1、本科毕业设计（20届）高阶拉格朗日密度的表面项和运算技巧的探索所在学院专业班级理论物理学生姓名学号指导教师职称完成日期年月I【摘要】在经典场论中，如果我们将力学系统和场进行类比，就建立了场的拉格朗日方程。在无界空间内对作用量变分可以得到场的演化方程，然而在有界空间内对作用量变分，则会额外产生出一个表面项。该表面项存在可求解与不可求解两种情况，论文中分别对其进行了举例说明。根据NOETHER定理，可证明存在守恒流J满足0J。我们将其推广到量子场论中的高阶拉格朗日方程中，得到NOETHER流。因为有关任意拉氏密度NOETHER流的计算是一项相对复杂的工作，文中通过构造一个六维矢量计算NOETHER
2、流，使计算机编程的过程变得容易。本文还精确定义了312NNNXYZ，进行了算符的重参数化。【关键词】NOETHER流；拉格朗日方程；表面项【ABSTRACT】INCLASSICALFIELDTHEORY,IFWECOMPAREMECHANICALSYSTEMSWITHFIELD,WEWILLSETUPALAGRANGEEQUATIONOFTHEFIELDWECANALSOGETTHEEVOLUTIONEQUATIONOFFIELDBYCALCULATEVARIANCEINUNBOUNDEDSPACESHOWEVER,ANADDITIONALSURFACETERMWILLCOMEINTOBEIN
3、GIFWECALCULATEVARIANCEINBOUNDEDSPACESTHESURFACETERMCANEITHERBECALCULABLEORINCALCULABLEANDIHAVEMADEEXAMPLESOFBOTHINMYPAPERACCORDINGTONOETHERSTHEORY,WECANAPPROVETHATTHEREEXISTSACONSERVEDCURRENTJTHATSATISFIES0JFURTHERMORE,WECANGETNOETHERCURRENTIFWEEXPANDJTOTHEHIGHLEVELLAGRANGEEQUATIONOFQUANTUMFIELDTHEO
4、RYSINCEITSARELATIVELYCOMPLEXTASKTOCALCULATENOETHERCURRENTOFARBITRARYLAGRANGEDENSITY,IHAVECONSTRUCTEDASIXDIMENSIONVECTORTOSIMPLIFYCOMPUTERPROGRAMMINGPROCESSTHEPAPERHASALSOPRECISELYDEFINITE312NNNXYZANDPARAMETERIZEDTHEPARAMETERAGAIN【KEYWORDS】NOETHERCURRENT；LAGRANGEEQUATION；SURFACETERM。II目录目录II1拉格朗日量的发展
5、与应用111经典力学中的拉格朗日量112经典场论中的拉格朗日量213量子场论中的拉格朗日量41310自旋场41321/2自旋场52拉格朗日量的边界问题621边界条件下的表面项问题在无界空间内对作用量变分可以得到场的演化方程，然而在有界空间内对作用量变分，则会额外产生出一个表面项。622可求解的边界问题623不可求解的边界问题93拉格朗日量的高阶推导和计算1231高阶NOETHER流的一般公式1232356124NNNNNNXYZXYZ型拉氏密度的“六维矢量法”1233关于312NNNXYZ的精确定义1434算符的重参数化与空间144总结16参考文献17致谢错误未定义书签。1拉格朗日量的发展与应
6、用11经典力学中的拉格朗日量力学体系的运动规律的最一般形式可以由所谓最小作用量原理给出。根据这一原理，每一力学体系由一定的函数1212,NNLQQQQQQT来描述其特性，而体系的运动满足下面的条件。假定在1TT和2TT的时刻，体系占有两个确定的位置，这两个位置分别由两组坐标值12QQ和决定。这时，体系在两个位置之间按照使积分21S,TTLQQTDT（111）有最小可能值的方式运动。函数L叫做该体系的拉格朗日量，而积分S则叫做作用量。接下来我们来推导确定积分（11）最小值的积分方程。为了简化公式的书写，我们先假定体系只有一个自由度，这样一来，应该决定的只有一个函数QT了。假定QQT正巧是使S有极
