1、1第九章 多元函数微分学及应用一. 设 f, g 为连续可微函数, , 求 .)(),(xygvxyfu， xvu解. , . 所以yxu211gxv)()(2yfv二. 设 , 其中为可微函数, 求 .yzx2 yz解. 原式两边对 y 求导. . 所以22yzzzyzyz2三. 设 .xuztxzxfu ， 求， 又 ),(),(),( 解. 由上述表达式可知 x, z 为自变量, 所以 xtyxyxtxyxyx ffff 四. 求下列方程所确定函数的全微分:1. ;dzxzyxf ， 求0),(2. .z， 求， 解. 1. , 所以0)1(321xzfxzf 321fxz, 所以)(2
2、31yfyf 321fy所以 )(32131fdydxfdzxdz 22. , 所以xzfxzf)(21 12fxz, 所以)1(21yffy 21fy所以 21fxdzfdxzd五. 设 , 其中 f 具有二阶连续偏导数, 求 .),sin(2yxefzx yxz2解. ),sin(sin,i 2221 yexfefxx )2cos(co)co(sin 121212 yfefxfyffyez xxxx = fyfef xxx 4)ssin(si 121221 六. 已知 .,),ln( yxzzyfz， 求解. )ln(l 21fxyx )l( 211fyfz = ln 2221ffy)(l
3、 2121211 fyxffxffzxy = )ln(ln1211 ffyf ),l(),l( 21 yxfxfyxz )( 211212 ffyfy = 121212 fxfxf3七. 设 确定, 求 .0)()( 32zyxzxy， 由， dxzy，解. 以上两式对 x 求导, 得到关于 的方程组d，0321dxzxdyz1)31(2dxzxy由克莱姆法则解得, yzzdxy4231 yzzx4231八. 设 222)( yxyxyfz ， 求解. )()()()()( 222 xyfxfyffx 434222 yyfxfxfyz = 433yfx)()(1)()(1)( 3222 xyx
4、yfxffyz 322yfx)(1)(yfz22xfy于是 =22yzzx 2xyfx2f42fxy2xy= 0九. 设 , 其中 f(u, v)具有二阶连续偏导数 , 二阶可导, 求 .)(,2xyfz )(uyxz2解. (), 221 xyyxfxf 2212122 fffxfyz = )()()( 21212 fxyfxf十. 求曲面 的平行于平面 的切平面方程.322zyx 034z解. 设切点为 , , .所求切面的法矢量为 . 所以0006,2yx, tz3641,0tzt代入曲面方程得: , 所以1242t 2t当 2t解得 ,100zyx所求切面方程为 , 即 ;0)1(3)
5、2(4)( zyx 01234zyx当 2t解得 ,1000zyx所求切面方程为 , 即 .0)1(3)2(4)( zyx 01234zyx十一. 求圆周 处的切线与法平面方),(5,022 Myxz 在程.解. 圆周 在 处45322zyx)(GF)1,(, ,16|),(MzyGF 9|253|)( Mxzxz5. 1|32|),( MyxyxGF所以在 处圆周的方向矢量为16, 9,1.1,所求切线: ,196zy所求法平面: , 即 .0)()(x 024916zyx十二. 试求 上的最大值与最3,:2 Dyxyz 及在 闭 域小值.解. , 解得 , .012xyz 1,yx1),(
6、f当 x = 0 时, 3, 0, 解得为最大6)3(f为最小412,当 y = 0 时, 3, 0, 解得xz为最大6)3(f为最小41,2当 时yx0, 36932xz当 时 z 有最小值 . 即x43z43)21,(f当 时 z 有最大值 .即06),0当 时 z 有最大值 .即3x6z3(f综上所述: = 为最大值, 为最小值.),(f),(f 1),(f6十三. 在椭球面 内作内接直角平行六面体, 求其最大体积.122czbyax解. 设直角平行六面体在第一卦限的顶点为 . 该题为),(zyx1822czbyaxV在 条 件下的最大住值. 令 . 解方程组xyzF),( )1(22c
7、zbya. 解得 , , . 0202czxyzFbaxyzx3xy3cz当 任意一个成立时, 都有 . 所以, 当边长为,ca 0V有最大体积 .32,2,3zbyx38abc十四. 求原点到曲面 的最短距离.1)(2zx解. 设曲面上达到最短距离的点为(x, y, z), 则1)22d在 条 件达到最小值.令 222)(),( zyxzyxzyxF, 02)(0zzFyxy0)(zyx)3(21由(3)若 = 1代入(1), (2)得 , 解得 . 代入曲面方程 , 得到0yx0,yx 1)(2zyx7, 12z2d由(3)若 由(3)解得 . 由(1), (2)得到 . 代入曲面方程 , 得到0yx1)(2zyx, , , 412x2y21d所以所求的最短距离为 .
