1、第六讲 立体几何新题型的解题技巧考点 1 点到平面的距离例 1（2007 年福建卷理）如图，正三棱柱 的所有棱长都为 ， 为 中点1ABC2D1C（）求证： 平面 ；1AB 1D（）求二面角 的大小；（）求点 到平面 的距离C1例 2.( 2006 年湖南卷)如图,已知两个正四棱锥 P-ABCD 与 Q-ABCD 的高分别为 1 和 2,AB=4.()证明 PQ平面 ABCD；()求异面直线 AQ 与 PB 所成的角；()求点 P 到平面 QAD 的距离.QBCPADOMABC DA1CB考点 2 异面直线的距离例 3 已知三棱锥 ，底面是边长为 的正三角形，棱ABCS24的长为 2，且垂直于
2、底面 . 分别为 的中点，求SCDE、 ABC、CD 与 SE 间的距离.考点 3 直线到平面的距离例 4 如图，在棱长为 2 的正方体 中，G 是 的中点，求 BD 到平面 的距离.1AC1 1DGB考点 4 异面直线所成的角例 5（2007 年北京卷文）如图，在 中， ，斜边 可以通过RtAOB 64ABRtOC以直线 为轴旋转得到，且二面角 的直二面角 是t D的中点（I）求证：平面 平面 ；CD（II）求异面直线 与 所成角的大小BACDOGH1A11OCDBEABCQP例 6 （2006 年广东卷）如图所示，AF、DE 分别是O 、 O 1 的直径.AD 与两圆所在的平面均垂直，AD
3、8,BC 是O 的直径，ABAC6，OE/AD.()求二面角 BADF 的大小；()求直线 BD 与 EF 所成的角.考点 5 直线和平面所成的角例 7.（2007 年全国卷理）四棱锥 中，底面 为平行四边形，侧面 底面 已知 ，SABCDSBCAD45BC， ， 23S（）证明 ；（）求直线 与平面 所成角的大小考点 6 二面角例 8 （2007 年湖南卷文）如图，已知直二面角 ， ， ， ， ，PQABCAB，直线 和平面 所成的角为 45BAPC30（I）证明 ； （II）求二面角 的大小PD BCAS例 9( 2006 年重庆卷)如图，在四棱锥 PABCD 中，PA 底面ABCD, D
4、AB 为直角，AB CD，AD =CD=2AB, E、 F 分别为PC、 CD 的中点.（）试证：CD 平面 BEF；（）设 PAk AB,且二面角 E-BD-C 的平面角大于 ,求 k 的30取值范围.考点 7 利用空间向量求空间距离和角例 10 （2007 年江苏卷）如图，已知 1ABCD是棱长为 3的正方体，点 E在 1上，点 F在 上，且 1AEFC（1）求证： 1， ， ， 四点共面； （2）若点 G在 BC上， 23，点 M在 1B上，MF，垂足为 H，求证： E 平面 C； （3）用 表示截面 1D和侧面 1所成的锐二面角的大小，求 tanCBAGHMDEF1B1例 11 （20
5、06 年全国卷）如图,l 1、 l2 是互相垂直的两条异面直线，MN 是它们的公垂线段，点 A、B在 l1 上，C 在 l2 上，AM =MB=MN（I）证明 AC NB；（II）若 ，求 NB 与平面 ABC 所成角的余弦值.60AB考点 8 简单多面体的有关概念及应用，主要考查多面体的概念、性质，主要以填空、选择题为主，通常结合多面体的定义、性质进行判断.例 12 . 如图（ 1） ，将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，当这个正六棱柱容器的底面边长为 时容积最大.例 13 .如图左，在正三角形 ABC 中，D 、E、F 分别
6、为各边的中点，G、H、I、J 分别为AF、AD 、BE、DE 的中点，将ABC 沿 DE、EF、DF 折成三棱锥后， GH 与 IJ 所成角的度数为（ ）A、90 B、60 C、45 D、0NMCBABA CD EFGHIJ(A、 B、 C)DEFGHIJ例 14.长方体 ABCDA 1B1C1D1 中， 设对角线 D1B 与自 D1 出发的三条棱分别成 、 、 角求证：cos 2 cos 2 cos 2 1 设 D1B 与自 D1 出发的三个面成 、 、 角，求证：cos2 cos 2 cos 2 2考点 9.简单多面体的侧面积及体积和球的计算例 15. 如图，在三棱柱 ABCA 1B1C1
7、 中，AB a，BCCAAA 1a，2A1 在底面ABC 上的射影 O 在 AC 上 求 AB 与侧面 AC1 所成角； 若 O 恰好是 AC 的中点，求此三棱柱的侧面积. 例 16. 等边三角形 ABC 的边长为 4，M、N 分别为 AB、AC的中点，沿 MN 将AMN 折起，使得面 AMN 与面 MNCB 所成的二面角为 30，则四棱锥 AMNCB 的体积为 （ ）A、 B、 C、 D、32323A BCADA1 B1C1D1A1B1C1ABCDOAB CM NKLABCMNKL例 17.如图，四棱锥 PABCD 中，底面是一个矩形，AB3，AD1，又PAAB，PA 4，PAD60 求四棱
8、锥的体积； 求二面角 PBCD 的大小.例 18 .（2006 年全国卷）已知圆 O1 是半径为 R 的球 O 的一个小圆，且圆 O1 的面积与球 O 的表面积的比值为 ，则线段92OO1 与 R 的比值为 .【专题训练与高考预测】一、选择题1如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，已知 AB=1，D 在 BB1 上， 且 BD=1，若 AD 与侧面 AA1CC1 所成的角为 ，则 的值为（ ）A. B. 34C. D. 410arctn6arcsin2直线 a 与平面 成 角， a 是平面 的斜线，b 是平面内与 a 异面的任意直线，则 a 与 b 所成的角（ ）A. 最小值 ，最大值
9、B. 最小值 ，最大值2C BA11DPAH EDBCRr AO1OC. 最小值 ，无最大值 D. 无最小值，最大值 43在一个 的二面角的一平面内有一条直线与二面角的棱成 角，则此直线与二面角45 5的另一平面所成的角为（ ）A. B. C. D. 304560904如图，直平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长均为 2，则对角线 A1C 与侧面 DCC1D1 所成6BAD的角的正弦值为（ ）A. B. 2123C. D. 45已知在 中 ， AB=9，AC=15 ， ，它所在平面外一点 P 到 三ABC120BACABC顶点的距离都是 14，那么点 P 到平面 的距离为（ ） A.
