1、1毕业论文开题报告数学与应用数学中学数学解题能力的培养一、选题的背景与意义数学是科学和技术的基础，在信息社会中，数学为商业、财政、健康和国防做出贡献，为学生打开职业之门，使人们能够做出充分依据的决定。数学在应用方面更是突飞猛进的，随着计算机和网络的普遍使用，IT产业蓬勃兴起，当今世界已开始步入数字化时代，数学成为各个领域普遍使用的重要工具，数学技术已成为当代最重要的技术手段之一。当代数学所处理的是普遍存在的各种信息（包含数据信息和可以数据化的信息），是自然现象、人类行为、社会系统中的数学模型。从飞机制造中的计算机模拟设计，到医疗诊断中的CT与核磁共振扫描技术；从经济规划中的投入/产出模型，到现
2、代军事中的高技术信息战；从遗传学中的DNA解码；到石油勘探中的小波法矿藏定位在现代生活的各个领域中，数学都发挥着前所未有的巨大威力。我们比以往任何时候都更加需要数学的思考。数学能力的培养重在数学问题的解决能力。美国数学家哈尔莫斯认为，问题是数学的心脏，他说“数学家存在的主要理由就是解问题，因此，数学的真正的组成部分是问题和解。”数学历史的发展一再印证了“问题是数学的心脏”。尤其是在1900年，当希尔伯特在巴黎国际数学家代表大会上发表了数学问题的著名演讲之后，数学问题更加成为激励数学家推进数学发展的一种原动力。希尔伯特在他的演讲中说“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力；而问题缺乏
3、则预示着独立发展的衰亡或中止。正如人类的每项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。”不仅对于数学科学，而且对于学校数学来说，问题也是它的心脏。波利亚有过一名脍炙人口的名言“掌握数学就是意味着善于解题”。我国自建国以来，在各个时期的中学数学教学大纲中一直强调要加强基础知识、基本技能的训练和培养，而关于数学的基本技能的界定，一直有不同的看法，笔者认为，对于数学基本技能的界定，比较科学的说法是按照一定的程序与步骤进行运算、推理、处理数据、画图、绘制图表等。可见，解题能力是数学基本2技能的一种体现。总之，数学技能的训练和能力的培养离不开解题。解题是使学生牢固掌握数学基础知识和基本技能的
4、必要途径，也是检验知识、运用知识的基本形式。有效地培养数学解题能力，有助于独立的有创造性的认识活动，也可以促进数学能力的发展。二、研究的基本内容与拟解决的主要问题研究的基本内容如下1、数学解题能力概述2、培养数学解题能力的价值3、培养数学解题能力的有效途径4、总结解决的主要问题是首先，通过这个课题的研究引起数学教师对学生数学解题能力培养的重视；再者，使教师在平时教学中重视抓好中学生数学解题能力的基本知识，从而奠定解题能力的的基础；最后，通过强调解题的思维过程以及有效的训练，提出培养中学生数学思维能力的关键点，从而获得在实际数学教学活动中培养数学解题能力的有效措施，进而达到教师教学效果的提高及学
5、生数学能力的提高。三、研究的方法与技术路线1、通过阅览室查阅各种相关文献资料2、通过图书馆借阅相关书籍3、通过网络平台查找各种资料4、向指导老师请教，得到老师的支持和帮助5、通过实例对观点进行进一步的阐述四、研究的总体安排与进度20101215提交文献综述。201012102101216提交开题报告，提交外文翻译。20101220准备开题，开题论证201144提交毕业论文。2011452011429完成毕业论文的修改与完善。32011年5月1日前准备毕业论文答辩及正式答辩。主要参考文献（1）G波利亚（涂泓、冯承天译）怎样解题上海科技教育出版社，20075版（2）冯大超刍议对学生数学解题能力的培
