过程FEDCBAFEDCBAHFEDCBA（1） （2） （3）FEDCBAFEBDAC PG HFE DCBA（4） （5） 练习：（答案）1在ABC 中，AB=AC，如图，BAC=90，DAE=45，BD=
5、2，CE=3 .求 DE的长.ED CBA拓展：如图，在等腰三角形 ABC中，AB=AC，（1）P 是三角形内的一点，且APB=APC求证：PB=PC（2）D 是三角形内一点，若ADBADC求证DBCDCBPCBADCBAEDCBA分析: 将ABC 以 A为中心逆时针旋转一角度BAC，到ACE 的位置连 DE，由ADBADC，得 AECADC又 ADE=AED，相减，得 DECEDC CDCE即 CDBD，从而DBCDCB拓展（3）若 P为正方形 ABCD内一点，PAPBPC=123试证APB=1353 21PDC BA3 21EPDC BA分析:利用正方形的特点设法经过旋转使 AP、PB、P
6、C 相对集中，为简单起见不妨设 PA=1， PB=2，PC=3绕 B点顺时针旋转 90，使CBP 到ABE 的位置，这时BE=2，AE=3，PBE=90PE= 2，BPE=45.又 22981AEPEA APE=90于是 APB=135拓展（4）在等边三角形内有一点 P连接 P与各顶点的三条线段的长为 3、4、5.求正三角形的边长.（答案： 3125 ）PCBADPPCBA分析:将CPB 旋转到APB，连接 PP，延长 BP，过 A作ADBD.易知APP是直角三角形，因为BPP=60，所以APD=30，则 AD=2，DP= 32.旋转讲解 2例 1：（05 大连）如图 1，操作：把正方形 CG
7、EF的对角线 CE放在正方形 ABCD的边 BC的延长线上（ CG BC） ，取线段 AE的中点 M （1）探究：线段 MD、 MF的关系，并加以证明（2）在你经历说明（1）的过程后，可以从下列、中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明 DM的延长线交 CE于点 N，且 AD=NE；将正方形 CGEF绕点 C逆时针旋转 45（如图 2） ，其他条件不变；在的条件下，且 CE=2AD（3）将正方形 CGEF绕点 C旋转任意角度后（如图 3） ，其他条件不变探究：线段 MD、 MF的关系，并加以证明AB CDFMGE AB CDFMGEAB CFMGE图 1 图练：1.（08 北京）请阅读下列材
8、料：问题：如图 1，在菱形 ABCD和菱形 BEFG中，点 A、 B、 E在同一条直线上， P是线段 DF的中点，连结 PG、 PC.若 ABC BEF60，探究 PG与 PC的位置关系及 的值.PGC小聪同学的思路是：延长 GP交 DC于点 H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决.请参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段 PG与 PC的位置关系及 的值；PGC（2）将图 1中的菱形 BEFG绕点 B顺时针旋转，使菱形 BEFG的对角线 BF恰好与菱形 ABCD的边 AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图 2） ，你在（1）中得到的两个结论是否发生变化
9、？写出你的猜想并加以证明；（3）若图 1中 ABC BEF （0 90） ，将菱形 BEFG2绕点 B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出 的值（用含 的式子表示） PGC例 2.在平面直角坐标系 xOy中，已知直线 y x 交 x轴于点 C,交 y轴于点 A.等腰直角三角32板 OBD的顶点 D与点 C重合，如图 1所示.把三角板绕着点 O顺时针旋转，旋转角度为，使 B点恰好落在 AC上的 B处，如图 2所示.)1800(（1） 求图 1中的点 B的坐标；（2） 求 的值；（3） 若二次函数 y Mx23 x的图象经过（1）中的点 B，判断点 B是否在这条抛物线上，并说明
10、理由.图图 1图 9 图 10 图 11图 8图 1 图 2练：1.如图 9，若 ABC和 ADE为等边三角形，M，N 分别 EB，CD 的中点，易证：CD=BE， AMN是等边三角形（1）当把 ADE绕 A 点旋转到图 10 的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（2）当 ADE绕 A 点旋转到图 11 的位置时， AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当 AB=2AD 时， ADE与 ABC及 AMN的面积之比；若不是，请说明理由2.已知正方形 ABCD中， E为对角线 BD上一点，过 E点作 EF BD交 BC于 F，连接 DF， G为 DF中
11、点，连接 EG， CG（1）求证： EG=CG；（2）将图中 BEF绕 B点逆时针旋转 45，如图所示，取 DF中点 G，连接 EG， CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 （3）将图中 BEF绕 B点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）FBA DCEG图FBA DCEG图DFBACE图（答案）练：1.（08 北京）请阅读下列材料：问题：如图 1，在菱形 ABCD和菱形 BEFG中，点 A、 B、 E在同一条直线上， P是线段 DF的中点，连结 PG、 PC.若 ABC BEF