10、 13 B. 11 C. 9 D. 76如图，在棱长为 3 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M 、 N 分别是棱 A1B1、A 1D1 的中点，则点 B 到平面 AMN 的距离是（ ）A. B. 29C. D. 2567将 ，边长 MN=a 的菱形 MNPQ 沿对角线 NQ 折成 的二面角，则 MP0QMN 60与 NQ 间的距离等于( )A. B. C. D.a2343a46a438二面角 的平面角为 ，在 内， 于 B，AB=2,在 内， 于l120lAlCDD，CD=3,BD =1, M 是棱 上的一个动点，则 AM+CM 的最小值为( )lA. B. C. D. 52 266
11、29空间四点 A、B、C、D 中,每两点所连线段的长都等于 a, 动点 P 在线段 AB 上, 动点 Q在线段 CD 上，则 P 与 Q 的最短距离为 ( )A. B. C. D.a21a22310在一个正四棱锥，它的底面边长与侧棱长均为 a ，现有一张正方形包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠） ，那么包装纸的最小边长应为（ ）BACDD1 C1B1A1ADBAD1 C1B1A1 MNA. B. C. D. a)62(a26a)31(a23111已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，A 1A=AB=2，若棱 AB 上存在点 P，使 ，则CD1棱 AD 的长的取值范围是 ( )A.
12、 B. C. D. ,02,02,02,12将正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使点 D 在平面 ABC 外，则 DB 与平面 ABC 所成的角一定不等于（ ）A. B. C. 3456D. 90二、填空题1如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，E 是A1B1 的中点，则下列四个命题： E 到平面 ABC1D1 的距离是 ；2 直线 BC 与平面 ABC1D1 所成角等于 ；45 空间四边形 ABCD1 在正方体六个面内的射影围成面积最小值为 ； BE 与 CD1 所成的角为 10arcsin2如图，在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，P 是 A1C1上的动点，E
13、 为 CD 上的动点，四边形 ABCD 满足_时，体积 恒为定值（写上EV你认为正确的一个答案即可）3边长为 1 的等边三角形 ABC 中,沿 BC 边高线 AD折起,使得折后二面角 B-AD-C 为 60,则点 A 到BC 的距离为_,点 D 到平面 ABC 的距离为_.4在水平横梁上 A、B 两点处各挂长为 50cm 的细绳，AM、BN、AB 的长度为 60cm，在 MN 处挂长为 60cm 的木条，MN 平行于横梁，木条的中点为 O，若木条绕过 O 的铅垂线旋转 60，则木条比原来升高了_.5多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的.如图正方体的一个顶点 A 在 平面内.其余顶点在 的
14、同侧，正方体上与顶点 A 相邻的三个顶点到 的距离分别是 1、2 和 4. P 是正方体其余四个顶点中的一个，则 P 到平面 的距离可能是：3；4；5；6；7.D CBAED1A1C1B1A BD CPEA1D1 C1B1以上结论正确的为 .（写出所有正确结论的编号）6. 如图，棱长为 1m 的正方体密封容器的三个面上有三个锈蚀的小孔（不计小孔直径）O 1、O 2、O 3 它们分别是所在面的中心.如果恰当放置容器，容器存水的最大容积是_m 3.三、解答题1 在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，底面边长为 a,D 为 BC 为中点，M 在 BB1 上，且 BM=B1M，又 CMAC 1;3（1） 求证：CMC 1D;（2） 求 AA1 的长.2 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面是矩形且AD=2，AB=PA= ，PA底面 ABCD，E 是 AD 的中点，F2在 PC 上 .(1) 求 F 在何处时，EF平面 PBC；(2) 在(1) 的条件下，EF 是不是 PC 与 AD 的公垂线段.若是，求出公垂线段的长度；若不是，说明理由；(3) 在(1)的条件下，求直线 BD 与平面 BEF 所成的角.O1O2O3
