立体几何题型的解题技巧适合总结提高用.doc

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1、第六讲 立体几何新题型的解题技巧考点 1 点到平面的距离例 1(2007 年福建卷理)如图,正三棱柱 的所有棱长都为 , 为 中点1ABC2D1C()求证: 平面 ;1AB 1D()求二面角 的大小;()求点 到平面 的距离C1例 2.( 2006 年湖南卷)如图,已知两个正四棱锥 P-ABCD 与 Q-ABCD 的高分别为 1 和 2,AB=4.()证明 PQ平面 ABCD;()求异面直线 AQ 与 PB 所成的角;()求点 P 到平面 QAD 的距离.QBCPADOMABC DA1CB考点 2 异面直线的距离例 3 已知三棱锥 ,底面是边长为 的正三角形,棱ABCS24的长为 2,且垂直于

2、底面 . 分别为 的中点,求SCDE、 ABC、CD 与 SE 间的距离.考点 3 直线到平面的距离例 4 如图,在棱长为 2 的正方体 中,G 是 的中点,求 BD 到平面 的距离.1AC1 1DGB考点 4 异面直线所成的角例 5(2007 年北京卷文)如图,在 中, ,斜边 可以通过RtAOB 64ABRtOC以直线 为轴旋转得到,且二面角 的直二面角 是t D的中点(I)求证:平面 平面 ;CD(II)求异面直线 与 所成角的大小BACDOGH1A11OCDBEABCQP例 6 (2006 年广东卷)如图所示,AF、DE 分别是O 、 O 1 的直径.AD 与两圆所在的平面均垂直,AD

3、8,BC 是O 的直径,ABAC6,OE/AD.()求二面角 BADF 的大小;()求直线 BD 与 EF 所成的角.考点 5 直线和平面所成的角例 7.(2007 年全国卷理)四棱锥 中,底面 为平行四边形,侧面 底面 已知 ,SABCDSBCAD45BC, , 23S()证明 ;()求直线 与平面 所成角的大小考点 6 二面角例 8 (2007 年湖南卷文)如图,已知直二面角 , , , , ,PQABCAB,直线 和平面 所成的角为 45BAPC30(I)证明 ; (II)求二面角 的大小PD BCAS例 9( 2006 年重庆卷)如图,在四棱锥 PABCD 中,PA 底面ABCD, D

4、AB 为直角,AB CD,AD =CD=2AB, E、 F 分别为PC、 CD 的中点.()试证:CD 平面 BEF;()设 PAk AB,且二面角 E-BD-C 的平面角大于 ,求 k 的30取值范围.考点 7 利用空间向量求空间距离和角例 10 (2007 年江苏卷)如图,已知 1ABCD是棱长为 3的正方体,点 E在 1上,点 F在 上,且 1AEFC(1)求证: 1, , , 四点共面; (2)若点 G在 BC上, 23,点 M在 1B上,MF,垂足为 H,求证: E 平面 C; (3)用 表示截面 1D和侧面 1所成的锐二面角的大小,求 tanCBAGHMDEF1B1例 11 (20

5、06 年全国卷)如图,l 1、 l2 是互相垂直的两条异面直线,MN 是它们的公垂线段,点 A、B在 l1 上,C 在 l2 上,AM =MB=MN(I)证明 AC NB;(II)若 ,求 NB 与平面 ABC 所成角的余弦值.60AB考点 8 简单多面体的有关概念及应用,主要考查多面体的概念、性质,主要以填空、选择题为主,通常结合多面体的定义、性质进行判断.例 12 . 如图( 1) ,将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器,当这个正六棱柱容器的底面边长为 时容积最大.例 13 .如图左,在正三角形 ABC 中,D 、E、F 分别

6、为各边的中点,G、H、I、J 分别为AF、AD 、BE、DE 的中点,将ABC 沿 DE、EF、DF 折成三棱锥后, GH 与 IJ 所成角的度数为( )A、90 B、60 C、45 D、0NMCBABA CD EFGHIJ(A、 B、 C)DEFGHIJ例 14.长方体 ABCDA 1B1C1D1 中, 设对角线 D1B 与自 D1 出发的三条棱分别成 、 、 角求证:cos 2 cos 2 cos 2 1 设 D1B 与自 D1 出发的三个面成 、 、 角,求证:cos2 cos 2 cos 2 2考点 9.简单多面体的侧面积及体积和球的计算例 15. 如图,在三棱柱 ABCA 1B1C1

7、 中,AB a,BCCAAA 1a,2A1 在底面ABC 上的射影 O 在 AC 上 求 AB 与侧面 AC1 所成角; 若 O 恰好是 AC 的中点,求此三棱柱的侧面积. 例 16. 等边三角形 ABC 的边长为 4,M、N 分别为 AB、AC的中点,沿 MN 将AMN 折起,使得面 AMN 与面 MNCB 所成的二面角为 30,则四棱锥 AMNCB 的体积为 ( )A、 B、 C、 D、32323A BCADA1 B1C1D1A1B1C1ABCDOAB CM NKLABCMNKL例 17.如图,四棱锥 PABCD 中,底面是一个矩形,AB3,AD1,又PAAB,PA 4,PAD60 求四棱

