1、数学分析教案- 1 -第十七章 多元函数微分学 1 可微性 一 可微性与全微分： 1 可微性： 由一元函数引入. 亦可写为 , 时 .2 全微分: 例 1 考查函数 在点 处的可微性 . P107 例 1二. 偏导数: 1. 偏导数的定义、记法: 2. 偏导数的几何意义: P109 图案 171. 3. 求偏导数: 例 2 , 3 , 4 . P109110例 2 , 3 , 4 .例 5 . 求偏导数.例 6 . 求偏导数.例 7 . 求偏导数, 并求 .例 8 . 求 和 .解 = ,数学分析教案- 2 -= .例 9 证明函数 在点 连续 , 并求 和 .证 . 在点 连续 .,不存在
2、. 三. 可微条件: 1. 必要条件: Th 1 设 为函数 定义域的内点 . 在点 可微 ,和 存在 , 且. ( 证 )由于 , 微分记为. 定理 1给出了计算可微函数全微分的方法.数学分析教案- 3 -两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分. 例 10 考查函数在原点的可微性 . 1P110 例 5 . 2. 充分条件: Th 2 若函数 的偏导数在的某邻域内存在 , 且 和 在点 处连续 . 则函数 在点 可微 . ( 证 ) P111Th 3 若 在点 处连续, 点 存在 , 则函数 在点 可微 .例 11 证 因此 , 即 ,在点 可微 , . 但 时, 有,沿方向 不存在,
3、 沿方向 极限数学分析教案- 4 -不存在 ; 又 时, ,因此, 不存在 , 在点 处不连续. 由 关于 和 对称, 也在点 处不连续 .四. 中值定理: Th 4 设函数 在点 的某邻域内存在偏导数 . 若 属于该邻域 , 则存在 和 , , 使得. ( 证 )例 12 设在区域 D内 . 证明在 D内 .五. 连续、偏导数存在及可微之间的关系： 六. 可微性的几何意义与应用： 1 可微性的几何意义： 切平面的定义. P113.Th 5 曲面 在点 存在不平行于 轴的切平面的充要条件是函数 在点 可微 . ( 证略 )2. 切平面的求法: 设函数 在点 可微 ，则曲面 在点 处的切平面方程
4、为 （ 其中 ），数学分析教案- 5 -法线方向数为 ，法线方程为 .例 13 试求抛物面 在点 处的切平面方程和法线方程 . P115 例 6 3. 作近似计算和误差估计: 与一元函数对照 , 原理 . 例 14 求 的近似值. P115 例 7例 15 应用公式计算某三角形面积 . 现测得 , . 若测量 的误差为 的误差为 . 求用此公式计算该三角形面积时的绝对误差限与相对误差限. P116. 2 复合函数微分法;, ;.一. 链导法则: 以“外二内二”型复合函数为例. Th 设函数 在点 D可微 , 函数 在点 可微 , 则复合函数 在点 可微, 且数学分析教案- 6 -,. ( 证
5、) P118 称这一公式为链导公式 . 该公式的形式可在复合线路图中用所谓“分线加 ，沿线乘”或“并联加 ，串联乘” ）来概括 . 对所谓“外三内二”、 “外二内三”、 “外一内二”等复合情况，用“并联加 ，串 联乘”的原则可写出相应的链导公式.链导公式中内函数的可微性可减弱为存在偏导数 . 但对外函数的可微性假设不能减弱. 对外 元 , 内 元 , 有， .外 元内一元的复合函数为一元函数 . 特称该复合函数的导数为全导数.例 1 . 求和. P12例 2 , . 求和.例 3 , 求和.例 4 设函数 可微 . .求 、 和 .例 5 用链导公式计算下列一元函数的导数 :数学分析教案- 7
6、 - ; . P121例 4例 6 设函数 可微. 在极坐标变换 下 , 证明. P120例 2例 7 设函数 可微 , . 求证. 二. 复合函数的全微分: 全微分和全微分形式不变性 . 例 8 . 利用全微分形式不变性求 , 并由此导出和 .P122 例 5 3 方向导数和梯度 一 方向导数： 1 方向导数的定义： 定义 设三元函数 在点 的某邻域 内有定义 . 为从点 出发的射线 . 为 上且含于 内的任一点 , 以 表示 与 两点间的距离 . 若极限数学分析教案- 8 -存在 , 则称此极限为函数 在点 沿方向 的方向导数 , 记为或 、 .对二元函数 在点 , 可仿此定义方向导数 .
7、 易见 , 、和 是三元函数 在点 分别沿 轴正向、 轴正向和 轴正向的方向导数 .例 1 = . 求 在点 处沿 方向的方向导数,其中 为方向 ; 为从点 到点 的方向.解 为方向的射线为. 即. , .因此 , 从点 到点 的方向 的方向数为 方向的射线为 . , ;数学分析教案- 9 -.因此 , 2. 方向导数的计算: Th 若函数 在点 可微 , 则 在点 处沿任一方向 的方向导数都存在 , 且+ + ,其中 、 和 为 的方向余弦. ( 证 ) P125对二元函数 , + , 其中 和 是 的方向角 .註 由 + + = , , , , ,可见 , 为向量 , , 在方向 上的投影.例 2 ( 上述例 1 )解 的方向余弦为 =, =, = .=1 , = , = .数学分析教案- 10 -因此 , = + + =. 的方向余弦为=, =, = .因此 , =.可微是方向导数存在的充分条件 , 但不必要 .例 3 P126 .二. 梯度 ( 陡度 ): 1. 梯度的定义: , , .| = . 易见 , 对可微函数 , 方向导数是梯度在该方向上的投影. 2. 梯度的几何意义: 对可微函数 , 梯度方向是函数变化最快的方向 . 这是因为| . 其中 是 与 夹角. 可见 时 取最大值 , 在 的反方向取最小值 . 3. 梯度的运算: .