6、养陕西教育200912期（3）张可法初中数学解题研究M长沙湖南师范大学出版社，2001（4）吕佐良，张雄怎样培养学生的解题能力J数学教学通讯，1998，4（5）蔺琳培养学生数学解题能力的教学途径A辽宁师专学报第7卷第2期,200504（6）周学海数学教育学概论M长春东北师范大学出版社，1996（7）薛海霞浅谈如何提高初中生的数学解题能力江苏省如皋市郭园中心初中2010年第1期（8）田林必提高学生数学解题能力的最佳途径“解后思”数学教学通讯2004年9月总第202期（9）杨永清把好“3关”提升数学解题能力高中数理化（高一）（10）杨骞数学教育中的索质教育研究J中学数学教学参考，199872527
7、（11）PETERJALTER,AMANDAWYRICK,ETODDBROWN,ANDAMYLINGOIMPROVINGMATHEMATICSPROBLEMSOLVINGSKILLSFORSTUDENTSWITHCHALLENGINGBEHAVIORDUNIVERSITYOFLOUISVILLE（12）PAULLAUNGEEKIONG,HWATEEYONGPROBLEMSOLVINGHABITSTHINKING中学数学解题能力的培养摘要9ABSTRACT10中学数学解题能力的培养111数学解题能力概述1311解题能力的概念1312中学解题的基本要求1313数学解题思维过程1314培养的解题能力
8、的价值142加强基础知识教学1421重视概念、定理等基础知识1422注重例题、习题的典范作用1523注意常用的解题方法和要点16231配方法16232待定系数法17233反证法17234数学归纳法18235换元法193培养良好的解题习惯1931培养良好的审题习惯1912311仔细审题，抓关键词20312充分挖掘隐含条件2032养成独立思考的解题习惯2133解题计划的制定2134养成题后反思习惯224解题的思维习惯、思维品质培养2341一题多解培养思维的广泛性和灵活性2342由表及里，培养思维的深刻性2343引导合理联想，培养思维的敏捷性2444培养学生数学“转化”思维习惯255总结26参考文献
9、26致谢错误未定义书签。附录错误未定义书签。1数学解题能力概述11解题能力的概念数学解题能力通常是指能够阅读和理解题目所述的材料，选择适当的方法，对材料提供的信息分析，筛选、加工、处理，并综合运用所学的数学知识和方法解决问题的能力。它是运算能力，逻辑思维能力，空间想象力等基本的数学能力的综合反映。在数学教学中，提升学生的解题能力有着非常重要的作用和意义。12中学解题的基本要求中学数学问题的解决，须要达到简单，合理，正确，清晰和完满的基本要求。在解决问题的过程当中，必须要有充足的理由去推理，列式操作，制图和得出结果，并力争用相对简单，快速，巧妙的解题方法，从而能较好地解答题目。除了这些，书面的表
10、达也须要做到清晰明白，有条有理，符合规范。在中学数学解题当中，教师一般对简单，合理，正确的要求更加重视，但却忽视了完满的要求。比如，教师常常不会让学生去检验一些无理方程，分式方程的解，也经常会忽视应用题解的实际意义等等，这些都是解答不够完满的表现。解题要达到上述要求，学生应该在解题完成后进行回顾，继续分析问题。回顾解题主要有三方面的工作，包括讨论揭发，检验解答和推广结果。学生如果能够坚持这样做，养成回顾解题的良好习惯，对于提高自身的解题能力必将会有很大的帮助13数学解题思维过程在数学解题过程中，特别是面对一个较为复杂的数学问题。以学生的经验，常常会进入一个复杂的思维过程。对这一思维过程进行分析
11、，不难发现有针对性和有效的解题方法是的很有必要的。对于数学解题思维过程，波利亚提出了四个阶段，即定义弄清提议，制定计划，实现计划和回顾审查。这四个思维阶段的实质可以概括为以下四个单词理解，转化，实施与反思。第一阶段了解问题是解决思维活动的开始。第二阶段转换问题是发现和尝试解题途径和方向的探索过程，是解决问题策略的选择与调整过程，是解题思维活动的核心。第三阶段计划的实施实现了解题过程，其中包括和基本技能，基本知识的灵活有效运用和思维过程的充分表达，同时也是解题思维活动的重要组成部分。第四阶段反思问题常常会被人们忽视，但它对发展数学思维有着非常重要的作用，反思是一个思维活动的结束，却包含着另一个思
