1、1线性代数授 课 教 案代数几何教研室2第一章 行列式本章说明与要求:行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的，它在线性代数以及其他数学分支上都有着广泛的应用在本章里我们主要讨论下面几个问题：(1) 行列式的定义；(2) 行列式的基本性质及计算方法；(3) 利用行列式求解线性方程组( 克莱姆法则)本章的重点是行列式的计算，要求在理解 n 阶行列式的概念，掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的 n 阶行列式计算行列式的基本思路是：按行(列) 展开公式，通过降阶来计算但在展开之前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形，使行列式中出现较多的零和公因式，从而简化计
2、算常用的行列式计算方法和技巧有：直接利用定义法，化三角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利用已知行列式法行列式在本章的应用是求解线性方程组(克莱姆法则) 要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件。本章的重点：行列式性质；行列式的计算。本章的难点：行列式性质；高阶行列式的计算；克莱姆法则。1.1 二阶与三阶行列式行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的因此我们首先讨论解方程组的问题设有二元线性方程组(1)2211bxa用加减消元法容易求出未知量 x1，x 2 的值，当 a11a22 a12a210 时，有3(2)212122121abx这就是一般二元线性方程
3、组的公式解但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源我们称4 个数组成的符号 21121aa为二阶行列式它含有两行，两列横的叫行，纵的叫列行列式中的数叫做行列式的元素从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线 )上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线 )上两个元素的乘积，取负号根据定义，容易得知(2) 中的两个分子可分别写成， ，212121abab2121bab如果记 ， ，21D21 21D则当 D0 时，方程组(1) 的解 (2)可以表示成， ， (
4、3)21121abx2112abx象这样用行列式来表示解，形式简便整齐，便于记忆首先(3) 中分母的行列式是从(1) 式中的系数按其原有的相对位置而排成的分子中的行列式，x 1 的分子是把系数行列式中的第 1 列换成(1)的常数项得到的，而 x2 的分子则是把系数行列式的第 2 列换成常数项而得到的例 1 用二阶行列式解线性方程组423141x 解：这时 ，02143D， ，51241 31212D因此，方程组的解是 ， ，51Dx32x对于三元一次线性方程组(4)3231221bxaxa作类似的讨论，我们引入三阶行列式的概念我们称符号(5)3123213213231 aaaa为三阶行列式，它
5、有三行三列，是六项的代数和这六项的和也可用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素的乘积取正号，从右上角到左下角三个元素的乘积取负号例 2 5314210620 1325)4(123)4( 令 32311aD5， ， 32311abD331221abD32311baD当 D0 时，(4) 的解可简单地表示成， ， (6)x12x3它的结构与前面二元一次方程组的解类似例 3 解线性方程组4215031x 解： ， ，85D13251D， 472130243103所以， ， ， 8Dx8x28Dx例 4 已知 ，问 a，b 应满足什么条件？(其中 a，b 均为实数)01ab解： ，若要 a2+b
6、2=0，则 a 与 b 须同时等于零因此，210bab当 a=0 且 b=0 时给定行列式等于零为了得到更为一般的线性方程组的求解公式，我们需要引入 n 阶行列式的概6念，为此，先介绍排列的有关知识思考题：当 a、 b 为何值时，行列式02D1.2 排列在 n 阶行列式的定义中，要用到排列的某些知识，为此先介绍排列的一些基本知识定义 1 由数码 1，2，n 组成一个有序数组称为一个 n 级排列例如，1234 是一个 4 级排列，3412 也是一个 4 级排列，而 52341 是一个 5 级排列由数码 1，2，3 组成的所有 3 级排列为：123，132，213，231，312，321共有 3!
