1、本科毕业设计（20届）关于函数与方程问题的研究所在学院专业班级数学与应用数学学生姓名学号指导教师职称完成日期年月I摘要【摘要】关于函数与方程问题的研究主要是针对高中希望杯高一高二数学竞赛试题，通过收集整理，按其不同的题型进行归类，针对各类中的个案进行深入研究和相应的分析，并提炼出针对高中数学试题中关于函数与方程问题的基本解题发方法和数学思想，使学生的思维有序化，有条不紊。在解决相应问题时能抓住问题的基本思想和解题关键，提高解题能力。从整体感知、把握竞赛中有关函数与方程的问题的题目，熟悉题目的特征及涉及涵盖的知识链，针对自己的知识点的薄弱环节进行强化训练，从而提高自己对题目的灵敏度和应用性。在研
2、究中学习，于学习中探索，从探索中发现。【关键词】函数与方程；数学思维；数学方法IIABSTRACT【ABSTRACT】FUNCTIONANDEQUATIONPROBLEMSRESEARCHISMAINFORAHIGHSCHOOLHOPECUPMATHEMATICSCONTESTPAPERS,THROUGHTHECOLLECTION,ARECLASSIFIEDACCORDINGTOTHEIRDIFFERENTKINDSOFQUESTIONS,FORALLTYPESOFINDEPTHCASESTUDIESANDCORRESPONDINGANALYSIS,ANDREFININGOUTOFHIGHSC
3、HOOLMATHEMATICSQUESTIONSONTHEBASICFUNCTIONANDEQUATIONSOLVINGPROBLEMSANDMATHEMATICALIDEAS,SOTHATSTUDENTSTHINKINGORDERLY,METHODICALTHECORRESPONDINGPROBLEMINSOLVINGTHEPROBLEMCANGRASPTHEBASICIDEAANDTHEKEYPROBLEMSOLVING,IMPROVINGPROBLEMSOLVINGABILITYFROMTHEOVERALLPERCEPTION,GRASPTHECOMPETITIONPROBLEMSREL
4、ATEDTOFUNCTIONANDEQUATIONOFTHESUBJECT,FAMILIARWITHTHECHARACTERISTICSANDRELATEDTOPICSCOVEREDINTHEKNOWLEDGECHAIN,KNOWLEDGEPOINTSFORTHEIRINTENSIVETRAININGTHEWEAKLINK,TOINCREASETHEIRSENSITIVITYANDAPPLICABILITYOFTHESUBJECTINTHESTUDYOFLEARNING,INLEARNINGTOEXPLORE,FROMEXPLORATIONDISCOVERY【KEYWORDS】FUNCTION
5、ANDEQUATIONMATHEMATICALTHINKINGMATHEMATICALMETHODIII目录摘要错误未定义书签。ABSTRACT错误未定义书签。目录III1引言错误未定义书签。11问题的提出错误未定义书签。12研究的目的与内容错误未定义书签。121研究的目的错误未定义书签。122研究的内容错误未定义书签。13研究方法错误未定义书签。14课题研究的局限性错误未定义书签。141研究范围的局限性错误未定义书签。142研究的中试题选取和分类的局限性错误未定义书签。2函数与方程问题的基本题型错误未定义书签。21函数与方程根的问题错误未定义书签。211题型概述错误未定义书签。212案例探究
6、错误未定义书签。22抽象函数错误未定义书签。221题型概述错误未定义书签。222案例探究错误未定义书签。23参数问题错误未定义书签。231题型概述错误未定义书签。232案例探究错误未定义书签。24最值问题错误未定义书签。241题型概述错误未定义书签。242案例探究错误未定义书签。3数学思维的运用错误未定义书签。31数学基本思想错误未定义书签。311函数与方程思想错误未定义书签。312数形结合思想错误未定义书签。313分类讨论思想错误未定义书签。32试题中数学思想的体现错误未定义书签。321再现性题组错误未定义书签。322应用题的转换错误未定义书签。4复习备考建议错误未定义书签。41扎实基础错误
7、未定义书签。42初高中知识与学法分析错误未定义书签。421初高中数学的差异错误未定义书签。422高中数学学法的改进错误未定义书签。43复习巩固训练题组错误未定义书签。5小结错误未定义书签。51试题选取小结错误未定义书签。52函数与方程课题小结错误未定义书签。IV参考文献错误未定义书签。致谢错误未定义书签。附录错误未定义书签。11引言11问题的提出函数与方程贯穿整个高中数学学习阶段，既属于基础又是重难点，不仅在历年高考中备受瞩目,其在高中数学竞赛中更被视为考察的焦点，该课题主要针对“希望杯”全国数学邀请赛高一高二试题中有关函数与方程问题展开研究。“希望杯“全国数学邀请赛每年举行一次，为一届。每次
8、举行两试，三月中旬第1试，四月中旬第2试。其宗旨简洁明确,意在鼓励和引导学生学好数学课程中最主要的内容，适当地拓宽学生的视野,提升扩宽知识面启发他们关注数学与其它课程的联系和数学在实际问题中的应用；激励他们去钻研和探究相关的数学问题和数学模型；培养他们科学的思维能力、创新能力和实践能力。赛题中涉及函数与方程的问题比例高一略高于高二，但总体高于其他知识板块，频率之高更是显而易见。但学生在此类问题上的失误和困难是普遍存在的问题，因此对于该类试题的研究和探讨就显得必要而由意义。美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。当解题时遇到一个新问题，往往想用熟悉的题型或者方法去“套”用，这样
