1、本科毕业设计（20届）关于非齐次线性方程组AXB两类解法的对比所在学院专业班级信息与计算科学学生姓名学号指导教师职称完成日期年月I摘要【摘要】矩阵理论是数学理论中重要的一环，它在很多理论与实际运用中都有着广泛的应用。但是任何数学理论都有自己的适用范围，超过一定范围，她它便不再适用。矩阵理论也不例外，传统的矩阵理论在解决一些问题时不再适用，所以需要提出一些矩阵的新理论。广义逆矩阵就是对矩阵的补充，我们在解决线性方程组时，可以用广义逆矩阵法去解决常规方法所不能解决的问题，这样，我们能够解决的问题范围就能被拓宽。本文对两种方法进行一些简单的比较，进行一些简单的总结【关键词】矩阵理论；线性方程组；广义
2、逆矩阵ABSTRACT【ABSTRACT】MATRIXTHEORYISANIMPORTANTMATHEMATICALTHEORYOFLINK,ITSTHEORETICALANDPRACTICALAPPLICATIONINALOTINAWIDERANGEOFAPPLICATIONSBUTANYMATHEMATICALTHEORYHASITSOWNAPPLICABLESCOPE,EXCEEDACERTAINRANGE,SHEITCEASESTOAPPLYMATRIXTHEORYISNOTEXCEPTIONALALSO,TRADITIONALMATRIXTHEORYINSOLVINGSOMEPROB
3、LEMSNOLONGERAPPLY,SONEEDTOPUTSOMEMATRIXNEWTHEORYTHEGENERALIZEDINVERSEMATRIXOFMATRIXISINSOLVINGEQUATIONS,WEADDED,CANUSETHEGENERALIZEDINVERSEMATRIXMETHODTOSOLVETHECONVENTIONALMETHODCANSOLVEPROBLEMS,SO,WECANSOLVETHEPROBLEMSRANGECANBEWIDENEDTHISARTICLECARRIESONSOMETHETWOMETHODSANDDOSOMESIMPLECOMPARISONO
4、FSIMPLESUMMARY【KEYWORDS】MATRIXTHEORYLINEAREQUATIONSGENERALIZEDINVERSEMATRIXII目录摘要IABSTRACTI目录II1引言12广义逆矩阵的相关说明121（1）G逆122MP逆矩阵的性质及其证明43齐次线性方程组AX0的矩阵变换法求解64非齐次线性方程组AXB的矩阵变换法641KRONECKER定理线性方程组有解判别定理642KRONECKER定理的证明743KRONECKER定理的应用85非齐次线性方程组的广义逆矩阵法1151PENROSE定理1152广义逆与最小二乘解1153PENROSE定理的应用126两种解法的比较
5、1461相容性线性方程组14611用初等行变换解相容性线性方程组14612用广义逆矩阵法解相容性线性方程组1462矛盾线性方程组15621用初等行变换解矛盾线性方程组16622用广义逆矩阵法解矛盾线性方程组1663小结177补充1871广义逆矩阵的相关求法1872布尔矩阵的广义逆矩阵的计算2073态射20致谢错误未定义书签。附录错误未定义书签。1引言矩阵在数学理论与应用中占有重要地位。在数学上，矩阵是纵横排列的数据表格，最早来自于方程组的系数或相关常数所构成的方阵。矩阵这一概念最初是由19世纪英国数学家凯利提出。矩阵概念在生产实践中有很多应用，比如矩阵图法以及计算机存储系统中的矩阵卡系统等等。
6、随着计算机的日益普及，对运算能力的要求越来越高，这些都离不开矩阵理论的发展。我们从解决非齐次线性方程组的问题入手，我们都知道解非齐次线性方程组有矩阵变换法，可是当我们面对的是无解的方程组时，传统矩阵理论走进了死胡同，这就需要引入新的矩阵理论。广义逆矩阵概念的引出就水到渠成。由于在实际应用中，我们不可能遇到无解的方程组就不去解决，而广义逆矩阵法可以求出方程组的最小二乘解，把误差在一定的范围内相对最小化，这在实际应用中是很重要的。正如我们都知道对于实数的平方都大于等于零，但是对于有些实际遇到的一元二次方程组在实数域中是无解的，所以需要创立复数理论一样。广义逆矩阵理论是对矩阵理论的有效补充，它有着自