12、维活动的开始。14培养的解题能力的价值美国数学家哈尔莫斯说过；“数学家存在的主要理由就是解问题，因此，数学的真正的组成部分是问题和解。”他认为问题就是数学的心脏。数学发展的历史也一再证实了“问题是数学的心脏”这句名言。特别是在1900年，在巴黎国际数学家大会上，希尔伯特发表了著名的数学问题的演讲，提出了23个问题供二十世纪的数学家去研究，就是著名的“希尔伯特23个问题”，在这之后，数学问题就更加成为了激励数学家们前进和推动数学发展的的源动力在这次演讲中，希尔伯特说“如果一门科学分支缺乏问题，它就意味着独立发展的中止甚至衰亡，相反，如果能经常提出大量问题，它就充满着生命力。这正好像人类的每项事业
13、都追求着确定的目标一样，数学研究也需要追求自己的问题。”这不仅仅对于数学的研究，对于学校中数学的教学来说，问题也是数学的心脏。总之，数学技能的训练，能力的培养。解决问题是使学生对数学的必要手段和基本技能掌握扎实的基础知识，而且是知识，利用知识的基本形式。有效地开发数学问题解决能力，促进自主创新活动的认识，而且也能促进数学能力的发展。2加强基础知识教学基础知识的教学与解题能力培养是密不可分的。在中学阶段中，解决数学问题就是运用已有数学知识去探索新情境、寻求问题答案的思考活动。而这种解决数学问题的能力是在学习数学知识的过程中逐渐形成和发展起来的，它必须在建构知识的过程中长期地、有意识地培养和训练。
14、如在概念教学中，使学生清楚地理解和掌握有关数学概念，学习初步的逻辑思维方法是学生解决数学问题的重要基础。21重视概念、定理等基础知识讲解概念、定理、公式、法则等的数学基础知识，要求学生们做到理解并且熟练。比如对于概念，不仅要讲清楚概念的内涵和外延，弄清楚概念与概念之间的联系与区别，还同时要引导学生从正反几个方面提出问题从而加深他们对概念的理解。另一方面，对于概念的掌握，对学生要提出明确的要求要求他们懂，要理解得准确透彻，准确；要求他们会讲，能运用正确的数学语言来阐述这些概念，而且能用自己的话来解释这些概念，有些重要的定理定义要一字不差地把它们背下来；要求他们会用，而且运用得娴熟，解题以依赖的基
15、础就是掌握好基础知识22注重例题、习题的典范作用在平时课堂教学中，重视例题的典范作用尤其要重视。例题，在数学教学中承载着传授知识、培养学生能力、展示数学思想方法的重要作用。学生在解题过程中，仍然比较依赖例题的解题模式、步骤和思路，力图实现解题模式的同类化。因此，例题教学要突出它的目的性、示范性、延伸性、规律性和启发性，让学生从中能学会分析问题并解决问题的方法，提高思维的决策能力。如果解决好例题的教学，就能为学生思维的品质和解题能力的提高起积极促进作用。例题的讲解，不能就着题目讲题，要充分地挖掘处这道习题的功能，通过例题的讲解，讲清楚这种类型题目的本质。学生通过自己学习有所收获并体会到成功感时，
16、教师应该及时把握培养学生的能力、启迪学生的智慧这个好机会，也要引导学生思考有没有其他的方法解题，有没有其他的结论，可不可以改变题目的相关条件等，让学生做到有感而发、有感而问、有感而究，从而能够深入理解题目的本质。例正方形ABCD的对角线AC、BD相交于O点，正方形ABCD的顶点A与O重合，AB交BC于点E，AD交CD与点F。求证OEOF本题学生通过读题、审题，很容易找到证明线段相等的方法证三角形全等。此题关键就转化为找全等的条件，结合正方形的性质加以探索，让学生在探索中体验成功的喜悦。成功是兴趣的源泉，成功解题后学生就会异常兴奋，这时教师应当引导学生思考此题中还有相等线段吗两正方形重叠部分的面
