1、积化和差与和差化积公式、和角、倍半角公式复习课1、基本公式复习1、两角和与差公式及规律sin()sicosin.cotantta().12 二倍角公式及规律 3、积化和差与和差化积公式 1sincosin()si().2cscs()cos().1in2sisincos.22221coscs.cos.1s in.in. 1costa.222cs.cos. 1cos1in.in.ta.2sinsinco,i.i(in).sinicos.222cossin1i.2tataco2sincsi.cin2生 动 的 口 诀 ： （ 和 差 化 积 ） 口 诀 正 加 正 ， 正 在 前 ， 余 加 余 ，
2、 余 并 肩 正 减 正 ， 余 在 前 ， 余 减 余 ， 负 正 弦 反 之 亦 然 和差化积公式是积化和差公式的逆用形式，要注意的是：其中前两个公式可合并为一个：sin+sin=2sin cos积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想。只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积。合一变形也是一种和差化积。三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，因此，因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用。3、积化和差与积差化积是一种孪生兄
3、弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用。如在一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降幂公式，然后应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算。和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值。正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段。sin +sin =2sin( + )/2cos( - )/2的 证 明 过 程 因 为 sin( + )=sin cos +cos sin ， sin( - )=sin cos -cos sin ， 将 以 上 两 式 的 左 右 两
4、 边 分 别 相 加 ， 得 sin( + )+sin( - )=2sin cos ， 设 + = ， - = 那 么 =( + )/2, =（ - ） /2 把 ， 的 值 代 入 ， 即 得 sin +sin =2sin( + )/2cos( - ） /2 cos( - )-cos( + ) =(cos cos +sin sin )-(cos cos -sin sin ) =2sin sin sin sin =-1/2-2sin sin =-1/2(cos cos -sin sin )-(cos cos +sin sin ) =-1/2cos( + )-cos( - ) 其 他 的 3 个
5、 式 子 也 是 相 同 的 证 明 方 法 。4、万能公式2tan1t,2tan1cos,2tan1si2证： tacossiisi 2222tan1cs2sini1cos tasicositan222注意：1、上述三个公式统称为万能公式。2、 这个公式的本质是用半角的正切表示正弦、余弦、正切，即：所以利用它对三角式进行化简、求值、证明，可以使解题过程简洁3、上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小。2、应注意的问题1、两角差的余弦公式是本章中其余公式的基础，应记准该公式的形式.2、倍角公式 有升、降幂的功能，如果升幂，22sin1coss则角减半，如果降幂，则角加倍，根据条件灵
6、活选用.3、公式的“三用” （顺用、逆用、变用）是熟练进行三角变形的前提.3、整体原则-从角度关系、函数名称差异、式子结构特征分析入手，寻求三角变形的思维指向；4、角度配凑方法 ，其中 是任意角。, 22)()( 2()()()2三、例题讲解例 1 已知 ， 均为锐角， sin= ，求 + 的值。510， sin解析：由已知条件有 cos= ，且 0+。2531， cos又 cos(+)=coscos-sinsin310024 ，所 以 例 2 已知sin(3)cos()tan()cot()2) ,(xxxfx nZ （）求 52(;f（）若 求 的值34cos),()f解当 时，2(nkZs