8、锥的体积; 求二面角 PBCD 的大小.例 18 .(2006 年全国卷)已知圆 O1 是半径为 R 的球 O 的一个小圆,且圆 O1 的面积与球 O 的表面积的比值为 ,则线段92OO1 与 R 的比值为 .【专题训练与高考预测】一、选择题1如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,已知 AB=1,D 在 BB1 上, 且 BD=1,若 AD 与侧面 AA1CC1 所成的角为 ,则 的值为( )A. B. 34C. D. 410arctn6arcsin2直线 a 与平面 成 角, a 是平面 的斜线,b 是平面内与 a 异面的任意直线,则 a 与 b 所成的角( )A. 最小值 ,最大值

9、B. 最小值 ,最大值2C BA11DPAH EDBCRr AO1OC. 最小值 ,无最大值 D. 无最小值,最大值 43在一个 的二面角的一平面内有一条直线与二面角的棱成 角,则此直线与二面角45 5的另一平面所成的角为( )A. B. C. D. 304560904如图,直平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长均为 2,则对角线 A1C 与侧面 DCC1D1 所成6BAD的角的正弦值为( )A. B. 2123C. D. 45已知在 中 , AB=9,AC=15 , ,它所在平面外一点 P 到 三ABC120BACABC顶点的距离都是 14,那么点 P 到平面 的距离为( ) A.

10、 13 B. 11 C. 9 D. 76如图,在棱长为 3 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 、 N 分别是棱 A1B1、A 1D1 的中点,则点 B 到平面 AMN 的距离是( )A. B. 29C. D. 2567将 ,边长 MN=a 的菱形 MNPQ 沿对角线 NQ 折成 的二面角,则 MP0QMN 60与 NQ 间的距离等于( )A. B. C. D.a2343a46a438二面角 的平面角为 ,在 内, 于 B,AB=2,在 内, 于l120lAlCDD,CD=3,BD =1, M 是棱 上的一个动点,则 AM+CM 的最小值为( )lA. B. C. D. 52 266

11、29空间四点 A、B、C、D 中,每两点所连线段的长都等于 a, 动点 P 在线段 AB 上, 动点 Q在线段 CD 上,则 P 与 Q 的最短距离为 ( )A. B. C. D.a21a22310在一个正四棱锥,它的底面边长与侧棱长均为 a ,现有一张正方形包装纸将其完全包住(不能裁剪纸,但可以折叠) ,那么包装纸的最小边长应为( )BACDD1 C1B1A1ADBAD1 C1B1A1 MNA. B. C. D. a)62(a26a)31(a23111已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,A 1A=AB=2,若棱 AB 上存在点 P,使 ,则CD1棱 AD 的长的取值范围是 ( )A.

12、 B. C. D. ,02,02,02,12将正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,使点 D 在平面 ABC 外,则 DB 与平面 ABC 所成的角一定不等于( )A. B. C. 3456D. 90二、填空题1如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E 是A1B1 的中点,则下列四个命题: E 到平面 ABC1D1 的距离是 ;2 直线 BC 与平面 ABC1D1 所成角等于 ;45 空间四边形 ABCD1 在正方体六个面内的射影围成面积最小值为 ; BE 与 CD1 所成的角为 10arcsin2如图,在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,P 是 A1C1上的动点,E

13、 为 CD 上的动点,四边形 ABCD 满足_时,体积 恒为定值(写上EV你认为正确的一个答案即可)3边长为 1 的等边三角形 ABC 中,沿 BC 边高线 AD折起,使得折后二面角 B-AD-C 为 60,则点 A 到BC 的距离为_,点 D 到平面 ABC 的距离为_.4在水平横梁上 A、B 两点处各挂长为 50cm 的细绳,AM、BN、AB 的长度为 60cm,在 MN 处挂长为 60cm 的木条,MN 平行于横梁,木条的中点为 O,若木条绕过 O 的铅垂线旋转 60,则木条比原来升高了_.5多面体上,位于同一条棱两端的顶点称为相邻的.如图正方体的一个顶点 A 在 平面内.其余顶点在 的

14、同侧,正方体上与顶点 A 相邻的三个顶点到 的距离分别是 1、2 和 4. P 是正方体其余四个顶点中的一个,则 P 到平面 的距离可能是:3;4;5;6;7.D CBAED1A1C1B1A BD CPEA1D1 C1B1以上结论正确的为 .(写出所有正确结论的编号)6. 如图,棱长为 1m 的正方体密封容器的三个面上有三个锈蚀的小孔(不计小孔直径)O 1、O 2、O 3 它们分别是所在面的中心.如果恰当放置容器,容器存水的最大容积是_m 3.三、解答题1 在正三棱柱 ABCA1B1C1 中,底面边长为 a,D 为 BC 为中点,M 在 BB1 上,且 BM=B1M,又 CMAC 1;3(1) 求证:CMC 1D;(2) 求 AA1 的长.2 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面是矩形且AD=2,AB=PA= ,PA底面 ABCD,E 是 AD 的中点,F2在 PC 上 .(1) 求 F 在何处时,EF平面 PBC;(2) 在(1) 的条件下,EF 是不是 PC 与 AD 的公垂线段.若是,求出公垂线段的长度;若不是,说明理由;(3) 在(1)的条件下,求直线 BD 与平面 BEF 所成的角.O1O2O3

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