7、己的定义方式、相关性质定理及其一些应用。本文就是从这一角度去对广义逆矩阵理论作一番梳理，形成系统的认识。广义逆矩阵是对逆矩阵的推广。若A为非奇异矩阵，则线性方程组AXB的解为BAX1，其中A的逆矩阵1A满足EAAAA11为单位矩阵。若A是奇异阵或长方阵，AXB可能无解或有很多解。若有解，则解为YXAEXBX，其中Y是维数与A的列数相同的任意向量，X是满足AXAA的任何一个矩阵，通常称X为A的广义逆矩阵，用GA、1A或1A等符号表示，有时简称广义逆。线性方程组的逆矩阵解法一般只适用于一种特殊情况,即适用于系数矩阵为方阵的时候，用于一般的线性方程组,可以应用矩阵的广义逆来研究并表示它的解而且与其它
8、解法相比解的讨论更完整,表达形式更简洁系统。2广义逆矩阵的相关说明21（1）G逆对于每一个非异的N阶矩阵A，必存在逆矩阵1A，并且它们之间有如下关系2EAAAA11，逆矩阵是唯一的。N个未知数N个方程的非齐次线性方程组AXB，当A非异时，其唯一解可由逆矩阵1A表示为BAX1。当系数矩阵A为任意矩阵时，非齐次线性方程组AXB的解是否也可以通过一个与A以某种恰当的关系相伴的矩阵表示出来呢下面有定理1肯定地回答了这个问题。定理1设NMCA，AXB是相容的（即该方程组有解），那么，XXB是AXB的一个解的充要条件是其中的X使得AXAA成立。证令JA为A的任一列，JAAX当然是相容的。如果JXAX就是J
9、AAX的一个解，则JJAAXA。让J跑遍1,2，N，即得AXAA。反之，AXB相容，必存在，使得BA。因AXAA，故AXAA，也就是BAXB。可见，XXB是AXB的一个解。那么对于一般线性方程组AXB来说，满足矩阵方程AXAA的矩阵，正起着A非异时1A所能起到的类似的作用。因此，这个矩阵方程的解叫做A的“广义逆”,记为1A定义1对任意矩阵A而言，凡满足矩阵方程AXAA的矩阵X，都称为A的广义逆，记为1A或1A，简称G逆。定义，1设NMCA，矩阵A的一个广义逆是满足以下条件的矩阵X对于任何使AXB相容的B而言XBX总是AXB的一个解。AXB是相容的（即非齐次线性方程组有解）充要条件是对某个1A有
10、BBAA1成立，其一般解为YAAEBAX11，其中Y为任意N维列向量。这里的逆1A叫做CAYLEY逆。现在，给出任意矩阵NMCA的G逆的具体结构。先看一个特殊情形，若NMCR，且形如下形式00KERR，则只要取矩阵S有下式成立LESR00，其中RMRNCL是任意的，就有RSRR。而任意一个秩为R的NM矩阵，都可通过适当的初等行变换和列的置换化为行阶梯型300KEAR这就是说，存在适当的初等矩阵E和置换矩阵P，会使下式成立00KEEAPR。因而有下式成立1100PKEEAR，将A进行分解以后，容易得到下式成立ELEPXR00这样它就满足AXAA，其中L是任意一个RMRN矩阵。有以上的推理知，任意
11、矩阵A的G逆都存在，而且一般不是唯一的。当且仅当A非异时，G逆才是唯一的，就是CAYLEY逆。由于P和E均是非异的，因此有下式成立R00RLLEX秩秩秩。MOOREPENROSE逆EHMOORE和RPENROSE先后证明了对于每个有限维的矩阵A，存在满足如下四个方程的一个相伴阵1AXAA2XAXX3AXAX4XAXA以这样的更多的联系与A相伴的X，其条件是比一般G逆更强的一种广义逆，成为MOOREPENROSE逆，记为A或1234A，它是1A的特殊情况。在一般的非齐次线性方程组的求解时，只要用到G逆就可以了，但是任何数学理论都有其局限性，对于另外的目的，单靠AXAA往往并不足以揭露问题的实质，