12、60，探究 PG与 PC的位置关系及 的值.PGC小聪同学的思路是：延长 GP交 DC于点 H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决.请参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段 PG与 PC的位置关系及 的值；PGC（2）将图 1中的菱形 BEFG绕点 B顺时针旋转，使菱形 BEFG的对角线 BF恰好与菱形 ABCD的边 AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图 2） ，你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；（3）若图 1中 ABC BEF （0 90） ，将菱形 BEFG2绕点 B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直
13、接写出 的值（用含 的式子表示） PGC【解答】 （1）线段 PG与 PC的位置关系是 PG PC； 3PGC（2）猜想：（1）中的结论没有发生变化证明：如图，延长 GP交 AD于点 H，连结 CH、 CG P是线段 DF的中点， FP = DP由题意可知 AD FG GFP= HDP GPF= HPD ， GFP HDP GP=HP， GF=HD 四边形 ABCD是菱形， CD =CB， HDC ABC60由 ABC BEF60，且菱形 BEFG的对角线 BF恰好与菱形 ABCD的边 AB在同一条直线上，可得 GBC60 HDC = GBC 四边形 BEFG是菱形， GF=GB HD=GB
14、HDC GBC CH=CG， DCH BCG DCH HCB BCG+ HCB=120即 HCG120 CH= CG， PH=PG， PG PC， GCP HCP=60 3PGC（3） tan(90)图 16.（2007 海淀二模）在平面直角坐标系 xOy中，已知直线 y x 交 x轴于点 C,交 y轴于32点 A.等腰直角三角板 OBD的顶点 D与点 C重合，如图 1所示.把三角板绕着点 O顺时针旋转，旋转角度为，使 B点恰好落在 AC上的 B处，如图 2所示.)1800(（4） 求图 1中的点 B的坐标；（5） 求 的值；（6） 若二次函数 y Mx23 x的图象经过（1）中的点 B，判断
15、点 B是否在这条抛物线上，并说明理由.图 1 图 2解：（1）直线 y- x 交 x轴于点 C,交 y轴于点 A，点 A的坐标为（， ） ，点 C的坐32 32标为（2，0）. 等腰直角三角板 OBD的顶点 D与点 C重合， OD=， .过点 B作 BM OC45BOD于 M. OM= . BM=1， OB= .点 B的坐标为（，） ；1OD（2） OA= ， OC=2， ， ACO=30.过点 O作 OE AC于 E. OE=1.3290A在 Rt B EO中， OB= ， OE=1， B OE=45. EOD=90.又2 EOC=60， COD=30. =30；（3）判断：点 B在这条抛物
16、线上. 点 B在直线 AC上，点 B的坐标为（ A，- A ）. A2（- A ） 2 OB 2， A2（- A ） 2（33 3） 2.解方程，得 A1 ， A2 （不合题意，舍去）.点 B的坐标为（ ， ）. 1 11又二次函数 y Mx23 x过 （，） ， M.二次函数的解析式为 y-2 x23 x. 把 x=代入 y-2 x23 x，得 y= .点 在这条抛物线上.231320、 （2 009 年 常 德 市 ）如图 9，若 ABC和 ADE为等边三角形，M，N 分别 EB，CD 的中点，易证：CD=BE， AMN是等边图 9 图 10 图 11图 8三角形（1）当把 ADE绕 A
17、点旋转到图 10 的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（2）当 ADE绕 A 点旋转到图 11 的位置时， AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当 AB=2AD 时， ADE与 ABC及 AMN的面积之比；若不是，请说明理由提示：（1）抓住不变量易解，（2）能证得ADC 与 AEB 是直角三角形，再用勾股定理和相似三角形的性质求解。21、 （2009 东营）已知正方形 ABCD中， E为对角线 BD上一点，过 E点作 EF BD交 BC于 F，连接DF， G为 DF中点，连接 EG， CG（1）求证： EG=CG；（2）将图中 BEF绕 B点逆时针旋转 45，如图所示，取 DF中点 G，连接 EG， CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 （3）将图中 BEF绕 B点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）提示：考查三角形的中线、三角形全等、矩形的性质等。 （2）作适当辅助线，构造全等三角形。也可连接 GA,得 GC=GA,过点 G作 AB的垂线，证 GE=GA.y = 21,0x， FBA DCE G图 FBA DCE G图 DFBA CE 图
