1、1990 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试卷一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)2xt(1)过点 (1,2)M且与直线 4y垂直的平面方程是_1zt(2)设 a为非零常数,则 lim()xxa=_.(3)设函数 ()f 10 ,则 ()f=_.(4)积分 220eyxd的值等于_.(5)已知向量组1234(,34),(,5),(,6),(,57),则该向量组的秩是_.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设 )fx是连续函数,且e()
2、(),xFftd则 ()Fx等于(A) e(fx (B) xf(C) )xf (D) e()f(2)已知函数 (具有任意阶导数,且 2,x则当 n为大于 2 的正整数时 ,()fx的 n阶导数 ()nfx是(A) 1!)nfx(B) 1()nf (C) 2(D) 2!x (3)设 a为常数,则级数 21sin()a(A)绝对收敛 (B)条件收敛(C)发散 (D)收敛性与 的取值有关 (4)已知 ()fx在 0的某个邻域内连续,且 0()(),lim2,1cosxff则在点 0x处 ()f(A)不可导 (B)可导,且 f(C)取得极大值 (D)取得极小值 (5)已知 1、 2是非齐次线性方程组
3、AXb的两个不同的解 1,、 2是对应其次线性方程组 AX0的基础解析 ,k、 为任意常数,则方程组 的通解(一般解 )必是(A) 121212()(B) 12121k(C) 12121()k(D) 12121()三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分)(1)求 120ln().xd(2)设 (,sin),zfy其中 (,)fuv具有连续的二阶偏导数 ,求2.zxy(3)求微分方程 24ex的通解( 一般解).四、(本题满分 6 分)求幂级数 0(21nnx的收敛域,并求其和函数.五、(本题满分 8 分)求曲面积分 2SIyzdxy其中 是球面 24外侧在 0z的部分.六、(本
4、题满分 7 分)设不恒为常数的函数 (fx在闭区间 ,ab上连续,在开区间 (,)ab内可导,且 ().fab证明在 (,)a内至少存在一点 ,使得 ()0.f七、(本题满分 6 分)设四阶矩阵 1021340,BC且矩阵 A满足关系式1()AECB其中 E为四阶单位矩阵 1,C表示 的逆矩阵 ,表示 的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵 .A八、(本题满分 8 分)求一个正交变换化二次型 2213132448fxxx成标准型.九、(本题满分 8 分)质点 P沿着以 AB为直径的半圆周,从点 (,2)A运动到点 (,)B的过程中受变力 F作用(见图).的大小等于点 P与原点 O之间的距离 ,其
5、方向垂直于线段O且与 y轴正向的夹角小于 .2求变力 F对质点 所作的功.十、填空题(本题共 3 小题,每小题 2 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机变量 X的概率密度函数 1()e,xf则 X的概率分布函数 ()Fx=_.(2)设随机事件 A、 B及其和事件的概率分别是 0.4、0.3 和 0.6,若 B表示 的对立事件,那么积事件 AB的概率()PB=_.(3)已知离散型随机变量 X服从参数为 2 的泊松 ()Poisn分布,即2e,01,!kPX则随机变量 32ZX的数学期望 ()EZ=_.十一、(本题满分 6 分)设二维随机变量 (,Y在区域 :01,Dxy内服从均
6、匀分布,求关于 X的边缘概率密度函数及随机变量21ZX的方差 ).Z1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试卷一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)(1)设 21cosxty,则 dyx=_.(2)由方程 22zz所确定的函数 (,)zxy在点 (1,0)处的全微分 dz=_.(3)已知两条直线的方程是1 231:;:.01xyxyl l则过 1l且平行于 2l的平面方程是_.(4)已知当 时 3,()a与 cos是等价无穷小 ,则常数 a=_.(5)设 4 阶方阵5021,A则 A的逆阵 1=_.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分
7、,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)曲线21exy(A)没有渐近线 (B)仅有水平渐近线 (C)仅有铅直渐近线 (D)既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2)若连续函数 ()fx满足关系式20()()ln2,tfxfd则 ()fx等于(A) eln2x (B) 2elx (C) (D) n (3)已知级数 121(),5,nna则级数 1na等于(A)3 (B)7(C)8 (D)9(4)设 D是平面 xoy上以 (1,)、 ,和 (,)为顶点的三角形区域 1,D是 在第一象限的部分,则(csin)xyd等于(A) 12cosinD
8、xyd(B) 12Dxyd(C) 14(i)x(D)0 (5)设 n阶方阵 A、 B、 C满足关系式 ,ABE其中 是 n阶单位阵,则必有(A) E(B)(C) (D)三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分)(1)求 20lim(cos).x(2)设 n是曲面 2236yz在点 (1,)P处的指向外侧的法向量 ,求函数268xyuz在点 P处沿方向 的方向导数.(3) 2(),xyzdv其中 是由曲线20yzx绕 轴旋转一周而成的曲面与平面 4所围城的立体.四、(本题满分 6 分)过点 0,O和 (,A的曲线族 sin()yax中,求一条曲线 ,L使沿该曲线 O从到 A的积分3