12、这与我们的初衷相悖，所以需要补加更多的关系。这时候前面的MOOREPENROSE逆就是必要的了。对于MOOREPENROSE逆来说，有如下定理成立定理2设AFG满秩分解（即F和G与矩阵A有相同的秩），则1FAGFGA（广4义逆的求法）证因FGGFAGF，而秩FF秩FR，秩GG秩GR，所以RRRCGGFF,都是满秩的。因而AGF非异。容易验证11FFFGGGX满足方程（1）（4）。由上述证明得知，除R0外，任意NMRCA都有MOOREPENROSE逆存在，这对于我们的问题解决是有很大好处的。不仅如此，随着实际问题和理论研究上的需要，人们还突破（1）（4）这几个方程的局限，补加或提出一些别的关系，
13、建立了更多种类型的广义逆，例如，若人们关心的是谱的性质，即关于矩阵特殊值和特殊向量的那些性质，那么，我们只需要考察方阵即可。可见，与非奇异情形不同，无论如何都只有一种逆矩阵，而且是唯一的1A。在广义逆的意义下，由于不同的目的，我们可有不同类型的逆矩阵。它们与A以各种不同的方式联系着。这种种联系，就形成了对于形形色色的广义逆的研究，就形成了“广义逆矩阵”这样一个内容丰富，应用广泛的新科目。22MP逆矩阵的性质及其证明性质1任何秩为R的NM矩阵A，它的MP广义逆矩阵存在且唯一。证明若R（A）0，则A为NM零矩阵，显然，这个NM零矩阵满足MP广义逆矩阵定义中的所有四个条件。若0AR，对A做满秩的分解
14、AGH，其中G与H分别是数域F上的，并且秩为R的RM和NR矩阵，容易得出GG与HH均是R阶非奇异方阵，且1GGG和1HHH分别是G和H的MP广义逆。令11GGGHHHB，经过计算可以证明，B是满足广义逆矩阵的定义所有四个条件的。所以B是A的MP广义逆矩阵。接下去我们需要证明唯一性不妨设C是A的另一个MP广义逆矩阵，由于B是广义逆矩阵，CCACCCACCACCABACCABACCABACCBAACCABABACACBACABACACABBACABBACABBABBABBBABB所以有上式成立。由此得知，BC，从而MP广义逆的唯一性得证。5性质2对于任意的秩为R的矩阵A，都有以下结论成立1）如果A
15、为可逆矩阵，则有1AA2）AA3）AA4）AA证明根据A的MP广义逆矩阵定义都XAXAAXAXXXAXAAXA4321成立，上述结论的成立可以根据相关定义容易推证。63齐次线性方程组AX0的矩阵变换法求解前面我们对矩阵的相关理论进行了简单的介绍，我们也都知道了矩阵在很多方面都有较为广泛的应用。我们在这儿从齐次线性方程组AX0的求解问题入手，从而加深对于问题实质的理解，了解下矩阵理论在求解方程的独特作用。我们知道线性方程组在很多领域都有用处，与理论研究和生产实践都有很大关联。我们先举个例子来说明矩阵在求解齐次线性方程组的作用。例求齐次线性方程组0542,05224,05243214321421X
16、XXXXXXXXXX的所有解。解我们在这儿令该齐次线性方程组的系数矩阵为A，则接下去我们用矩阵的行变换法进行求解，我们有下面推理该齐次方程组的系数矩阵0000520050121040052005012541252245012A根据线性代数知识，我们知道矩阵A的秩等于2，所以该线性方程组的基础解系有2个自由向量。不妨取32,XX两个向量作为自由向量，所以我们得知它的基础解系为52100,0012121。因为对于该齐次线性方程组而言，它的所有解为,212211RKKKK小结从上述例中，我们可以看出矩阵初等变换法在求解齐次线性方程组时较为简便，形式简单易懂，是一种应用广泛的求解方法。4非齐次线性方程
17、组AXB的矩阵变换法41KRONECKER定理线性方程组有解判别定理设非齐次线性方程组AXB为7,22112222212111212111SNSNSSNNNNBXAXAXABXAXAXABXAXAXA引入向量121111SAAA，222122SAAA，SNNNSAAA21，SBBB21于是线性方程组可以改写成向量方程NNXXX2211。显然，线性方程组有解的充分必要条件为向量可以表成向量组N,21的线性组合。用秩的概念，方程组有解的条件可以叙述如下它的系数矩阵SNSSNNAAAAAAAAAA212222111211与增广矩阵SSNSSNNBBBAAAAAAAAAA21212222111211_
