1、“学”以致用-简单数学建模 应用问题 100 例数学教学过程中学习了一个数学公式后，需要做大量的应用题，通过训练来加深理解所学公式。但是在生活中又有多少实际问题是可以直接套用公式的呢？理想状态下的公式直接运用，在生产及生活中的实例是少之又少。为此学生总感到学了数学没有什么实际用处，所以对学习数学少有兴趣。数学建模的引入对培养学生利用数学方法分析、解决实际问题的能力开辟了一条有效的途径，让中职学生从中体会到数学是来源于生活并应用于生活的.数学建模是一种思维方式，它是一个动态的过程，通过此过程可以将一个实际的问题，经过模型准备、模型假设、模型构成、模型解析、模型检验与应用等五个具体步骤，转变为可以
2、用数学方法（公式）来解决的，在理想状态下的数学问题，上述的整个流程统称为数学建模如果想解决某个实际问题（也许它和数学没有直接的关系） ，可以按下面流程对问题进行数学建模。一模型准备 先了解该问题的实际背景和建模目的，尽量弄清要建模的问题属于哪一类学科的问题，可能需要用到哪些知识，然后学习或复习有关的知识，为接下来的数学建模做准备.由于人们所掌握的专业知识是有限的，而实际问题往往是多样和复杂的，模型准备对做好数学建模问题是非常重要的.二模型假设 有了模型准备的基础，要想把实际问题变为数学问题还要对其进行必要合理的简化和假设.明确了建模目的又掌握了相关资料，再去除一些次要因素.以主要矛盾为主来对该
3、实际问题进行适当的简化并提出一些合理的假设。模型假设不太可能一蹴而就，可以在模型的不断修改中得到逐步完善.三模型构成 在模型假设的基础上，选择适当的数学工具并根据已知的知识和搜集的信息来描述变量之间的关系或其他数学结构（如数学公式、定理、算法等）.做模型构成时可以使用各种各样的数学理论和方法，但要注意的是在保证精度的条件下尽量用简单的数学方法是建模时要遵循的一个原则.四模型解析 在模型构成中建立的数学模型可以采用解方程、推理、图解、计算机模拟、定理证明等各种传统的和现代的数学方法对其进行求解，其中有些可以借助于计算机软件来做这些工作。五模型检验与应用 把模型解析得到的结果与实际情况对比，以检验
4、其合理和有效性，检验后获取的正确模型对研究的实际问题给出预报或对类似实际问题进行分析、解释，以供决策者参考称为.不难发现，在上述的五个步骤中，关键的是第三步“模型构成”由数字、字母或其它数学符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法。所以说模型构成是数学建模的核心，它和数学的关系最密切。所得出的数学公式、图形或算法称之为数学模型（即解决实际问题的数学描述） 。通常所说的数学建模实际上就是：寻找有用的数学模型的过程为了避免作业书写中不必要的繁琐，通常用“分析” ， “假设” ， “模型” ， “解析” ， “检验”来表示数学建模的五个不同步骤，虽然每题不一定面面俱到，但假设，模型，解
5、析三个步骤要求明确第一关：接触数学建模【 1 】一副扑克牌有 54 张，从中任取多少张，可以保证一定有 5 张牌的花色是一样的？分析 除去大、小鬼还有 52 张牌，其中 4 种花色各 13 张.运气最好的情况下所取的 5 张牌都是同一花色的，哪运气不佳时至少要取多少张牌，才能保证一定有 5 张牌的花色是一样的呢？假设 假定至少要取 张，才能保证一定有 5 张牌的花色是一样的.N模型 逆向地思维解析 在运气最不好的情况下，每种花色各 4 张，再加大、小鬼 2 张，共取 18 张是保证一定没有 5 张牌的花色一样的最大可能。所以 张就可以保证一定有 5 张牌的花色是一样的. 4219N检验 在很多
6、情况下采用逆向地思维，可以使解题思路清晰、便捷.练习题公园里准备对 300 棵珍稀树木依次从 1300 进行编号，问所有的编号中“1”共会出现的几次？【2】一只猫发现离它 10 步远的前方有一只老鼠在奔跑，猫便紧追。猫的步子大，它跑 5步的路程，老鼠要跑 9 步。但是老鼠的动作频率快，猫跑 2 步的时间，老鼠能跑 3 步。请问：按照这种速度，猫能追得上老鼠吗？如果能，它要跑多少步才能追到。假设 此题两问可归结为一个问题：假定猫跑 步就能追上老鼠x模型 猫与老鼠之间频率的最小公倍数解析 由频率关系可知，老鼠跑 步时，猫跑了 步.39236根据路程关系知，猫跑 6 步其中有 1 步是追上老鼠的路程
7、可得本题的数学模型为 0x解得 （步）60x检验 由此可见，按照现有速度，猫要跑 60 步才能追得上老鼠.练习题现有玩具模型 20 个，交给小黄加工，规定加工合格一个可得 5 元，不合格一个扣 2元，未完成的不得不扣.最后小黄共得到 56 元.问小黄在加工玩具模型中不合格的共有几个？【3】在小傅家门口有一个十字型的交通路口（如图所示） ，小傅就想了，警察叔叔需要指挥多少种情况的汽车运行线路？分析 此问题需要分是否可以原路调头的情况来讨论.假设 （1）每条线路都有往返双向线（2）设 4 条路分别为 A,B,C,D；（3）以 A 为起始，如允许原路调头，则有 ,ABCAD如不允许原路调头，则有模型