9、(1)2)Lydxy的值最小.五、(本题满分 8 分)将函数 2(1)fxx展开成以 2 为周期的傅里叶级数,并由此求级数 21n的和.六、(本题满分 7 分)设函数 fx在 0,1上连续 ,()内可导,且123()(0),fxdf证明在 (,1)内存在一点 ,c使 ()0.f七、(本题满分 8 分)已知 1234,03,(1,5)(1,2,)(1,8)aa及 (1,3,5).b(1)a、 b为何值时 不能表示成 3的线性组合 ?(2) 、 为何值时 ,有 1234,的唯一的线性表示式 ?写出该表示式.八、(本题满分 6 分)设 A是 n阶正定阵 ,E是 n阶单位阵,证明 AE的行列式大于 1
10、.九、(本题满分 8 分)在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点 (,)Pxy处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ长度的倒数(Q是法线与 x轴的交点),且曲线在点 (1,)处的切线与 轴平行 .十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上)(1)若随机变量 X服从均值为 2、方差为 2的正态分布,且 240.3,PX则 0PX=_.(2)随机地向半圆 0(yax为正常数) 内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与 轴的夹角小于 4的概率为_.十一、(本题满分 6 分)设二维随机变量 (,XY的密度函数为(,)fxy(2
11、)e0,0 xy其求随机变量 Z的分布函数.1992 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试卷一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)(1)设函数 ()yx由方程 ecos(0xy确定,则 dyx=_.(2)函数 22lnuz在点 1,2)M处的梯度 graMu=_.(3)设 ()fx 210x,则其以 为周期的傅里叶级数在点 x处收敛于_.(4)微分方程 tancosy的通解为 y=_.(5)设1212122,nnnbbaaA 其中 0,(1,2).iibn 则矩阵 A的秩 ()r=_.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每
12、小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当 1x时,函数12ex的极限(A)等于 2 (B)等于 0(C)为 (D)不存在但不为 (2)级数 1()cos)(na常数 )(A)发散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)收敛性与 a有关 (3)在曲线 23,xtyzt的所有切线中,与平面 24xyz平行的切线(A)只有 1 条 (B)只有 2 条(C)至少有 3 条 (D)不存在(4)设 2(),fxx则使 ()0nf存在的最高阶数 n为(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (5)要使 120,1都是线性方程组 AX0的解 ,只要系数矩阵 A为(A
13、)21(B) 201 (C) 01(D) 401 三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分)(1)求 20esin1lim.x(2)设 (si,),xzfy其中 f具有二阶连续偏导数 ,求2.zxy(3)设 ()f 21ex0,求31(2).fxd四、(本题满分 6 分)求微分方程 32exy的通解.五、(本题满分 8 分)计算曲面积分 323232()(),xazdyaxdzaydx 其中 为上半球面 22zaxy的上侧.六、(本题满分 7 分)设 0,(,fxf证明对任何 120,x有 1212()().fxfxf七、(本题满分 8 分)在变力 Fyzixjyk的作用下,质点
14、由原点沿直线运动到椭球面221xyzabc上第一卦限的点(,)M问当 、 、 取何值时,力 F所做的功 W最大?并求出 的最大值. 八、(本题满分 7 分)设向量组 123,线性相关,向量组 234,线性无关,问:(1) 能否由 线性表出?证明你的结论.(2) 4能否由 123,线性表出?证明你的结论.九、(本题满分 7 分)设 3 阶矩阵 A的特征值为 123,对应的特征向量依次为123,49又向量1.(1)将 用 123,线性表出.(2)求 (nA为自然数).十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上)(1)已知 11()()(0,(),46PBCPA
15、BCPB则事件 A、 B、 C全不发生的概率为_.(2)设随机变量 X服从参数为 1 的指数分布,则数学期望 2eXE=_.十一、(本题满分 6 分)设随机变量 与 Y独立 ,服从正态分布 2(,)NY服从 ,上的均匀分布,试求 ZXY的概率分布密度( 计算结果用标准正态分布函数 表示,其中21e)txd.1993 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试卷一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)(1)函数 1()2)(0xFdtx的单调减少区间为_.(2)由曲线 231yz绕 轴旋转一周得到的旋转面在点 (0,32)处的指向外侧的单位法向量为_.(3)
16、设函数 2()()fxx的傅里叶级数展开式为 01(cosin),2naxb则其中系数 3b的值为_.(4)设数量场 22ln,uyz则 div(gra)u=_.(5)设 阶矩阵 A的各行元素之和均为零,且 A的秩为 1,n则线性方程组 AX0的通解为_.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设sin240)(),xftdgx则当 0x时 ,()fx是 g的(A)等价无穷小 (B)同价但非等价的无穷小(C)高阶无穷小 (D)低价无穷小(2)双纽线 22()xy所围成的区域面积可用定积分表示为(A) 40cosd(B) 40cos2d(C) 402(D) 401()(3)设有直线 158:2xyzl与 2:l 63xyz则 1l与 2的夹角为(A) 6(B) 4(C) 3(D) 2(4)设曲线积分 ()esin()cosxLftydfxyd 与路径无关 ,其中 ()fx具有一阶连续导数,且 (0),f则()fx等于