18、有相同的秩。42KRONECKER定理的证明证明先证必要性，设非齐次线性方程组AXB有解，就是说，可以通过向量组N,21线性表出。由此立即推出，向量组N,21与向量组,21N等价，由于两向量组等价的充要条件是两者有相同的秩，所以上述两向量组有相同的秩。这两个向量组分别是矩阵A与_A的列向量组。因此，矩阵A与_A有相同的秩。再证充分性。设矩阵A与_A有相同的秩，就是说，它们的列向量组N,21与,21N有相同的秩，令它们的秩为R，N,21中的极大线性无关组是由R个向量组成，无妨设R,21是它的一个极大线性无关组。显然R,21也是向量组,21N的一个极大线性无关组，因此向量可以通过R,21线性表出。
19、既然可以经R,21线性表出，8当然它可以经N,21线性表出。因此，非齐次方程组AXB有解。43KRONECKER定理的应用KRONECKER定理为我们求解非齐次线性方程组AXB提供了一种方法，用该定理能够迅速地判定一个方程组是否有解。如下面几个例子例1求解非齐次线性方程组3222,2353,132432143214321XXXXXXXXXXXX解对该方程组对应的齐次方程组进行初等行变换，即000004501321045004501321221235131321A所以得到R（A）2对增广矩阵B施行初等行变换，20000104501132110450104501132132212235131132
20、1B所以得到RB3因为BRAR，所以根据KRONECKER定理，该非齐次线性方程组无解。例2设一个非齐次线性方程组有如下形式446,352,16323,052343214314321421XXXXXXXXXXXXXX，求该线性方程组系数矩阵A与增广矩阵B的秩，并求增广矩阵B的一个最高阶非零子式。解先求系数矩阵A的秩，为此对A作初等行变换变成行阶梯型矩阵90000400013401461400040001340146181216079120134014611461510263235023A因为行阶梯型矩阵有3个非零行，所以RA3再求增广矩阵B的秩，为此对B作出等行变换成行阶梯型矩阵0814000
21、040001340146188144000400013401461121114812160791201340146143101461510263235023B因为行阶梯型矩阵有3个非零行，所以RB3。由于RARB3，所以该非齐次线性方程组有解。再求增广矩阵B的一个最高阶非零子式，因为RB3，知B的最高阶非零子式为3阶。B的3阶子式共有403534CC个，要从40个子式中找出一个非零子式，是比较麻烦的。考察B的行阶梯型矩阵，记54321,AAAAAB，则矩阵4210,AAAB的行阶梯型矩阵为000400140161。由上面知R0B3，故0B中必有3阶非零子式。0B的3阶子式有4个，在0B的4个3
22、阶子式中找一个非零子式比在B中找非零子式较方便。今计算0B的前三行构成的子式05021106523502623523。因此这个子式便是B的一个最高阶非零子式。例3求解下列方程组102132,13,0432143214321XXXXXXXXXXXX解对于该线性方程组进行初等行变换，对增广矩阵B进行初等行变换0000021210021101121210014200011112132111311101111B可以看出RARB2，所以根据上述KRONECKER定理，知该方程组有解，其中A是方程组的系数矩阵。接下去我们还能得到2122143421XXXXX，取042XX则有2131XX。所以就能得到方程
23、组的一个解021021。在对应的齐次线性方程组434212XXXXX中，取100142和XX，11则可以得出210131和XX。即得所对应的其次线性方程组的基础解系为1201,001121接下去我们可以得到通解为RCCCCXXXX21214321,02102112010011小结在我们日常学习中，遇到最多的是线性方程组，包括齐次线性和非齐次线性两种，上述的矩阵变换法是一种通法。对于非齐次线性方程组而言，在求解过程中只需对系数矩阵和增广矩阵进行初等行变换和列变换，然后根据KRONECKER定理比较两者的秩，如果相等，则方程组有解；如果不相等，则方程组无解。5非齐次线性方程组的广义逆矩阵法51PE