17、积与正方形ABCD的面积有何关系等，放飞学生的思维，激发学生学习的积极性。教师及时评价学生的学习成果，并不断设问如将正方形ABCD绕点O旋转上述等量关系是否变化同时出示练习在直角三角形ABC中，ABAC,BAC90，O点是BC边的中点，MON90,分别交AB、AC于点M、N。求证OMON。通过比较让学生把问题的本质揭示出来。四边形ABCD的大小、是否为正方形都不是本质的条件，它的本质的东西是，只要过等腰直角三角形斜边的中点任作两条互相垂直的直线即可。我们可以继续提问（1）为什么对于正方形来说，有上述结论成立，它与正方形的哪些性质有关呢（2）其它正多边形有无类似的性质存在呢这样我们就可以把问题的
18、最本质的东西揭示出来对于正N边形来说，把它绕着它的中心旋转360/N度都有能与原图形重合。所以过它的中心作N条射线，只要相邻两条射线的夹角为360/N度，该正N边形被这些射线分成的N块图形的面积都是相等的。这样，对一个问题，我们把的本质讲清楚了，学生对这一类问题的解法也就清楚了，只有这样，我们在平时的教学中才可避免陷入“题海战术”，取得事半功倍的效果。其次，中学数学习题的分类方法有很多。根据题目内容的不同，分为证明题、运算题、应用题、作图题等根据解题形式的不同，分为口答题、例题、练习题、思考题、游戏题、复习题等根据解答方式的不同，可分为固定解答题如选择题、判断题等和自问解答题如解答题、论述题等
19、。教师根据教学目的，可以对数学习题进行精选和安排。精选就是选择那些代表性，典型性，富有启发，能起到举一反三的作用，而且又有一定难度，易于发展学生思维的问题；精选完成后再进行安排，安排就是由易到难，由浅入深，由简到繁，既要循序渐进又要有一定的难度，要前后连惯，最好还要有一定的循环。23注意常用的解题方法和要点积累一些典型题的解题模式。一看就会有思路。在学习一定内容之后，学生注意总结解某些问题的方法与要点，有益于提高解题能力。在中学数学解题过程中常用的数学方法如下231配方法配方法是对一个数学式子进行一种定向的变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，这样就能做到化繁为简。最常
20、见的配方法是恒等变形，让数学式子出现完全平方。恒等变形主要适用已知或者未知中含有二次不等式、二次方程或二次函数的讨论和求解。配方法使用最基本的配方依据是一个常见的二项式完全平方公式2222BABABA，将这个公式进行变型，可得到各种基本配方形式，如ABBAABBABA222222ABBAABBABABA3222221222222CBABBABCACABCBA2222222CABAABCBACABCABCBACBA例题方程052422KYKXYX表示圆的充要条件是_。A141CKRDK14或K1分析配方成圆的标准方程形式222RBYAX，解02R即可，选B。232待定系数法将一个多项式表示成另一
21、种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。待定系数法的解题关键是依据已知条件列出正确的等式或方程。使用待定系数法，就是引入一些待定系数，把某种具有确定形式的数学问题，转化为方程组来解决。要判断一个问题是否要用待定系数法，主要是看所求数学问题是不是包含了某种确定的数学表达式，如果有，那么就可以用待定系数法来解决。比如分解因式、数列求和、拆分分式、求函数式、解析几何中求曲线方程等，这些问题都是具有确定的数学表达形式的，所以可以用待定系数法
22、来进行求解。例题与双曲线1422YX有共同的渐近线，且过点2,2的双曲线的方程是_。分析设双曲线方程X2Y24，点2,2代入求得3，即得方程X23Y2121。233反证法反证法一种从反面的角度思考问题的证明方法，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾，推理而得到正确的结论。具体地来说，反证法就是从否定命题结论入手，并且把对命题结论的否定作为推理用的已知条件，再进行正确的逻辑推理，从而得到与已知条件、已知定理、公理、法则或者已经证明是正确命题等相互矛盾，而矛盾原因是假设不成立，所以肯定了命题结论，从而使命题得到了证明。在用反证法证题目时，必须要用到“反设”进行推理，否则就不能称作反证法。用反证法证题