7、小值的函数。这就是说，以形如QTQT（112）的函数代换QT时，S就增大，其中，Q是在从1T到2T整个时间间隔内都很小的函数。既然当1TT和2TT时，所有用以比较的函数（112）应该有相同的值12QQ和，因而应该有120QTQT（113）以QQ取代Q引起的S的变化由差221,TTLQQQQTDTLQQTDT决定。这个差按Q和Q（在被积分式子内）指数的展开式是从一级项开始的，这些项的总和等于零是S为极小值的必要条件。这总和叫做积分的第一变分。因此，最小作用量原理可以写作21,0TTSLQQTDT（114）或者进行变分后，210TTLLQQDTQQ对第二项实行分部积分，并注意到,DQQDT我们得到
8、22110TTTTLLDLSQQDTQQDTQ1152由于条件113,式中的第一项消失，所以，当Q取任意值的时候，剩下的积分应该等于零。这只有在被积分的式子恒等于零的情况下才是可能的。因此，我们得到方程0SSDLLDTQQ（I1,2,S）116这就是要找的微分方程，在力学里它们叫做拉格朗日方程。假定所给定的力学体系的拉格朗日量已经知道，则方程（116）确定加速度、速度和坐标间的关系，也就是说，它是体系的运动方程。12经典场论中的拉格朗日量物理场通常可用一组变量来描述，这些量一般是时空坐标的函数，如电磁场的矢势与标势、量子场的波函数等，我们将它们一般地记为X1,S,其地位相当于分析力学中的广义坐
9、标QT。时空坐标X1,2,3,4则相当于分析力学中的时间参量T从数学表述形式上看，力学系统和场之间存在下列对应TX时间）时空坐标）121QTX广义坐标）（场函数）122QTX广义速度）（场函数的四维梯度）123类似于力学系统的牛顿方程，场的运动可用场函数对时空坐标的一组偏微分方程来描写，如电磁场的麦克斯韦方程、标量场的KLEINGORDON方程等。我们把这种描写场动力学行为的方程叫做场方程。像力学系统的情形一样，场方程也可通过变分原理得到。一般情况下，泛函,FXFXXX的变分定义为,FFXXXXXFXXX,FFFXDDXX（124）这相当于在全微分,FFFXDFDDDXX（125）中，用“”代
10、替“D”，并令0X。根据定义容易验证，变分和微分与积分运算均可以交换顺序FF（126）44FDXFDX（127）3变分的运算法则与微分相同。场的运动可以用一个称为拉格朗日密度的泛函,LX来描写，它对四维时空体积的积分称为作用量。场的变分原理可表述为当场在区域的边界上固定，即01,S（128）时，作用量取驻值4,0SLXDX（129）将式（129）中的变分运算作用于积分号内，可得4LLSDX43LLLDXDXX（1210）由边界固定条件（128）可知，上式右端在边界上的积分为零。于是，由的任意性，可得场的拉格朗日方程，即场方程0LLX1,S（1211）场方程的正确性可以通过实验来检验。在实际问题
11、中，往往是先知道场方程，再翻过来“凑”出拉格朗日函数。这样构造的拉格朗日函数并不唯一，可以相差一个四维散度。有时我们还需要通过一定的对称性来确定拉格朗日函数。121NOETHER定理一般的，我们有44,XFXXXDXFFDXX（1212）如果场的作用量对全变分取驻值4,0SLXXXDX（1213）将式（1212）代入，得到4XSLLDXX4XLLXLDXXX4LLLXDXX44LLLLXDXXXX（1214）因满足场方程（1211），所以右端第一个括号为零。考虑到X，可得4LLSLXDXX（1215）令上式为零，并注意到积分区域的任意性，可证明存在守恒流LLJLXLX（1216）满足0J。（1
12、217）如果场是某种外源JX所激发的，则拉格朗日函数依赖于外源。此时，NOETHER定理可推广为当4,0SLXXJXXDX（1218）时，LJJJXJ（1219）其中流J由式（1216）给出。在完全的场论中，源J也是由其他场引起的，那些场也应当视为动力学变量。此时，NOETHER定理又回到式（1217）的形式。13量子场论中的拉格朗日量1310自旋场对于仅由一个标量场X描述的系统，拉氏密度的最一般形式为12LXXVX（131）系数1/2是惯例，V是的标量函数。第一项为动能项，第二项为势能项。在经典理论中，VX的形式不受限制。一个特例是KLEINGORDON拉氏密度2201122LM1325M是