24、NROSE定理非齐次线性方程组AXB有解的充分必要条件为BBAA，这里A表示矩阵A的MOOREPENROSE广义逆。52广义逆与最小二乘解现在，为了下文的容易阐述，这儿说明一下广义逆表出的最小二乘解。设MNMCBCA,，很多时候，线性方程组AXB是无解的，换句话说，对一切NCX，残差向量RBAX都是非零的，这时，我们需要努力地寻求AXB的某种近似解，即寻求一个X，它能够使残差向量在一定情况下“最接近于”零。最常用的近似解是使该残差向量的欧几里得范数最小，即所谓的最小二乘解。定义若向量NCX，使得221121AXBXABRMINJIIJIMII取最小值，则称X为AXB12的最小二乘解。定理设MN
25、MCBCA,，则BAX3,1为AXB的一个最小二乘解，这里3,1A为A的任意一个1,3逆。53PENROSE定理的应用例求解下列线性方程组2,143214321XXXXXXXX解下面我们用广义逆矩阵法进行求解，对于该方程组的系数矩阵，我们可以得到21,0000111111111111BA1111,11,GFFGA所以有111111118111FFFGGAGA接下去我们可以得到111183BA，BBAA21123。根据PENROSE定理我们就可以知道，这个方程组无解，是矛盾方程组。小结毕竟特殊情况是少数，在日常应用中，我们更多的时候遇到的是非齐次线性方程组无解时的状况，这时候矩阵变换法不再适用，
26、所以我们需要创立新的数学理论以解决这一问题。无解的时候我们需要进行近似计算，以获得最小二乘解，这样的话，就能使误差尽可能地小。广义逆矩阵和最小二乘解是对矩阵理论的进一步补充，让我们在面对新的问题时多了一个有力的数学工具。13146两种解法的比较每一个非齐次线性方程组AXB（0B），由前面的KRONECKER定理知该线性方程组有解的充分必要条件是它的系数矩阵和对应的增广矩阵有相同的秩，这儿的秩可以通过初等行变换或列变换得出，如果它有解，则称之为相容线性方程组反之，则称之为不相容线性方程组或矛盾线性方程组。对于前者，我们主要有两种有效的方法进行求解，即矩阵的初等变换法和广义逆矩阵法，虽然具体形式不
27、太一样，但是实质和最终结果是等价的，有着异曲同工之妙。而对于矛盾线性方程组第一种方法无能为力，但是广义逆矩阵法却有巨大的作用。61相容性线性方程组对于任意一个非齐次线性方程组，如果它有解，则称它为相容性线性方程组。即对于AXB，有RARARRBRXRAMNNM_,611用初等行变换解相容性线性方程组例求解下列非齐次线性方程组12,143214321XXXXXXXX。解由于该非齐次线性方程组是否有解无法直接判断，所以先用矩阵的初等行变换法来判断。它的增广矩阵为20010311011112111111_A。由KRONECKER定理知，该方程组的系数矩阵和对应的增广矩阵的秩相等，所以该线性方程组为相
28、容线性方程组，可以得出上述非齐次线性方程组的通解为100101010023212211KKKKX（其中21,KK为任意常数）612用广义逆矩阵法解相容性线性方程组同样是上面的例子求解非齐次线性方程组12,143214321XXXXXXXX下面我们用广义逆矩阵法进行求解，虽然方法相对繁琐些，但只是为了进行简单的比较，所以15只能这样。解对于这个线性方程组，它的系数矩阵为11211111A很容易就可以看出，它的秩等于2，所以A是行满秩矩阵，通过简单的计算就可以得到它的广义逆矩阵12123312311AAAA由于BBAA11，可以看出AXB为相容性线性方程组。它的通解为432142101120100