23、时，如果要证明命题的情况只有一种，那么只需将这种情况驳倒就可以了，这种反证法又叫“归谬法”，在数学解题时经常使用反证法。例题若下列方程03442AAXX，0122AXAX,0222AAXX至少有一个方程有实根。试求实数A的取值范围。分析三个方程至少有一个方程有实根的反面情况只有一种那就是三个方程均没有实根。先求出反面情况时A的范围，再所得范围的补集就行了解设三个方程均无实根，则有12222221644301404420AAAAAA,解得321211320AAAA或,即321），则FX的值域是_。分析设X21TT1，则FTLOGAT124，所以值域为,LOGA4；换元的方法有局部换元和三角换元。
24、局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式4X2X20，先变形为设2XT（T0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。三角换元，常常用于去根号，或变换为三角形式，主要是利用了已知代数式中跟三角函数中有某点关系而进行换元。如求函数YX1X的值域时，易发现X0,1，设XSIN2，0,2，这样问题就变成了熟悉的求三角函数值域。我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的T0和0,
25、2。3培养良好的解题习惯31培养良好的审题习惯仔细、认真地审题，提高审题的能力是解题的前提。因为审题为探索解题途径提供了方向，为选择方法提供了决策的依据因此，教学中要求学生养成认真、细心、严谨的审题习惯，就是要对问题条件、目标有关的全部情况进行全面的认识，充分地理解题意，联系和本质，不断提高审题的能力。311仔细审题，抓关键词数学语言的表达往往十分准确可以说是精确并且具有特定的意义。在审题过程中，应该认真仔细地看清每一个数字和符号，理解每一句话，理清图形中线段、角还有点之间的确切关系，还要咬文嚼字地弄清楚题目给的条件、结论和全部题意，这样才能找到解题的切入点，打开解答之门。审题，除了字字句句斟
26、酌，弄清每一句话，熟悉问题的整体背景外，还要格外注意抓住“关键语句”从而展开思维。312充分挖掘隐含条件有些题目的已知条件不太明显或者比较复杂，审题时，就应该善于挖掘隐含条件，还原题目的本意。隐含的条件一但显露，就可以为解题提供新的信息，解题思路也就豁然开朗。初中的数学问题中隐含条件主要有以下几种情况1隐含在题目的结论中；2隐含在题目的条件中；3隐含在题目的解题方法和过程之中。例如在ABC中，A、B、C为ABC的三个内角，方程SINSINACX2SINSINBAXSINSINCB0并且有两个相同的实根，求证三角形的三边成等差数列。证法一根据题中的条件，用一元二次方程根的判别式2SINSINBA
27、4SINSINACSINSINCB接着用正弦定理，得到AB）24CABC0。因式分解得022CBA，即CBA2。可见，A、B、C成等差数列。证法二在审题时可以挖掘隐含的条件，我们不难发现方程的左边各项系数之和为零，这样我们就可以得到X11是这个方程的根。因为条件说方程有两个相同的实根，则另一个跟X21，再由韦达定理，得X1X21SINSINSINSINACCB再由正弦定理，通过简单的化简，可得CBA2。即A、B、C成等差数列。从这个例题我们可以看出，在审题的过程中，把条件和结论分析得明确，分析透彻是发现解题方法的前提。要提高审题的能力，就应该有意识地去培养学生养成认真审题的习惯。这就需要教师经
