1、本科毕业设计（20届）高中数学竞赛中有关不等式的研究所在学院专业班级数学与应用数学学生姓名学号指导教师职称完成日期年月I【摘要】不等式是数学竞赛的热点之一。由于不等式的证明难度大，灵活性强，要求很高的技巧，常常使它成为各类数学竞赛中的“高档”试题。而且，不论是几何、数论、函数或组合数学中的许多问题，都可能与不等式有关，这就使得不等式的问题（特别是有关不等式的证明）在数学竞赛中显得尤为重要。证明不等式同大多数高难度的数学竞赛问题一样，没有固定的模式，证法因题而异，灵活多变，技巧性强。本文通过阐述各种不等式常用的证明方法，拓展学生思维，培养学生逻辑能力，提高学生分析和解决问题的能力。【关键词】高中
2、；数学竞赛；不等式证明；证明方法。ABSTRACT【ABSTRACT】INEQUALITYISONEOFTHEHOTSPOTINTHEMATHCONTESTDUETOTHEDIFFICULTYOFINEQUALITYPROOF,FLEXIBILITY,DEMANDINGSKILLS,OFTENMAKESITALLKINDSOFMATHEMATICSINTHECOMPETITION“UPSCALE“QUESTIONWHETHERGEOMETRY,NUMBERTHEORY,FUNCTIONORCOMBINATORIALMATHEMATICSMANYPROBLEMSMAYANDINEQUALITY,
3、THISMAKESINEQUALITIESRELATEDPROBLEMSESPECIALLYTHEINEQUALITYPROOFINMATHCONTESTISPARTICULARLYIMPORTANTWITHTHEMOSTDIFFICULTTOPROVETHEINEQUALITYOFMATHEMATICSCOMPETITIONPROBLEMSLIKENOTHINGFIXEDPATTERN,DIFFERENT,BECAUSEAPROBLEMAND,2121为任意两组实数若NXXX21，且NYYY21，或NXXX21，且NYYY21，则3NIINIINIIIYXYX111N1N1N1若NXXX21
4、，且NYYY21，或NXXX21，且NYYY21，则NIINIINIIIYXYX111N1N1N1、两式中的等号当且仅当NNYYXXX2121Y或时成立217贝努力不等式设1X，则当10时，XX11；当10或时，XX11两式中的等号，当且仅当0X时成立22其他重要不等式设0,0,2AARA则设,2,22时取等号当且仅当则BAABBARBA设时取等号当且仅当则BAABBARBA,2,设时取等号，当且仅当则CBAABCCBARCBA33,设时取等号，当且仅当则BABAABAB2,0当0A时，2222AXAXAXAX或设BABABABARBA则,设SXYPYXRYX,，则如果S是定值，那么当YX时，
5、P的值最小；如果P是定值，那么当YX时，S的值最大43一些不等式的证明方法不等式在数学中占有重要地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛和高考的热门题型证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，而变形的依据是不等式的性质证明不等式的常用方法有比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函数方法等31比较法比较法是证明不等式的基本方法，也是最重要的方法，它分为作差比较法和作商比较法两种311作差比较法理论00BABABABA步骤作差变形定号作差法的关键步骤是差式的变形，常利用因式分解、配方等方法，目的是使差式易于定号例1设0BA，求证BBAAEEEE【证】
6、作差BABABBAAEEEEEEEE111BABABABAEEEEEEE因为0,0,1BABAE，所以01,BABAEEEE所以01BABAEEE，所以BBAAEEEE【评述】作差法是解决不等式问题最有效的方法312作商比较法理论11BABABABA步骤作商变形与1比较大小作商法不可忽视作商时分母的符号，它的确定是其中的一个步骤应用范围不等式两端是乘积的形式或幂、指数式例20,CBA，求证3CBACBAABCCBA【思路分析】显然不等式两边为正，且是指数式，故尝试用商较法【证】不等式关于CBA,对称，不妨RCACBBACBA,则，且CBBA,，5CA都大于等于13333333232323BCA