29、001102311121CCCCCAAEBAX。由前面的广义逆矩阵和最小二乘解的相关知识可以知道最小范数解BA0的欧几里得范数70，显然这是它的最小二乘解。定理3对于相容性线性方程组AXB，矩阵的初等变换法（行变换或列变换）所求的通解与广义逆矩阵所求的通解是等价的。证明因为0AAAAAAEAN，所以由线性代数相关知识可以知道，矩阵AAEN的列向量是齐次线性方程组AX0的解。另外因为0AAAAEN，由SYLVESTER不等式我们知道NAARAAERN，又因为矩阵AAEN的秩加上矩阵AA的秩大于等于矩阵NE的秩（N）。所以有NAARAAERN。因为RARAAR，所以RNAAERN。这说明矩阵AAE
30、N的列向量与AX0基础解系RN,21等价，从而可以看出矩阵的初等变换法所求的通解与广义逆矩阵求的通解是等价的。62矛盾线性方程组16对于任意一个非齐次线性方程组，如果它无解，则称它为矛盾线性方程组。即对于AXB，有_,ARARRBRXRAMNNM621用初等行变换解矛盾线性方程组在这里，我们仍然采用举例的方法进行说明。例求解下列非齐次线性方程组2,143214321XXXXXXXX解我们先用初等行变换进行求解，对该非齐次线性方程组而言，有系数矩阵A的秩等于1，而它的增广矩阵等于2。根据KRONECKER定理，由于两者不相等，所以该线性方程组为矛盾方程组，而用传统的初等行变换无法求解。622用广
31、义逆矩阵法解矛盾线性方程组同样是上面的例子求解非齐次线性方程组2,143214321XXXXXXXX解下面我们用广义逆矩阵法进行求解，对于该方程组的系数矩阵，我们可以得到21,0000111111111111BA1111,11,GFFGA所以有111111118111FFFGGAGA接下去我们可以得到111183BA，BBAA21123，这样我们就可以知道，这个方程组是矛盾方程组，只能求出其最小二乘解。最小二乘解的通式17为432143214311113111131111341111183CCCCCCCCAAEBAX。其中，1111830为该矛盾线性方程组唯一的最小二乘解，它的范数值是极小的。
32、63小结任何数学理论都有自己的使用范围，都有着自己的局限性，对于我们经常使用矩阵理论也不会例外。对于非齐次线性方程组而言，常规的矩阵初等变换法在有解的时候是有效的，可是到了无解的情况时就无能为力了。所以广义逆矩阵法应允而生，相比较而言，广义逆矩阵法要比初等变换法更深刻，特别是对于矛盾线性方程组AXB，无效的后果根是无法与前者相比。187补充71广义逆矩阵的相关求法广义逆矩阵概念是传统的数学教科书上没有涉及的新内容，广义逆矩阵在很多领域中有着重要的作用，例如在测量学、统计学、经济学及线性规划等领域就有较为广泛的应用。对与广义逆矩阵而言，其基本理论还在不断优化中，以后的应用必将越来越广。为此，我们
33、需要简单补充说明广义逆矩阵的简易求法。广义逆矩阵的计算方法一般有初等变换法和满秩分解法。下面给出具体的行和列的初等变换求广义逆矩阵的方法。设矩阵A是NM矩阵，它的秩等于R且等于M，但同时也小于N（这时候称A为行满秩），对A进行行和列的初等变换总可以将A变为如下分块矩阵21AAA。当它的秩等于R且等于N小于M（这时候称A为列满秩），对A进行行和列的初等变换总可以将A变成如下的分块矩阵21AAA如果有该矩阵的秩等于R且小于M和N中较小的一个（这时候称A为亏秩矩阵）时，对A进行行和列的初等变换总可以将A变成如下的分块形式4321AAAAA其中1A是RR阶满秩矩阵，2A，3A是具有适当阶数的矩阵，并且
34、它们满足21134AAAA，即有下式成立PAQA。这里P是一系列的行初等矩阵的积，Q是一系列的列初等矩阵的积。所以我们可以得到0001AA,而矩阵A就是A的广义逆矩阵。如果我们设矩阵1231PPPPPPNN是对矩阵A进行的一系列的行初等变换；1231QQQQQQNN是对矩阵A进行的一系列的列初等变换。则接下去我们可以得到194321121121AAAAQQQAQPPPPPAQANNNN很显然，EPPPPPPNN1231，EQQQQQQNN1231，这就是把同样的行初等变换施加于E的结果是P，把同样的列出等变换施加于E的结果便是Q。其中，1A是RR阶满秩矩阵，2A，3A是具有适当阶数的矩阵且满足