8、 分步乘法计数原理解析 第一步：始线路条数；第二步：终线路条数。如允许原路调头：则 （种可能）4=16N如不允许原路调头，则 （种可能）32检验 如果允许汽车原路调头，那么在此交通路口共有 16 种不同的行车情况；如果不允许汽车原路调头，那么在此交通路口共有 12 种不同的行车情况。练习题铁路京广线（北京广州）共有 36 个大站，问用电脑上购票时需要有多少种不同的火车票？【4】杭州市车辆管理所的工作人员为汽车牌照的事弄得焦头烂额，现在有个问题要请教一下，数字号码为 浙 A 的汽车牌照共有多少块？5B分析 由条件知，问题为三个 中各可以填入多少种数字或字母A假设 假定按要求的汽车牌照共有 种可能
9、，且在第 个 中共有NiA种字符可以填写.(1,23)in=根据汽车牌照的特点，在每个 中可以填入 10 共 10 个阿拉伯数字和 A,B,C,D，26 个英语字母，即 36(1,2)ini=模型 分步乘法计数原理.解析 因为各 中填入的字符数符合A123N=故 =4665636N=检验 数字号码为 浙 A 的汽车牌照共有 46656 块。不难发现，无论 B5B和 5 在何位置，所得结论不变.练习题出租车在开始 10 千米以内收费 10.4 元，以后每走 1 千米，收费 1.6 元，问走 20 千米需收多少钱?【5】把 20 个苹果全部分给小明、小惠、小曼三人，要求每人最少分 3 个，可以有多
10、少种不同的分法？假设 先取 9 个苹果，平均每人 3 个，剩下的 11 个再按不同情况讨论.模型 排列数公式解析 可以有 ：(1,0)(,9,20)(,18,0)(,217,40)(,3172654635515 种不同种类，对每一种类再考虑小明、小惠、小曼的不同次序，用排列数公式 即可求解.nmA对（11,0,0） ， （9,1,1） ， （7,2,2） ， （5,5,1） ， （5,3,3）五类，各类可以有 3种次序排法，故共有 15 种分发法.对其余的 10 类，各类可以有 6（ ）种次序排法，故共有 60 种分发法3A检验 所以按要求可以有 75 种不同的分法.练习题一个立方体随意翻动，
11、每次翻动朝上一面的颜色与翻动前都不同，那么这个立方体的颜色至少有几种？【6】有 243 颗外形一模一样的珠子，其中有一颗稍重一点。用一架没有砝码的天平，至少称几次才能找出这颗珠子来?分析与假设 将 243 颗珠子平均分成 3 份，每份 81 颗，任取其 2 份放置在天平两边，若平衡则稍重的一颗在另 1 份中；若不平衡则稍重的一颗在天平下沉的 1 份中.在找出含有稍重珠子的一份中（含 81 颗），再将其 81 颗珠子平均分成3 份，每份 27 颗，任取其 2 份放置在天平两边，若平衡则稍重的一颗在另 1份中；若不平衡则稍重的一颗在天平下沉的 1 份中.在找出含有稍重珠子的一份中（含 27 颗），
12、再将其 27 颗珠子平均分成 3 份，每份 3 颗，任取其 2 份放置在天平两边，若平衡则稍重的一颗在另 1 份中；若不平衡则稍重的一颗在天平下沉的 1 份中.在找出含有稍重珠子的一份中（含 1 颗），再将其 3 颗珠子平均分成 3 份，每份 1 颗，任取其 2 颗放置在天平两边，若平衡则另 1 颗稍重的一颗；若不平衡则稍重的一颗为天平下沉的 1 颗.模型 “三分法”解析 按“分析与假设”所述可知，至少称 4 次才能找出这颗珠子来.检验 此题的关键是珠子的颗数 243，可以平均分成 3 份，每份 81 颗，而 81 又可以平均分成 3 份，每份 27 颗，而 27 又可以平均分成 3 份，每份
13、 3 颗，而 3 可以平均分成 3 份，每份 1 颗，最后找出异样的珠子.练习题小敏把 100 只彩色小灯泡串联起彩灯，用来布置教室，可是其中有只小灯泡坏了，这可急坏了小敏。你能用最速捷的方法很快地找出了那只损坏的小灯泡吗？【7】水果店进了十筐苹果，每筐10 个，共 100 个，每筐里的苹果重量都一样，其中有九筐每个苹果的重量都是 1 斤，另一筐中每个苹果的重量都是 0.9 斤，但是外表完全一样，用眼看或用手摸无法分辨。现在要你用一台普通的大秤一次把这筐重量轻的找出来。你可以办到么？分析与假设 普通的大秤上是有刻度，可以称得具体重量.从这点考虑不妨将十筐苹果进行标号 (1,2345,6789,
14、10)iA并取与标号对应的苹果数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，共计 55 个，再用所给的大枰称得这 55 个苹果的总重量若此 55 个苹果重量均为 1 斤（理想状态） ，则总重量应为 55 斤，由题目条件知其中某一框苹果重量均为 0.9 斤，假定为第 框时，那么所取苹果数j为 个，大枰称得总重量就要比 55 斤少 两.j j模型 等差数列的求和解析 利用框数与所取苹果数的对应关系，考虑大枰称得总重量与理想状态 55 个苹果的总重量之间的差按“分析与假设”所述可解得.若大枰称得总重量为 54 斤 3 两，比 55 斤差 7两，即得框号为 的这框苹果重量为 0.9 斤.7A练习题某单位某月 112 日安排甲、乙、丙三人值夜班，每人值班 4 天.要求三个人各自值班日期数字之和相等。已知甲头两天值夜班，乙 9、10 日值夜班，问丙在自己第一天与最后一天值夜班之间，最多有几天不用值夜班？