7、CCBABCABABACCABCBACBACBACCBBAACBAABCCBA1333CACBBACACBBA【评述】（1）证明对称不等式时，不妨假定N个字母的大小顺序，可方便解题（2）本题可作如下推广若NANAAIAAANIA2121,2,10则2121NAAANNAAA（3）本题还可用其他方法得证。因ABBABABA，同理CAACBCCBACACCBCB,，另CBACBACBACBA，4式相乘即得证32分析法和综合法当然在证题过程中，常可“由因导果”或“执果索因”前者我们称之为综合法；后者称为分析法综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略，分析问题时，我们往往用分析法，而整理结果时多用综
8、合法，这两者并非证明不等式的特有方法，只是在不等式证明中使用得更为突出而已此外，具体地证明一个不等式时，可能交替使用多种方法321分析法（1）分析法是证明不等式的一种常用方法它的证明思路是从未知，看需知，逐步靠已知，即“执果索因”（2）分析法证明的逻辑关系是结论已确认）AABBBBN21（3）用分析法证题一定要注意书写格式，并保证步步可逆（4）用分析发探求方向，逐步剥离外壳，直至内核有时分析法与综合法联合使用当不等式两边有多个根式或多个分式时，常用分析法例3N为正整数，证明113121111111NNNNNNNN【证明】先证左边不等式NNNNNNNN1312111113121111116NNN
9、NN13121111NNNN111311211111NNNNN1342321（）1134232134232NNNNNNNN（）式成立，故原左边不等式成立其次证右边不等式111131211NNNNN11131121111131211111NNNNNNNNN11322111NNNNN（）（）式恰符合均值不等式，故原不等式右边不等号成立322综合法（1）综合法的特点是由因导果其逻辑关系是已知条件BBBBAN21（结论），后一步是前一步的必要条件（2）在用综合法证题时要注意两点常用分析法去寻找证题思路，找出从何处入手，将不等式变形，使其结构特点明显或转化为容易证明的不等式例4N为正整数，证明13121
10、1111NNNN【证明】由均值不等式1134232134232NNNNNNNN7NNNN111311211111NNNNN13121111NNNN131211111NNNN13121111133反证法反证法是根据“正难则反”的原理，即如果正面证明有困难时，或者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时，可以考虑用反证法。要证明不等式BA，先假设BA，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设。要证明的不等式中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼，若正面难以找到解题的突破口，不妨用反证法，往往可以立见奇效。例5设DCBA,均为正数，求证下列三个不等式（
11、1）DCBA，（2）CDABDCBA，（3）DCABCDBA中至少有一个不正确【证明】假设不等式（1）、（2）、（3）都成立，因为DCBA,均为正数，所以由不等式（1）、（2）得，CDABDCBABA2（4）由不等式（3）得，22DCBADCABCDBA因为0BA，所以4DCBACD综合不等式（2），得ABCDCDABCD3,4，即ABCD31由不等式（4），得ABCDABBA342，即ABBA3222，显然矛盾所以不等式（1）、（2）、（3）中至少有一个不正确34换元法所谓“换元法”就是根据不等式的结构特征，选择适当的变量代换，从而化繁为简，或实现某种转化，以便证题其换元法的实质是转化，关键
12、是构造和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂化问题简单化，变的容易处理在不等式证明中，常用的换元法有三角换元和代数换元8341三角换元三角换元证明不等式几种常见形式（1）若题目含有122YX，则可令SIN,COSRYX（2）若题目含有0222MMYX，则可令SIN,COSRMYMX（3）若题目含有0222MMYX，则可令,0,SIN,COSMRRRYRX（4）若题目含有0,0,1YXYX，则可令,SIN,COS22RYX（5）若题目含有0,0,12222BABYAX，则可令,SIN,COSRBYAX（6）若题目含有1X
13、，则可令COSX，或SINRX例6若122YX，求证2222YXYX【证明】设20,10SIN,COSRRYRX，则222YXYX2SIN2COS2R42COS22R222R【评述】证明不等式时，我们可以结合已知条件或不等式的结构与三角函数的性质进行分析，利用三角函数换元，从而借助三角函数的性质来证明不等式342代数换元代数换元主要是平均数代换（又称均值换元）二元均值换元的一般形式为若1,YXRYX、，则可令TBTA21,21例7N个正数,21NXXX它们的和是1,求证211212132222121XXXXXXXXXXXXNNNNN【思路分析】就这个不等式而言,我们容易想到均值不等式，但是直接