7、intaco) sin;xxf 当 时，21()nkZ 2ita(t)() sinta.csxf x34cossin,i.25故当 n 为偶数时， 53()sisi,324n;5f 当 n 为奇数时， 2225243()sita.sinta,339ni.co16f例 3 已知 21sin(),sin().35（）求 的值；tacot（）当 时，求 的值(,)(,)22sin2解（）方法sincosin,31,57sinco,csin.3030从而， i1tat.s方法设 incostct,xsin()10,3si()si()tantconnta1,ntx且103,acot.37xx（）由已知可
8、得sin2i()()cscs()in()465.1例 4 已知 求 的值.11cos(),cos(),22tan解 ssin,1co,35s,sin.22i1tan.cos5例 5 已知 求 的值.1si,in,23sin()解 将两条件式分别平方，得221sinicos,4coni.9将上面两式相加，得 132si(),659n.72例 6 的值等于 （ ）si7co1si85A B C D23232323解 000000sin(158)cos15in8coiisisstan45t3tan15t(43)123.原 式故选 B.例 7 已知 cos()= 都是锐角，求 cos(+)的值。、，
9、231sin2解析：由已知条件有 。32)31(2sin1cos,i202则 ， 又因为 0sin2= ，所以 02 ，所以 0 。 132 612又因为 0 ，所以 -0 。 由、得 - 。12又因为 cos（-）= ，所以 。120 = 。)(cos)sin(所 以 23从而 cos(+)=cos2-(-)=cos2cos(-)+sin2sin(-)。63221）（评析：本例通过 0sin2= ，发现了隐含条件：0 ，将12 12- 的范围缩小为 ，进而由 cos(-)= ,将 - 的范2 围确定为 ，从而避免了增解。 例 8 已知 ，且 tan,tna 是一元二次方程22 ， 的两个根，
10、求 + 的值。x2340解析：由已知条件得 tan+tan= ，tantan=40，3所以 tan0，tan0。又因为 ，22 ， 所以 所以-+0。,0。又因为 tan(+)= =tant1314所以 += 。23评析：本例根据韦达定理 tan+tan= ，tantan=4，挖掘出了3隐含条件 tan0,tan0，知 ， ，得出了 + 的确02 0。2切范围，从而顺利求解。例 9 已知 ，求 ； tan3sincos5i2incos解： = ；si2co5ita2 2 22 22sinsincotan17sin1 0s例 10 已知 ， 的值sico3， 0（ ， ） sic求解： 1n12
11、sinco9 82no09 （ ）52si91-，2()又因为（ ）及 ，所以 ，即 ，0（ ， ） （ ， ）2sinco0所以 5sinco3注：“已知 ”与 “未知 ”的联系是“ issinco2(si)= ”，从而目标是求出 的值24inco()sinco例 11 已知 且 是第二象限的角，求 i()1,5ta， ta解： 是第二象限的角， si5， ，即 ，3cos54tan3 = = tan()()tan71t注：“未知 ”与“已知 ”和“已知 ”的联系显然是“”()例 12 已知 12cos(),34cos(),53,4且 2sin2求解： ,42,又 1cos()34cos()
12、,5所以可知 是第一象限的角， 是第三象限的角 2sin()(),1323sin()1(),5cos ，2i(icoin 3145)6注：“未知 ”与“已知 ”和“已知 ”的联系显然是“”2()()例 13 已知 求（） （）1sin4， 1cos3， cos()-，cos()解：解法一：1in42 2sin16icos3co9s得： ；cs()-6328得： ，1cs()6即 ，72cos()cs()o4 所以 728125解法二：把已知和差化积得：1sin4sincos41cos312cos23 得： 544，即 21cs()1， 263o=-8得： tan4 cos()2175t注：求
13、利用方法一简单，求 利用方法二简单一般地，- cos()已知两角的正余弦的和与差，求两角和与差的正余弦，往往采用和差化积或者平方后求和与差【 课堂练习 1】 1cos105的值为 （ ） A B C D 2对于任何 、（0， ） ，sin(+)与 sin+sin 的大小关系是 （ 2） Asin(+)sin+sin Bsin(+)sin+sin Csin(+)=sin+sin D要以 、 的具体值而定3已知 ，sin2=a，则 sin+cos 等于 （ ） 32A B C Da+1 a+1 a2+1 a2+14已知 tan= ，tan= ，则 cot(+2)= 13 135已知 tanx= ，则 cos2x= 12【 课堂练习 2】 求下列各式的值 1cos200cos80+cos110cos10= 2（cos15+ sin15）= 12 33化简 1+2cos2cos2=