28、常强调审题重要性，对由于审题失误而造成错误的典型例题，应进行及时的讲解，从而让学生吸取教训32养成独立思考的解题习惯在学习的过程中，每个学生都会遇到各种各样的难题，但是不同的学生对待难题的态度和解决难题的办法常常是不太相同的。当学生在遇到难题时，常常不会自己去积极地开动脑筋，然后把难题解决。而是不经思考就去问同学或者问老师，有的学生甚至直接抄袭别人作业，这是很不好的习惯。优秀的学生通常会认识到怎么样去突破难题，根据已经掌握的知识进行分析，这样就能提高培养分析问题、解决问题的能力。当学习中遇到难题的时候，这种情况一般是因为学生自己对知识理解不够全面，不够准确和深刻，也可能理解了但不会运用。这时，
29、就应该让学生应反复阅读教材，复习笔记，并认真独立地思考，从而养成独立思考问题，独立解题的好习惯。如果经过自己的独立思考，问题仍然得不到解决，这时最好应该暂时放下来。等到最后要是到还没有解决，就可以去请教同学或者老师来寻求解决问题的办法。但是值得注意的是在寻求别人的帮助时，最好不要让别人完全讲透，只要让他们稍微点拨一下，再经过自己的思考并解决，这样才能起到很好的作用，事半功倍。33解题计划的制定数学基础知识、基本技能和基本概念是解题思路的源泉，是解题的根本，离开它们，解题就成了无源之水、无根之木。因此，审题之后首先要回顾的就是题目中的主要概念，而且要知道这些概念是怎么定义的，在题目的条件和结论中
30、，与哪些公式、定理、法则有关，能否直接应用，题目所涉及基本的方法是什么，这样回顾后，倘若仍然不能解决问题，不妨可以思考是否还有类似的方法，或者类似的结论和命题。也可以大胆的猜想，由一般到特殊，特殊想到一般。经过这样深入的考虑之后，解题的途径将会逐步变得明朗，解题计的划便会随之形成。有些数学问题的解决，依赖于某种特殊情形，通过特殊和个别的分析去寻求一般，以获得关于所研究对象或关系的认识，找到解决问题的方向、途径或方法。也就是解题时的“以退为进”的思维方法。由此可见，所制定的证明计划是第一步，考察面积为1的正方形和菱形；第二步，借助第一步得到启示“从对角线与面积的关系及算术几何平均不等式入手”；第
31、三步，计算凸四边形面积，由“算术几何平均”得出不等式，进而计算、化简，得出结论。AEFCDHOGB34养成题后反思习惯解题时决对不能解一题就丢一题，这样做对提高解题能力没有丝毫的作用。解题后进行反思对提高解题能力有着重要的帮助。反思主要有以下三个方面。1、善于进行总结解题后，可以从解题的规律、解题的方法、解题的策略等方面进行多角度的总结。这样才能做到举一反三，触类旁通，从而提高解题能力。2、善于进行引伸解完题后，要善于对题目进行“改头换面”。为许多与原题形式或者内容不相同，但解法相类似的题目，这样就可以深化知识，扩大视野，提高解题能力。例如如图，已知正方形EDCD，边长是4截去其中的一角ABF
32、成五边形ABCDE，其中BF1，AF2，P是AB上一点，且APPB2，求矩形MDNP的面积。解延长MP与CF相交于G，延长NP与EF相交于K，不难得到PG32，PK32矩形PNDM的面积为MPNP（432）（432）9111。解完这道题后可以作适当引伸把“APPB2”这个条件去掉。矩形MDNP的面积就会因为P点在AB上位置的变化而变化边长为4的正方形EFCD，截去其中一角ABC变成五边形ABCDE，其中BF1，AF2，P在AB上运动，是AB上的一个动点，矩形MDNP的面积记为S，这样就可以有很多种引申，如1P点在怎样的位置时S的值为102P点在什么位置是MDNP的面积最小，最小值是多少3P点在
33、什么位时MDNP的面积最大，最大值是多少。从不同角地角进行引伸，有助于培养和提高学生解题的能力。3善于进行推广解题后，要得到普遍的结论，可以把命题中特殊的条件一般化处理，就能推得更为普遍的结论，这就是数学命题的推广。推广后所获得的就不仅仅是一道题的解法，是一组题目、一类题目的解法。这样就有利于培养学生能够深入钻研的好习惯，从而激发他们的创造、创新精神。比如中学中三角形非常重要，从三角形的勾股定理中我们可以推广出很多定理，像正弦定理，余弦定理，三角函数等等很多有用的重要定理和公式。又如PBDNCEAKFMG求555的值。解完这道题后，可以引导学生进行推广求KKK的值（K0）；求NNN555的值（