13、有质量量纲的参数，它描写质量为M的自由粒子。注意0L对于分立变换XX133也是不变的。一个更复杂的例子是4自作用理论404LL134注意（在四维）是一个无量纲的参数，负号保证0V。这个作用量导致了一个可接受的量子场论。另一个流形的例子是SINEGORDON拉氏密度41COS12MLM135其中无量纲。对于1M，此L将再现134守恒量是作用量对于POINCARE变换具有不变性的结果。POINCARE变换是时空坐标变换。下面考虑一个内部对称性的例子。若理论中含有多个标量场，则可能出现新的对称性。考虑N个实标量场1,AAN，其拉氏密度为12AAAALV（136）若将,1,AAN看成一矢量，则对于整体
14、转动AABB，ABBA（137）L显然是不变的。注意变换（137）并不改变时空坐标，故0PX。可以得出，守恒的NOETHER流为ABABBAJ（138）1321/2自旋场旋量场的几种形式有DIRAC场，WEYL场L，R和MAJORANA场M皆可以构造POINCARE不变的作用量，在此不再赘述。62拉格朗日量的边界问题21边界条件下的表面项问题在无界空间内对作用量变分可以得到场的演化方程，然而在有界空间内对作用量变分，则会额外产生出一个表面项。对于任意的拉格朗日函数密度求变分NLLLSDXXXNLLLDXDX0（211）则式中L将产生表面项，又因满足场方程（1211），所以右端第一个括号为零，它
15、使得拉格朗日方程在边界上不成立。为了能够在有界空间中得到拉格朗日方程，我们必须对作用量积分进行修改在拉格朗日函数密度体积分的基础上添加一个面积分，以抵消多余出来的边界积分，即令,KK得NVVSLDXKDLKDD（212）22可求解的边界问题添加了一个面积分后，式（211）可重新写为0NSEDXKD（221）其中1101JJNJJEL2111101JJIJJNIJIL7又当,LL时，为了不使指标重复，取,LLLSLLLLLLLLLLL取,，得LLLLLSLLLLLLL222可得LLL223取Q,P,P得LLLQPPPP（224）若存在K使得K则有KLLQPPKLPP（225）8QLLLPPBPP
16、PKKLLPPPPJPPPP（226）显然JJ则L写作如下形式12,LJPPAPQXAPQX（227）将（226）代入（225）的第一式，得122QAAPPBPPABP（228）由（228）第二式可得212,ABQPHPXHQX（229）将（229）代入（228）第一式，得112,ABPPRQXRQXP（2210）又LLLPPPJJJPPP不妨将J写为J，它对于,的任何排列皆相等。得12,LJPPBPPQBPHPXRQXRQXP（2211）由（2211）得2,RQXRLBPPQQQ（2212）22,LJPBPRQXP（2213）2,2RQXLJPBPPX（2214）1,HPXLJPQBPP（2
17、215）91,HPXLJPPBPP（2216）代入（225），得121,HPXKBPRQXQPHPXKJPQBPP（2217）例现有2211222XYXXYYXXYYXXYYQLJPPPPAPXAPYQCPCPMM（2218）则1212KPQCAQMKJPAXPM（2219）得,0,0,0120,0,0,0,0,01,0,0,02212XYXXYXQQPXXXYXXXQQPPXYYYXYYYYQPPKQPPKQCADQJPJPAXDPMMJPJPAXDPM2111222XXXYYPPQCQJPPAQXAPAPMM（2220）此时拉格朗日量为122211222111222NNVVXYXXYYXX
18、YYXXYYSXXXYYSSLDXKDQJPPPPAPXAPYQCPCPDXDYMMPPQCQJPPAQXAPAPDLMM23不可求解的边界问题对于某些情况，表面项并不存在，因为它并不是某个二元函数的全微分的形式，但是选择一定的边界条件，却可以将二元拉格朗日函数密度，在边界上变为一元的函数，这样就可以仅通过一重积分的手段求得。假设,AALG（231）很显然，不存在这样的函数,AKK，使得10,AAAKKKG（232）但是如果我们施加DIRICHLET边界条件1234|,ABOUNDARYAFXXXX（234）则在边界上，0A，于是有,AAAAKDKFGGFD（235）这样便得到,AKGFD（2
