1、设 a=（x，y） ，b=(x，y)。 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC。 a+b=(x+x，y+y)。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a； 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 2、向量的减法 如果 a、b 是互为相反的向量，那么 a=-b，b=-a，a+b=0. 0 的反向量为 0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减” a=(x,y) b=(x,y) 则 a-b=(x-x,y-y). 4、数乘向量 实数 和向量 a 的乘积是一个向量，记作 a，且a=a。 当 0 时，a 与 a 同方向； 当 0 时，a
2、 与 a 反方向； 当 =0 时，a=0 ，方向任意。 当 a=0 时，对于任意实数 ，都有 a=0。 注：按定义知，如果 a=0，那么 =0 或 a=0。 实数 叫做向量 a 的系数，乘数向量 a 的几何意义就是将表示向量 a 的有向线段伸长或压缩。 当1 时，表示向量 a 的有向线段在原方向（ 0）或反方向（0）上伸长为原来的倍； 当1 时，表示向量 a 的有向线段在原方向（ 0）或反方向（0）上缩短为原来的倍。 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：(a)b=(ab)=(ab) 。 向量对于数的分配律（第一分配律）：(+)a=a+a. 数对于向量的分配律（第二分配律）：(a+b)=a+
3、b. 数乘向量的消去律： 如果实数 0 且 a=b，那么 a=b。 如果 a0 且 a=a，那么=。 3、向量的的数量积 定义：已知两个非零向量 a,b。作 OA=a,OB=b,则角 AOB 称作向量 a 和向量 b 的夹角，记作a,b并规定 0a,b 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作 ab。若 a、b 不共线，则ab=|a|b|cosa ，b ；若 a、b 共线，则 ab=+-a b。 向量的数量积的坐标表示：ab=xx+yy。 向量的数量积的运算律 ab=ba（交换律） ； (a)b=(ab)(关于数乘法的结合律 )； （a+b)c=ac+bc（分配律） ； 向量的数量
4、积的性质 aa=|a|的平方。 ab =ab=0。 |ab|a|b|。 向量的数量积与实数运算的主要不同点 1、向量的数量积不满足结合律，即：(ab)ca(bc)；例如：(ab)2a2b2。 2、向量的数量积不满足消去律，即：由 ab=ac (a0)，推不出 b=c。 3、|ab|a|b| 4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b 或 a=-b。 4、向量的向量积 定义：两个向量 a 和 b 的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作 ab。若 a、b 不共线，则 ab 的模是：ab=|a|b|sin a，b ；ab 的方向是：垂直于 a 和 b，且 a、b 和 ab按这个次序构成右手系。若 a、
5、b 共线，则 ab=0。 向量的向量积性质： ab是以 a 和 b 为边的平行四边形面积。 aa=0。 ab=ab=0。 向量的向量积运算律 ab=-ba； （a）b= （ab）=a （b） ； （a+b）c=ac+bc. 注：向量没有除法， “向量 AB/向量 CD”是没有意义的。 向量的三角形不等式 1、a-ba+ba+b； 当且仅当 a、b 反向时，左边取等号； 当且仅当 a、b 同向时，右边取等号。 2、a-ba-b a+b。 当且仅当 a、b 同向时，左边取等号； 当且仅当 a、b 反向时，右边取等号。 定比分点 定比分点公式（向量 P1P=向量 PP2） 设 P1、P2 是直线上的
6、两点，P 是 l 上不同于 P1、P2 的任意一点。则存在一个实数 ，使 向量 P1P=向量 PP2， 叫做点 P 分有向线段 P1P2 所成的比。 若 P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y) ，则有 OP=(OP1+OP2)(1+)；（定比分点向量公式） x=(x1+x2)/(1+), y=(y1+y2)/(1+)。 （定比分点坐标公式） 我们把上面的式子叫做有向线段 P1P2 的定比分点公式 三点共线定理 若 OC=OA +OB ,且 +=1 ,则 A、B 、C 三点共线 三角形重心判断式 在ABC 中，若 GA +GB +GC=O,则 G 为ABC 的重心 编辑本段 向量共线的重要条件 若 b0，则 a/b 的重要条件是存在唯一实数 ，使 a=b。 a/b 的重要条件是 xy-xy=0。 零向量 0 平行于任何向量。 编辑本段 向量垂直的充要条件 ab 的充要条件是 ab=0。 ab 的充要条件是 xx+yy=0。 零向量 0 垂直于任何向量.