34、N1,NN）；求NNNNKKK的值（N1,NN。A0）总之，解题之后的回顾与反思对学生学习数学非常重要，而学生这方面的习惯养成和能力提高需要一个过程，需要老师有意识的培养。4解题的思维习惯、思维品质培养41一题多解培养思维的广泛性和灵活性思维的广阔性和灵活性联系密切，集中表现于善于发现事物间多方面的联系，找出多种解决问题的方法，并能将它推广到类似的问题中去，或通过多种途径灵活解决问题的能力。一题多解能使记忆系统中的知识尽可能多的与所探求的问题发生联系，突破知识的前后界限和学科界限，思维向多方向发散，从多角度寻求殊途的解题途径。在解题时，教师若能适当的将问题逐步引申使解题方法能顺利迁移，或广泛联
35、想，挖掘题目的丰富内涵，这对培养学生思维的广阔性和灵活、发散性都大有裨益。例如例1求函数12XXY的单调性，解法1由单调性的定义,任取X1X2,然后作差比较FX1FX2的符号，得出单调性解法利用导数22211XXY当X1或X1时，导函数小于，此时原函数单调减少通过此例，灵活运用所学知识，使题目由隐晦化为明显，看似“山重水复”，实则“柳暗花明”，使学生的思维更加灵活，更加宽广。总之，探求一题多解，既能触类旁通，虽解一题，但实际解了多题；又能有助于总结方法，发现方法，使知识升华；还能使学生认识不断深入，印象深，兴趣浓，有助于学生优良思维品质的形成，克服题海战术的毛病。42由表及里，培养思维的深刻性
36、解题其实就是一个将一些复杂的信息进行处理的过程，我们要认真分析题目所给的各种信息，看看他们之间有什么联系，然后再仔细疏理，从已知深入分析得到未知。特别是在所给的题目信息我们不能分析准确，有好几种思路时，我们在解题的时就会受思维定势的影响，从而忽略了对命题中隐含信息和隐含条件的挖掘这样解题方法就会显得比较呆板和保守，缺乏灵活性。因此在解题的时候必须认真仔细地搜寻题目中的每一个细节，而且要尽可能地挖掘隐含条件，这样才能最大限度利用题目所给的信息，从而使问题很快得到解决。这对于我们优化解题思路，培养思维品质的深刻性有着非常大的帮助例题设函数NANNXFXXXX1321LG，其中A是实数，N是任意给定
37、的自然数，且2N，如果XF当1,X上有意义，求A的取值范围解XF当1,X上有意义01321ANNXXXX，其中,1X2N恒成立，即1,121XNNNNAXXX因为，函数1,3,2,1NKNKX在1,上都是增函数，所以，函数121XXXNNNNXG在1,上都是增函数，从而，它在1X时取得最大值121N1NN211NNG因此，121NA即A的取值范围是121|NAA这是一道常见的基本初等函数中的参数问题，它一直是高考考查的热点问题之一。对这类题型，要善于抓住本质。本题可以利用参数分离法得到容易解决，即通过分离参数，转化为函数最值问题。因此，在解题时必须仔细搜寻题中的每一个细节，尽可能能地挖掘隐含条
38、件，最大限度地利用题目所给信息，会使问题得迅速解决。43引导合理联想，培养思维的敏捷性思维的敏捷性是指一个人在进行思维活动的过程中，具有灵活并迅速地解决问题的能力，主要表现在观察问题时的避繁就简，运算过程中的正确迅速。学生如果知识面很丰富，充满联想能力，思维就会表现得更加敏捷。因此，教师在重视技能技巧的训练和重视基础知识的教学的同时，还应该有意识地去引导学生去进行合理而又丰富的联想，为知识之间的关系搭建桥梁，举一反三，从而为训练学生思维敏捷奠定基础。引导学生进行合理的联想，沟通知识与知识之间的内在联系，这是训练学生解题思维的敏捷性一条有效的途径。例如如图，已知正方形ABCD中，E是BC边上一点