7、=6 个数字由小到大的 n 级排列 1234n 称为自然序排列定义 2 在一个 n 级排列 i1i2in 中，如果有较大的数 it 排在较小的数 is 的前面(i sj 时，经过i 与 j 的对换后，排列的逆序数减少 1 个所以对换相邻两数后，排列改变了奇偶性再讨论一般情况，设排列为a1a2al i b1b2bmjc1c2cn将 i 与 j 作一次对换，则排列变为a1a2al j b1b2bmi c1 c2cn这就是对换不相邻的两个数的情况但它可以看成是先将 i 与 b1 对换，再与 b2 对换，最后与 bm 的对换，即 i 与它后面的数作 m 次相邻两数的对换变成排列a1a2alb1b2bm
8、i j c1cn然后将数 j 与它前面的数 i，b m，b 1 作 m+1 次相邻两数的对换而成而对换不相邻的数 i 与 j(中间有 m 个数)，相当于作 2m+1 次相邻两数的对换由前面的证明知，排列的奇偶性改变了 2m+1 次，而 2m+1 为奇数，因此，不相邻的两数 i，j 经过对换后的排列与原排列的奇偶性不同定理 2 在所有的 n 级排列中(n2)，奇排列与偶排列的个数相等，各为个!n证明：设在 n!个 n 级排列中，奇排列共有 p 个，偶排列共有 q 个对这 p 个奇排列施以同一个对换，如都对换(1，2) ，则由定理 1 知 p 个奇排列全部变为偶排列，由于偶排列一共只有 q 个，所
9、以 pq；同理将全部的偶排列施以同一对换8(1，2)，则 q 个偶排列全部变为奇排列，于是又有 qp，所以 q = p，即奇排列与偶排列的个数相等又由于 n 级排列共有 n!个，所以 q + p = n!， 2!定理 3 任一 n 级排列 i1i2in 都可通过一系列对换与 n 级自然序排列 12n互变，且所作对换的次数与这个 n 级排列有相同的奇偶性证明：对排列的级数用数学归纳法证之对于 2 级排列，结论显然成立假设对 n1 级排列，结论成立，现在证明对于 n 级排列，结论也成立若 in=n，则根据归纳假设 i1i2in1 是 n1 级排列，可经过一系列对换变成12(n1)，于是这一系列对换
10、就把 i1i2in 变成 12n若 inn，则先施行 in 与 n的对换，使之变成 i1i2in1n，这就归结成上面的情形相仿地，12n 也可经过一系列对换变成 i1i2in，因此结论成立因为 12n 是偶排列，由定理 1 可知，当 i1i2in 是奇(偶)排列时，必须施行奇(偶)数次对换方能变成偶排列，所以，所施行对换的次数与排列 i1i2in 具有相同的奇偶性思考题：1决定 i、 j 的值，使(1) 1245i6j97 为奇排列；(2) 3972i15j4 为偶排列2排列 n (n1)(n2)321 经过多少次相邻两数对换变成自然顺序排列？1.3 n 阶行列式本节我们从观察二阶、三阶行列式
11、的特征入手引出 n 阶行列式的定义已知二阶与三阶行列式分别为 212121aa931232132132311 aaaa其中元素 aij 的第一个下标 i 表示这个元素位于第 i 行，称为行标，第二个下标 j 表示此元素位于第 j 列，称为列标我们可以从中发现以下规律：(1) 二阶行列式是 2！项的代数和，三阶行列式是 3！项的代数和；(2) 二阶行列式中每一项是两个元素的乘积，它们分别取自不同的行和不同的列，三阶行列式中的每一项是三个元素的乘积，它们也是取自不同的行和不同的列；(3) 每一项的符号是：当这一项中元素的行标是按自然序排列时，如果元素的列标为偶排列，则取正号；为奇排列，则取负号作为
12、二、三阶行列式的推广我们给出 n 阶行列式的定义定义 1 由排成 n 行 n 列的 n2 个元素 aij (i，j =1，2，n)组成的符号nnaa 21212称为 n 阶行列式它是 n!项的代数和，每一项是取自不同行和不同列的 n 个元素的乘积，各项的符号是：每一项中各元素的行标排成自然序排列，如果列标的排列为偶排列时，则取正号；为奇排列，则取负号于是得 (1)nnnaa 212112nj21 nnjjjNa 2121)(其中 表示对所有的 n 级排列 j1j2jn 求和nj21(1)式称为 n 阶行列式按行标自然顺序排列的展开式 )(21njN10称为行列式的一般项njja21当 n=2、
13、3 时，这样定义的二阶、三阶行列式与上面1.1 中用对角线法则定义的是一致的当 n=1 时，一阶行列为|a 11|= a11如当 n=4 时，4 阶行列式 43214421312 aa表示 4！=24 项的代数和，因为取自不同行、不同列 4 个元素的乘积恰为 4！项根据 n 阶行列式的定义，4 阶行列式为43214421312 aa j jjjNa21 3214321)(例如 a14a23a31a42 行标排列为 1234，元素取自不同的行；列标排列为 4312，元素取自不同的列，因为 N(4312)=5，所以该项取负号，即a 14a23a31a42 是上述行列式中的一项为了熟悉 n 阶行列式的定义，我们来看下面几个问题例 1 在 5 阶行列式中，a 12a23a35a41a54 这一项应取什么符号？解：这一项各元素的行标是按自然顺序排列的，而列标的排列为 23514因 N(23514)=4故这一项应取正号例 2 写出 4 阶行列式中，带负号且包含因子 a11a23 的项解：包含因子 a11a23 项的一般形式为 jjN34321)(按定义，j 3 可取 2 或 4，j 4 可取 4 或 2，因此包含因子 a11a23 的项只能是a11a23a32a44 或 a11a23a34a42但因 N(1324)=1 为奇数N(1342)=2 为偶数