35、21134AAAA，所以我们有PAQA，仍然和上面一样，P是一系列的行初等矩阵的积，Q是一系列的列初等矩阵的积。当矩阵A为满秩矩阵是有1AA成立的，即它的广义逆矩阵就是普通的逆矩阵。下面举一个例子进行说明例设010201010010100A，求A的广义逆矩阵A解容易求出该矩阵的秩等于21000001000000010001000100Q，010100001P。从而我们可以得出矩阵A的某一个广义逆矩阵为2000000000121000001PAQA在这儿需要指出的是，上述方法对于求长方形亏秩矩阵的广义逆矩阵非常方便，实际计算时，有些矩阵只需要进行行初等变换或列初等变换就可以将其变成满秩矩阵，这使
36、得运算更为简便。72布尔矩阵的广义逆矩阵的计算随着计算机技术的飞速发展，二进制已经被大家普遍接受了，二进制中只有0和1两个元素。布尔矩阵应运而生，布尔矩阵就是一个矩阵中只有0和1两个元素。对于这类矩阵，我们这儿简单说明下计算它们的广义逆矩阵时所需要的知识。首先，设MNMA，如果存在一个矩阵NMMB，使得下式成立ABAA，则称为A是正则的，同时称矩阵B是矩阵A的一个广义逆矩阵。然后，设MNMA，矩阵G是矩阵A的一个广义逆矩阵，如果对于矩阵A的任意广义逆矩阵B，均满足GB，则称矩阵G是矩阵A的最大广义逆矩阵。这儿补充一个定理设MNMA，矩阵A为正则矩阵的充分必要条件是AAAA，这时候，矩阵A是矩阵
37、A的最大广义逆矩阵。证明较为繁琐，这儿略去。73态射我们都知道，在欧几里得空间中矩阵的变换是一种关系变换，矩阵的变换可以使事物之间发生联系。我们在这儿补充一下有关态射的知识。在数学理论上，一个态射是两个数学结构之间保持结构的过程的一种抽象。最常见的这种态射过程的例子是在某种意义上保持结构的函数或映射。在集合论知识中，例如，态射就是函数；在群轮中，它们就是群同态；而在拓扑学上，它们是连续函数；在泛代数的范围内，态射通常就是同态。态射的引申会对我们理解矩阵结构关系有帮助，近世代数中群的知识就让我们对同态加深了印象。对于态射和它们定义于其间的结构（或对象）的抽象的研究就构成了范畴论的一部分。在范畴论
38、中，态射不必是函数，而通常被视为两个对象间的箭头，有时候这两个对象不必是集合。不像映射一个集合的元素到另外一个集合，态射只是用来表示域和陪域间的某种关系。这样的话，态射就比通过矩阵变换联系起来的关系更为广泛和一般了。尽管态射21的本质看起来很抽象，多数人无法正确理解，理解基本都是通过具体范畴的例子。不过这些并不会影响态射的应用。这儿补充态射的一些最基本知识，只是因为它与广义逆矩阵有些联系，能够更为深入了解广义逆矩阵而已，并没有刻意而为。22参考文献1白素英关于非齐次线性方程组AXB两类解法的对比哈尔滨金融高等专科学校学报2010年7月第3期2侯双根广义分块对角矩阵的广义逆矩阵郑州工学院学报19
39、92年6月第L3卷第2期3伊崇信戴洪才一种求布尔矩阵全体广义逆的新算法齐齐哈尔轻工学院学报1990年6月第6卷第2期4周立仁矩阵加权MOOREPENROSE逆的通式青海师范大学学报自然科学版2010年第2期5宋小力AXB型矩阵方程解集的结构曲阜师范大学学报2010年7月第36卷第3期6邵俊倩关于MOOREPENROSE逆的若干性质巢湖学院学报2009年第11卷第6期总第99期7贺永会矩阵方程AIXIBIC在特定条件下的解山东轻工业学院学报2009年11月8郭玲付敏向庆线性方程组AXB的识别反问题及其应用内江师范学院学报第23卷增20089罗成林求广义逆矩阵的方法高师理科学刊2007年5月第27卷第3期10RAMAZANTURKMEN,DURMUSBOZKURT关于柯西托普利茨矩阵和柯西汉克尔矩阵标准形式的界限问题数学系，艺术科学学院，赛尔库克大学2002年第132期633642页11王俊青，张丽珍斜域中块反循环矩阵及其性质数学系天津理工大学天津