39、，AF平分DAE交CD边于F，求证AEBEDF讨论（1）引导联想、已知正方形ABCD你联想到什么会联想到四条边都相等；四个角都相等；对边平行且相等；、AF平分DAE你联想到什么会联想到12；121DAE，121DAE；DAE21等，、证AEBEDF你联想可以用到什么方法才能解决问题会联想到线段的和、差、分的常用证明方法延长法或截取法。（2）由学生讨论后提出最佳解决方案延长法延长CB至G，使BGDF，也就是欲证AEBEDF，只需证AEEG即可。欲证AEEG，只需证G35即可，下面的问题显然易证。爱因斯坦曾经说过，想象力比知识重要的多，因为知识毕竟是有限的，但是想象力概括着世界上很多东西，可以说是
40、一切，同时推动着进步，是知识进化的源泉。联想是想象力的重要组成部分之一，培养学生的联想能力，是数学教育中一个重要的任务，也是培养非逻辑思维的关键。44培养学生数学“转化”思维习惯不管解决什么问题，最根本的途径是“化繁为简，化难为易，化未知为已知”，在解决数学问题是也是一样。我们要把复杂繁琐的数学问题通过一定的方法、手段和数学思维，逐步地将它转变为一个大家所熟知的比较简单的数学形式，这样我们就可以更直接更容易地解决问题。转化的思想方法非常的灵活，并且形式多样，所以我们在转化问题是并没有一个统一的模式去套用。它可以在很多方面之间进行转换，数与数之间，数与形之间，形与形之间都可以转化，它可以在符号系
41、统内部实施转换，即所说的恒等变形。消去法、换元法、求值求范围问题等等，这些都体现了等价转化思想，我们更是经常在方程、函数、不等式之间进行等价转化。正是因为它的灵活性和多样性，我们必须要合理地设计好转化的方法和途径，从而避免死搬硬套题型。在数学操作中我们要进行等价转化，要遵循简单化、熟悉化、标准化、直观化的原则，就是通过转换，把我们遇到的问题变成比较简单而且我们所熟悉的问题来解决。比如从从分式到整式、无理式到有理式等等；或者从非标准型向标准型进行转化。或者将决比较抽象的ADCBEFG12345问题转化为比较直观的问题，从而更能准确地把握问题的求解过程，比如数形结合法；如果能够按照这些原则进行数学
42、操作，转化过程就会变得比较轻松，既节省了时间，又提高了效率。经常渗透等价转化的思想，可以在很大程上度提高解题的水平和能力。例题设方程22XX的根为A，方程2LOG2XX的根为B，则_BA解方程22XX与2LOG2XX分别变形为XX22与2LOG2XX在同一坐标系内分别作出函数XYXYYX2321LOG,2,2的图象，且XYYX231LOG,2的图象关于直线XY对称，由1,12,PXYXY所以，22PXBA5总结总之，学生解题能力的提高，要认清解题能力的本质、加强基础知识教学、培养学生良好的解题习惯、思维习惯、思维品质，这不是一朝一夕能做到的，也不是仅靠教师的潜移默化和学生的自觉行动就能做好的，
43、需要教师根据教学实际，坚持有目的、有计划地进行培养和训练。只有这样，才能使学生的能力越来越强，教师越教越轻松，家长越来越满意，社会越来越放心。参考文献1G波利亚（涂泓、冯承天译）怎样解题上海科技教育出版社，20075版2冯大超刍议对学生数学解题能力的培养陕西教育200912期3张可法初中数学解题研究M长沙湖南师范大学出版社，20014吕佐良，张雄怎样培养学生的解题能力J数学教学通讯，1998，45蔺琳培养学生数学解题能力的教学途径A辽宁师专学报第7卷第2期,2005046周学海数学教育学概论M长春东北师范大学出版社，19967薛海霞浅谈如何提高初中生的数学解题能力江苏省如皋市郭园中心初中2010年第1期8田林必提高学生数学解题能力的最佳途径“解后思”数学教学通讯2004年9月总第202期9杨永清把好“3关”提升数学解题能力高中数理化（高一）10杨骞数学教育中的索质教育研究J中学数学教学参考，19987252711PETERJALTER,AMANDAWYRICK,ETODDBROWN,ANDAMYLINGOIMPROVINGMATHEMATICSPROBLEMSOLVINGSKILLSFORSTUDENTSWITHCHALLENGINGBEHAVIORDUNIVERSITYOFLOUISVILLE