19、36）而边界条件取决于边界上的动力学方程（EOM）。随后我便研究了一个简单的实例来说明这个问题在量子场论中常用到的KLEINGORDON方程02MAA（EOM）（237）它的拉格朗日密度为222121MLAAAAAGL,ABOUNDARYAF|（238）HENCEAAKDF（239）22431122AAAVVSMDXFDX（2310）由（237）可知41XIKXIKEE（2311）其中FKKIMKBOUNDARY|02241（2312）我们知道，DIRICHLET条件只是一种特殊的边界条件，它对应于ABOUNDARYAF|10，00的情况于是还存在更一般的情况，即在边界条件为ABOUNDARY
20、AAAF|210（2313）11时的表面项问题。对其进行研究是有意义的，因为我们知道，在凝聚态物理中有时会用到高阶的拉格朗日函数,LL（2314）这也必将产生高阶的表面项问题例如对于含有场量二阶微分的拉格朗日函数,AABLL作用量变分，得4430SLDXLLLLLLDXDX此时如果施加适当的边界条件，对于问题的解决是有帮助的。123拉格朗日量的高阶推导和计算31高阶NOETHER流的一般公式在12节中，我们已经提到了NOETHER定理可以证明经典场论中存在守恒流J,使得J0（311）我们将其推广到量子场论中的高阶拉格朗日函数1212,JLL中，可得NOETHER流2111101JIIJJNIJ
21、IL（312）32356124NNNNNNXYZXYZ型拉氏密度的“六维矢量法”有关任意拉氏密度NOETHER流的计算是一项相对复杂的工作，而其中大量出现的是如下运算J（321）212IIJJJL（322）如果我们取L的一般形式为JKJKLAL,356124NNNNNNJKXYZXYZL123456,NNNJNNNK代入上式得356124212IIJJNNNNNNXYZXYZJ（323）然而，当我们试图进一步求出J的值时，会遇到一些麻烦。其原因在于不同排列的高阶导数算符之间的不等价性。下面我们来举个具体的例子说明这个问题。对于23XYXYXXYY（324）我们不能简单地将其写为3XYX，因为同
22、时还存在另外一种情况。例如，假设2XY代表YYX，那么（334）变为3YYXXYXXYYXYXXYYYYX13YYY（325）这样一来，我们便得到了不同的结果。事实上，在上述计算中，我们要考虑的是所有的排列情况。2XY所代表的既是XXY，又是YYX，同时还是YXY，也就是,XYY的全部可能排列。这样一来，（324）应写为3111333XYYXYYXYYXYXYYYXYYYXX22133XXYYY（326）下面我们重点研究一下拉氏密度JKL变换成相应的NOETHER流时，算符结构的变化。为了方便的说明问题，我们以一个六维矢量123456,NNNNNN来代表场量的高阶导数356124NNNNNNX
23、YZXYZ。显然对于刚才所讨论的拉氏密度3,01,2,0,0,0,0L，其对应的NOETHER流为3211,0,0,1,1,00,1,0,0,2,033（327）我们可以看出，由高阶拉氏密度求NOETHER的过程实质上是对六维矢量各分量的重新分配，分配的原则是对局部分量的“全排列”和“分割”。这样，对（323）式的操作行为可以概括为如下1输入六维矢量123456,NNNNNN，其中123NNNJ2对123,NNN作全排列展开，得到123123NNNNNN组排列数，我们用12,J来代替每组排列数。3把每组12,J依次分割成三组，每组1个，I1个，JI个元素，即分别含有12121,JIIJ4把后两
24、组排列重新整理成矢量的形式，即2456,INNN1123,IJNNN5将整理后的矢量与原矢量进行重新结合令112233,NNNNNN444555666,NNNNNNNNN6输出新的六维矢量1435612411123456,NNNNNNXYZXYZNNNNNN即为NOETHER流我将以上方法称为六维矢量法，它将求高阶导数的问题转化为排列组合的问题，它是一种高度程序化的手段，在进行计算机编程时是非常有用的。33关于312NNNXYZ的精确定义在32节中，我们知道121212213（331）亦即31221212123JJJJNNNXYZNNNJ对的所有排列求和（332）其中123JNNN,这种写法显