14、用均值不等式却难以证明这9个不等式，因此我们把分子变为两项，可令12112MXXX,NNNMXXMXXX2,212322（其中01NIIM）【证明】令NNNMXXXMXXXMXXX2,2,2123221211，则01NIIM1212132222121XXXXXXXXXXXXNNNNN121322232212121212121XXMXXXXMXXXXMXXNNN12322221212113221444XXMXXMXXMMMMXXXXXXNNNN4221NXXX21，因而原不等式成立35判别式法对于含有两个或两个以上字母的不等式,若能够整理成一边为零,另一边为关于某个字母的二次三项式,若该二次三项
15、式的判别式小于零,则该二次三项式在二次项系数大于零时,恒大于零若二次项系数小于零时,二次三项式恒小于零。例8已知实数BA,，满足0926222AABABA（）求证34B【证明】将按A的降幂排列0926122ABAB，可见AX是一元二次方程0926122XBXB的一个实根，故判别式09142622BB，即03224B，由此得34B36放缩法10所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较
16、高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜在与后续能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材，抓住其规律进行适当的放缩例9已知CBA,为三角形的三边，求证21BACCABCBA【证明】由于CBA,为正数，所以CBACBACCBABCABCBAACBA,所以1CBACCBABCBAABACCABCBA，又CBA,为三角形的边，故ACB，则CBA为真分数，则CBAACBA2，同理CBACBACCBABCAB22故2222CBACCBABCBAABACCABCBA综合得21BACCABCBA37构造法证明不等式时，巧妙地构造方程、函数、数列、对偶式、图形等，可以使不等
17、式获得简捷证明这有利于将抽象问题直观化，复杂问题简单化，对学生的创造性思维和创新意识的培养很有帮助构造法的实质，是根据数学问题的条件或结论所具有的特征，以条件中的元素为“元件”，以数学关系为“支架”，通过思维构造出一种相关的数学对象，一种新的数学形式，使问题得以转化、解决在思维方式上，这一方法较多地含有直觉思维的因素，常常表现出简介、明快、精巧等特点371构造图形如果问题条件中的数量关系有明显的几何意义，或以某种方式与集合图形相联接，则通过做出与其相关联的图形，将问题的条件及数量关系直接在图形中表现出来例10设RBA、，且A则不论为何值，总有2222222222222222COSSINABAB
18、AABABABA【证明】令COSSINABK表示点,A与点SIN,COSBAP连线的斜率点P在椭圆12222BYAX上，又A，因而，点,A在直线AX的右侧或直线AX的左侧11显见，当直线AP与椭圆相切时，K取得最大值与最小值椭圆的任一切线方程为222BKAKXY,A在切线上，222BKAK解得2222222ABABAK结论得证372构造函数用函数的观点去分析题目的条件、结构，构造一种相依的函数关系，可将不等式的证明转化为研究函数的性质（如增减性等）例11RCBA、求证CCBBAACBACBA1111【思路分析】不等式中四个式子形式相似，相当于函数XXXF1在相应四个点的函数值，由此我们设置辅助
19、函数来研究不等式【证明】构作函数,0,1XXXXF，则当210XX时，011112112112212XXXXXXXXXFXF所以函数XXXF1在,0上是严格递增的，由CBACBA有CBAFCBAF即11CBACBACBACBA111CBACCBABCBAACCBBAA111【评述】利用不等式的特点，构作辅助函数，将不等式的证明转化为函数增减性或极值来研究，是很有效的方法373构造方程12方程是中学数学中解决问题的重要工具利用方程的有关知识，根据题设条件及结论的特点，构造辅助方程证明不等式，常能化难为易，化繁为简例12设实数CBA、满足066078222ABCCBABCA求A的取值范围（1986
20、，全国高中联赛）【证明】由的782AABC得221ACB故1ACB依韦达定理的逆定理，由、得CB,是方程078122AAXAX的两根RCB、0784122AAA解得91A374构造数列例13求证2121211511311NN，其中2,且NN【证明】构造数列，,1211511311,511311,311NTN则1232121232122212112221NNNNNNNNTTNN于是，12321NTNTNN所以，数列121NTN单调递增，其首项为53451T故212125341NNTN,即2121211511311NN13375构造对称式根据不等式的特点，构造一个与其相关联的对称式，通过对它们之间
