1、 第 四 章 微分中值定理和导数的应用一、考核要求 知道罗尔定理成立的条件和结论，知道拉格朗日中值定理成立的条件和结论。 能识别各种类型的未定式，并会用洛必达法则求它们的极限。 会判别函数的单调性，会用单调性求函数的单调区间，并会利用函数的单调性证明简单的不等式。 会求函数的极值。 会求出数在闭区间上的最值，并会求简单应用问题的最值。 会判断曲线的凹凸性，会求曲线的凹凸区间和拐点。 会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线。二、基本概念、主要定理和公式、典型例题 微分中值定理今后，如果函数 f(x)在某一点 x0处的导数值 =0，就说这一点 是驻点，因此罗尔中值定理的结论也可以说 f(x)在（a，b）
2、内至少有一个驻点。从 y=f(x)的几何图形（见下图）可以看出，若 y=f(x)满足罗尔中值的条件，则它在（a，b）内至少有一点，其切线是水平的，根据导数的几何意义知道，该点的斜率 =k=0。从函数 y= f(x)的图形看（见下图），连接 y= f(x)在a， b上的图形的端点 A 与 B，则线段 AB 的斜率为：将 AB 平行移动至某处，当 AB 的平行线与曲线 y=f(x)相切时，若切点为 x=c，则根据导数的几何意义知：或写作故从几何图形看，拉格朗日定理是成立的。典型例题例一：（单选）下列函数在相应区间上满足罗尔中值定理的条件的函数是（ ） ，-1，1； ，-1，1； ，1， 2； ，-
3、1，1。解： 在-1，1上处处有意义，没有无意义的点，因为他没有分母，所以 在 b 区间-1，1上处处连续满足第一个条件。又 f(-1)=1，f(1)=1，所以在端点上函数值相等，满足第三个条件因此这函数在开间内不是处处可导，只少在 0 这一点不可导的，因此不满足第二个条件。 在 x=o 处不可导， 也不满足第二个条件。 f(1)=1，f(2)=4， 在1，2上满足第三个条件。 ， 处处可导且 处处连续， f(-1)=1， f(1)=1。 在-1，1上满足三个条件。例二：证明方程 在（0，1）内至少有一个根。证：用罗尔中值定理解：由于令 在0，1上满足罗尔定理的三个条件。所以在（0，1）内至少
4、存在一个数 c (0c1) 使。 x=c 是方程 的根。即 x=c 是方程 的根。例三：证明不等式：arctanbarctanab-a ，(ab)解： 令 f(x)= arctan x 处处存在。 f(x)= arctan x 处处可导，处处连续，所以 f(x)=arctanx 在a， b上满足拉格朗日定理的二个条件，因此存在 acb，使 。即：arctanbarctanab-a在第三章我们曾知常数的导数为零，即反过来会问：导数为零的函数是否一定是常数，下面我们证明证：在（a，b）任取两数 x1，x 2，假定 x2x 1，证明这两个函数值相等的。由于函数在 a，b 内处处可导，因此根据拉格朗中
5、值定理知道在区间内部处处连续。因此函数在开区间 x1，x 2内部只少存在一点 c 使 ，使在端点的函数值 f( x1)-f(x2)= (x2-x1)由于函数在区间内部的导数值永远等于 0，所以 0 f(x 2)-f(x1)=0 f(x 2)f(x 1) 证毕。证：令(x)=f(x)-g(x) 在（a，b）内 = - =0 在（a，b）内(x)=c，即 在（a，b）内 f(x)-g(x)=c 在（a，b）内 f(x)=g(x)+c 洛必达法则当 limf(x)=0 且 limg(x)=0 时，或 limf(x)= 且 limg(x)=时，分式的极限不能用除法公式计算，上面的分式的极限可能存在，也
6、可能是，还可能没有极限，因此叫未定式，对于未定式的极限有下面的计算方法，叫洛必达法则，我们不加证明地介绍给学员使用在洛必达法则的条件和结论中，我们没有写明 x 的变化状态，意思是 xa 或 x 这两情形洛必达法则都正确洛必达法则的优点在于，在大多情形下，极限 的计算较困难，而极限 的计算较易，便可将一个较难的计算变为较易的极限计算洛必达法则在使用时可以简写为即两个无限小相除或两个无究大相除都可用洛必达法则计算，需要法注意的前提是它们的导数必须存在且比值的极限必需是常数或。典型例题洛必达法则可以多次使用，需要注意的是使用它的前提必须是未定式 或在使用洛必达法则求极限时不要忘记四则运算法则和等价替
7、换原则，综合使用时计算会显得简单。例如在例二中，下面的计算因为 x0 时，1-cosx ，进行等价替换会更简单。解： x0 时，sin xx从例八同学们可以看出，无论 a 为何值，均有：由例七，例八同学们可以看出， x+时，虽然 lnx， (a0), 都是无穷大量，但 远大于 ， 远大于lnx。或者说 是比 高阶的无穷大， （a0）是比 lnx 高阶的无穷大。从上边可以看到，求不定式 型或 型的极限时，洛必达法则是一种很有效的方法，但同学们必需注意两条：第一，只有不定式 型或 型才能使用洛必达法则，否则会犯错误。第二，有 或 时，等式 才成立，也就是说，若 不存在时，并不能说 ，也就是说，不能
8、说 也不存在，这时，只好用其它方法求极限 ，请看下面两个例题。若不注意，错误地用洛必达法则，便得出错误的结果错误在于第一个等式，由于本题不是不定型，所以不能用洛必达法则。因为 x时,sinx 的值在（-1）与 1 之间波动， 不存在， 不存在，若由此得出结论，不存在那就错了，原因在于 不存在时，不能说 。正确的解法是：下面介绍三种可以化为不定式 型或 型的极限。（1）(-)型由于()结果不定，可以是无穷小，也可以是无穷大，还可以是接近于常数 A 的量，如果希望用洛必达法则求它的极限，必须合并为一个分式化为 型或 型。（2）（0）型，无穷小乘无穷大其结果也是不能直接确定的，为了用洛必达法则，要将
9、被求极限写成分式变为 型或 型。（3） 型， 型和 型，它们常见于幂指函数求极限。由于例十九 若 f(x)有二阶连续导数，求 。 函数的增减性及其判别定理证：用拉格朗日中值定理（1）在（a， b）内任取 ，只需证明 即可。 在（a， b）内 ，当然 在（a， b）内可导， 在（a， b）内连续。 在 上连续，在 ( )上可导， 在 上满足拉格朗日中值定理的两个条件。根据拉格朗日中值定理知：在( )内至少存在一点 ，使同法可证（2）及（3）例一 证明 在 上是增加的。证：() 在 上， 0， 在 上 处处增加；（）在 上， 0，在 上 处处增加；（） 在 上可导， 在 上连续， 在 上处处增加。注由本例可知，若函数 在(a， b)内除个别点导数为 0 外，其余各点导数都大于 0（或都小于 0），并不影响增加性（或减少性），所以今后我们发现函数 在某个区间(a， b)上除个别点导数为零外，其余点导数都大于零（或都小于零），则对导数为零的点不再加说明。例三 证明不等式 f(0)=0 0x 时 f(x)f(0)=0即 0x 时 x-ln(1+x)0即 0x 时 xln(1+x)再证 0x 时， 0x 时， 分子是正的，分母也是正的， 0 0x 时， 增加 f(0)=0， 0x 时 。即 0x 时，即 0x 时，例四 证明 1x 时