25、然非常含糊，没有根据。为了明确312NNNXYZ的定义，应有3121212,JJNNNXYZA（333）其中12,1JA,某些情况下12123,JNNNAJ根据以上定义，L应该写作5641212,JJNNNXYZLA（334）此时2111101JIIJJNIJIL564121121,101IIJIJNNNNIXYZJIA（335）34算符的重参数化与空间由上面的讨论可知，一个较“笼统”的高阶偏微分算符312NNNXYZ存在123NMNNN种可能的形式，如果不能忽略它们之间的区别，则此算符可看做各“可能值”的加权平均，即3121212,NNNNNXYZA（341）12,NA即为“权重”，一般令1
26、2,1NAM如果我们用一个参数来代表12,N这N个变量的一组排列，即12,N，而15此排列对应的高阶偏微分算符记为NP（341）式则可以方便地写为312NNNNXYZAP（342）而导数之间的关系1212121212123,NNNNNAA（343）可重新写为APAP（344）可见同阶的高阶偏微分算符存在正交关系。如果我们用一个M维空间来表示这种关系，空间的每个坐标轴为,1,2,PM,则算符312NNNXYZ即是这个空间中的一个向量。坐标分量为A。我们可以称这个空间为“空间”。这个概念的引入有助于更加直观和清楚的辨别各个算符之间的关系，同时，对于公式的简化也是有所帮助的。164总结最小作用量原理
27、是物理学中的一条基本原理，自创生的那一刻起的200多年间，它在各个领域中皆占有着举足轻重的地位，至今仍指引着许多理论的发展方向。然而伴随着物理学，特别是场论的发展，广义动量和广义坐标的具体形式也有了很大的变化；高阶动量的出现使得最初的变分假设边界处的广义坐标变分为零，很难满足场论中很多边界问题的需求。于是我们引入了表面项来弥补这一不足，这也是对该原理的一个小小的修正。此外，经过20世纪6070年代的大发展，量子场论已经不仅仅是一门深奥的学问，而更像是一套精细纤巧而且专门的演算技巧。本文的后半部分，包括“六维矢量”和“空间”的引入也是对量子场论中有关拉氏密度计算技巧的一次探索，在后续的问题中，特
28、别是涉及到大规模机械化拉氏密度的运算时，此类方法或许会起到一定的作用。17参考文献1王正行简明量子场论北京大学出版社2008042MICHAELEPESKIN,DANIELVSCHROEDERANINTRODUCTIONTOQUANTUMFIELDTHEORYOCTOBER17,20053WALDRMSOMEPROPERTIESOFNOETHERCHARGEANDAPROPOSALFORDYNAMICALBLACKHOLEENTROPYARXIVGRQC/9403028V115MAR19944SKACHRU,XLIUANDMMULLIGAN,GRAVITYDUALSOFLIFSHITZLIKE
29、FIXEDPOINTS,PHYSREVD782008106005,ARXIV080817255MTAYLOR,NONRELATIVISTICHOLOGRAPHY,ARXIV081205306RMANN,LIFSHITZTOPOLOGICALBLACKHOLES,ARXIV090511367GBERTOLDI,BBURRINGTONANDAPEET,BLACKHOLESINASYMPTOTICALLYLIFSHITZSPACETIMESWITHARBITRARYUDANIELSSONANDLTHORLACIUS,BLACKHOLESINASYMPTOTICALLYLIFSHITZSPACETIM
30、E,JHEP09032009070,ARXIV081250888GBERTOLDI,BBURRINGTONANDAPEET,THERMODYNAMICSOFBLACKBRANESINASYMPTOTICALLY9周邦融量子场论高等教育出版社20070910李书民电动力学概论中国科学技术大学出版社11UDANIELSSONANDLTHORLACIUS,BLACKHOLESINASYMPTOTICALLYLIFSHITZSPACETIME,JHEP09032009070,ARXIV0812508812YLI,TMA,RBTAO,ARXIV0707147213GWGIBBONSANDSWHOWKING,PHYSREV,D15,27511977