21、的灵活处理，得到一些有用的关系式，促进问题的解决例14证明对于和为1的正数NAAA,21，不等式211212132222121AAAAAAAAAAAANNNNN成立（第24届全苏中学生数学竞赛）【证明】记不等式左边为A，构造A的对称式，令1211232232122AAAAAAAAAAAABNNNN，则BA13221AAAAAAN0，即BA故）12123223222122212121AAAAAAAAAAAABAANN411213223221221AAAAAAAAAAAANN4113221AAAAAAN2124121NAAA，不等式得证376构造恒等式通过变换，引入新的参变量，构造出新的关系式，使
22、证明变得简洁，明了例15已知实数SZYX、满足0AASZYX，求证422222ASZYX【证明】令43214,4,4,4TASTAZTAYTAX，则04321TTTT故424224232221432122222ATTTTTTTTAASZYX38数学归纳法数学归纳法是证明和自然数相关的不等式的最有效方法，其证明的关键是如何实现从“NK时原14不等式成立”到“NK1时原不等式成立”的过度常用的数学归纳法有两种第一数学归纳法（简称数学归纳法）证明基本步骤（1）归纳奠基证明N1时命题成立；（2）归纳假设假设NK时命题成立；（3）归纳递推由归纳假设推出NK1时命题也成立从而就可断定命题对于所有正整数都成
23、立第二数学归纳法证明基本步骤（1）当N1时，命题成立；（2）假设当KN时命题成立，由此可推得当NK1时，命题也成立那么，命题对于一切自然数N来说都成立例16设RBA,，且111BA求证对于任何NN有1222NNNNNBABA成立【证明】（1）N1时，左边右边0，原不等式显然成立（2）设NK时原不等式成立，即1222KKKKKBABA则NK1时111KKKBABABAABBABABAKKKKKBAABBAKKKK2212由ABBA2111可得42,4ABBAAB221112422KKKKKKBABAAB111KKKBABABAABBAKKKK22122122224KKK111222KK，即NK1
24、时原不等式成立由（1）（2）可知对于任何NN原不等式成立4若干竞赛不等式证明例题浅析15例1,0,CBA求证6ABCACCACBBCBAAB【证】ABCACCACBBCBAAB60222222222222BACACBCBAABBACACCABBCCBA6ABCACCACBBCBAAB（作差法）【评述】（1）本题所证不等式为对称式（任意互换两个字母，不等式不变），在因式分解或配方时，往往采用轮换技巧再如证明CABCABCBA222时，可将222CABCABCBA配方为21222ACCBBA，亦可利用,222ABBACAACBCCB2,22222，3式相加证明（2）本题亦可连用两次基本不等式获证例
25、2设21,NAAAN，且各不相同，求证132131211321111INAAAANINIIIII【思路分析】不等式右边各项IKIKKAKA1；可理解为两数之积，尝试用排序不等式【证】设NNAAABBB,2121是的重新排列，满足NBBB21，又131211111IIIN所以INIIINIINBBBBNAAAA3232321321由于NBBB,21是互不相同的正整数，故,2,121NBBBN从而11321121132IIINIINNBBBB，原式得证【评述】排序不等式应用广泛，例如可证我们熟悉的基本不等式，,22ABBABA3222333ABCABCACBBCACACBCBABAACCBBACB
26、A例3已知CBA,为正实数，求证412BACACBCBACBAAB（1）当且仅当222CBA时，等号成立【证】若BACACBCBA,中，其值有为零的，不等式（1）显然成立下面证明，当BACACBCBA,三者都不为零的情景161）若BACACBCBA,三者里只有一个为正值，不妨设0CBA为这时，应当有0,0BACACB，推出02BACACBC，显然与条件0C相矛盾。从而说明此种情况是不可能出现的2）若BACACBCBA,三者里有二个为正值，其另一个就是负值，此时，不等式（1）显然成立3）若BACACBCBA,三者均为正值，那么，CA,就是某一ABC的三边长。设其面积为，注意到三角形面积的海伦秦九
27、韶公式CPBPAPP，当中，21CBAP变形，得4BACACBCBACBA于是，所要证明的不等式（1）等价于2AB（）这个不等式的证明是很容易的，事实上，由三角形面积公式与正弦函数的有界性，得2SIN212CABAB我们容易得出，所证不等式中的等号成立的充要条件是222CBA综合以上，便知不等式（1）得证【评述】显然222BACACBCBACBABA也成立，由此还可以推广到41,MIN222BACACBCBACBAQCABCABQ例4已知131211NNNNF，求证（1）MNNMNMFNF；（2）1222NNFN【证】（1）当MN时，有）（）MNMMMFNF131211111131211NMM
28、1211117NMNNNNNMN1111个（2）用数学归纳法证当2N时，241225413121122F成立假设KN时命题成立，即222KFK，则当1KN时，KKKKKKFF22122112122111121212122KKKK22121222221KKKKK，结论成立综上，不等式1222NNFN成立【评述】与自然数N有关的不等式问题，往往采用数学归纳法应用数学归纳法，假设KN成立，推证1KN时成立，这个过程中往往需要较高的变形技巧例5已知0,01121BBBAAANNN求证NIINIINIIIBANBA111（）【证】取IIIIBYAX1,，则由0,01121BBBAAANNN可知IIYX,
29、满足切比雪夫不等式的条件，故11111111NIINIIINIIBNANBAN又由均值不等式，正数NBBB,21的调和平均数不大于它们的算术平均数，即NBBNNIINII11118其中等号仅在NBBB21时成立这样就有NIINIIINIIBABAN11111，即（）式成立，而且等号仅在NBBB21时成立【评述】若把（）式改写为NIINIINIIIBNANBAN111111，则此式表面，在满足题设条件下，商的算术平均值不小于其算术平均值的商利用这个结论可以解决一些较难的分式型不等式的证明问题例6设实数ZYX,满足9222ZYX，求证102XYZZYX【证】不妨设222ZYX则有YZZYX26,3
30、222由柯西不等式，得22222YZXZYXYZZYX24222YZXZY849222YZZYYZ设TYZ，则3T于是，只要证明10084922TTT事实上10084922TTT2820223TTT07222TT容易推理出，所证不等式取得等号的条件是422XZYYZ且即,ZYX为2,2,1,2,1,2,1,2,2【评述】如上的证明，在于巧妙地排序和重新组合，适时地应用柯西不等式例7已知CBA,是满足1ABC的正数，求证1921323232222222ACCCBBBAA（1）证明因为22212,12,12CCBBAA所以要证不等式（1），只要证明如下不等式11121112111212222222
31、22ACCCBBBAA（）令22222211,11,11CAZBCYABX则正数1XYZ，于是不等式（）等价于1212121ZYX，也就是222222222ZYXYXXZZY，即4XYZZXYZXY，注意到1XYZ，并应用3元均值不等式，得4332XYZXYZXYZZXYZXY故21323232222222ACCCBBBAA得证5结论本文对高中竞赛不等式的证明的常用方法作了略浅的介绍，加上例题的分析，有效的帮助学生理解运用各种不同的不等式方法证明各类竞赛不等式，每种方法都有各自的优缺点，但任何一种方法都不可能解决所有的不等式问题，所以我们试图通过各种途径寻找最有效有简单的方法去解决问题，这就需
32、要扎实的基本功，笔者希望通过本文的介绍，使你对高中竞赛不等式有了更详细的了解，更系统的认识，对你以后解决不等式问题有更好的帮助。20参考文献1G波利亚（涂泓、冯承天译）怎样解题M上海科技教育出版社2007,52李名德,李胜宏高中数学竞赛培优教程（一试）M浙江大学出版社2007,321351523陈卓华利用平凡不等式证明竞赛不等式J中国科教创新导刊2008,8，954武增明求解抽象函数不等式问题的探究策略J数理化学习（高三）2010,8,16175赵维奇柯西不等式的多种应用J数理化学习（高三）2010,7,18206代志强放缩法解数列与不等式问题的好帮手J湖南教育下旬2010,8,567李淑燕一
33、个不等式的证法再探J数理化学习（高三）2010,7,23248施耀选,李建华巧用“均值不等式”的几类方法J数学教学研究2010,298,54559TASOSCCHRISTOFIDESMAXIMALINEQUALITIESFORDEMIMARTINGALESANDASTRONGLAWOFLARGENUMBERSJDEPARTMENTOFMATHEMATICSANDSTATISTICS6JUNE2000,PAGES35736310EFIMGLUSKIN,VITALIMILMANSEVERALKINDSOFINEQUALITYJCOMPTESRENDUSMATHEMATIQUE30APRIL2002,PAGES875879