9、做仅仅只是满足于把题目解答出来，给出正确答案。但是只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通，方能提出新看法、巧解法和相应的扩展延伸。“希望杯”数学邀请赛试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。关于函数与方程问题的研究在“希望杯”全国数学邀请赛试题中开展时具有相当大的发展和挑战的，针对好的试题方能提出好的问题，好的问题方能有其研究的出路和方向。因此在竞赛试题中研究函数与方程问题是具有实际意义的。12研究的目的与内容121研究的目的针对有关函数与方程的试题展开解答分析，对各类题型有一定的认识了解，熟悉题目的特点和变化风格，通过对数学思想
10、方法的探究加强对于题目的理解和应变能力。话说“万变不离其宗”，能在解题中达到以不变应万变，融会贯通从而达到提高我们分析解决问题的能力，能让自己站在更高的位置看待数学问题，培养大气广阔的数学视角。有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学思维和眼光。122研究的内容研究内容主要是关于函数与方程试题的解答分析以及所应用到的数学思想和方法，针对此类问题给出一定的学习建议和意见。213研究方法个案研究法就是以某一对象进行深入研究的方法。个案研究的对象可以是某个题目，也可以是一类题目或组织机构。本文主要应用该方法，对某个试题进行分析解答，包括它的特点、重难点、数学
11、思想、数学方法等14课题研究的局限性141研究范围的局限性关于函数与方程问题的研究是想当具有挑战性的一个课题，也是高中数学问题中的焦点问题之一。该课题研究只限于“希望杯”全国数学竞赛高一高二试题的研究，在研究的范围和广度上尚存在不足，对于其深层的研究和探索具有一定的局限性。142研究的中试题选取和分类的局限性试题在选取的过程中，主要筛选与函数与方程问题直接相关的试题展开解答和分析，但是对于其再其他类型问题中的应用涉及的较少，譬如函数与方程在立体几何中体现，函数与方程在数列中的体现等。因此课题在试题的选取上具有较大的扩展空间，其全面性和后续延展性尚存在一定的局限性。在函数与方程问题的基本题型的划
12、分方面，鉴于个人对于此类问题掌握和研究的有限性，在分类上面，主要是参考其他一些相关研究展开，且尽量保持其简洁和直观。但是这就在全面性和专业性上具有一些不足。2函数与方程问题的基本题型21函数与方程根的问题211题型概述高中数学中学习中，解决方程的根的问题和函数的零点问题通常有两个途径一是用化归转化的方法，转化为一元一次方程（组）、一元二次方程（组）来解决；二是运用二分法的思想判断零点的存在性，进行近似计算。而在解决这些问题的过程中，联系函数的图象，往往能够将一些抽象的数学问题转化为直观的图形问题，即通过数形结合为解题找到突破口，起到事半功倍的效果。函数是中学数学的核心概念，核心的原因之一就在于
13、函数与其他知识具有广泛的联系性，其渗透和延伸的空间相当大，也是解决数学问题最有效的工具之一，而函数的零点就是其中一个链结点，它从不同的角度，将数与形，函数和方程有机的联系在一起。在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步的数形结合的能力基础之上，得用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，提高函数和方程结合思想的能力。31函数零点的定义我们把函数YFX的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点（THEZEROOFTHEFUNCTION）。2零点存在定理若函数YFX在闭区间A,B上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号不同，即FAF
14、B0，则在区间A,B内，函数YFX至少有一个零点，即相应的方程FX0在区间A,B内至少有一个实数解。3方程的根与函数零点的关系方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点212案例探究十届1试1999高一24T表示不大于T的最大整数，则方程2X24X的根是_解由题意知TT,令T的正地小数部分为T,则有TTT同理2X2422XX1X2222442222XXXXXX02212201XXX综上可得X1解析该题的意图是考察学生对于T的认知和灵活转换,其中TTT这一关系是突破该题的关键,这一知识点通常与求解方程的根相结合,通过等价转化进而找出问题的答案。该类问题是竞赛题中考察的重点之一，其出现频率也相对较
15、高,因此应引起足够的关注和重视，洞察问题的本源，灵活应对举一反三。同类型题目如三届2试（1992高二）19、X表示不超过实数X的最大整数，则方程3X4562X10的解是。十一届1试（2000高一）48THEROOTOFEQUATION33XLOGX35ISINTHEINTERVALOFAA3,4B4,5C5,6D6,7命题意图本题的重点是应用函数零点存在定理解决方程根的问题，考察转化思想的应用零点存在区间的确定解由题意知令F（X）33XLOGX35要求方程的根的问题相当于求函数F（X）的零点，则有F（3）333LOG33592515错误未找到引用源。0F（4）334LOG43533LOG45F
16、（3）F（3）错误未找到引用源。由零点存在定理可知函数F（X）的零点在区间（3，4）即方程33XLOGX35的根的区间为（3，4）。答案A十四届2试（2003高二）23、设函数FXX，其中0。（1）求的取值范围，使函数FX在区间0，上是单调函数；（2）此种单调性能否扩展到整个定义域，上（3）求解不等式2X31X0，T212；（3）求Y的反函数F1X。解（1）由1X20，得1X1，即定义域为1，1，令COSX（0），则Y1SIN1COS6SIN2COS22COS2SIN221COS2422SIN28，（82838），显然Y422SIN28在0，上是增函数，所以当0时，YMIN12，当时，YMAX
17、1，即值域为12，1，又XCOS在0，上是减函数，所以YFX在1，1上也是减函数；（2）由422SIN2812，得SIN2282216，COS40时，5FX2AC；当A0时，FXC5；当A0即可。2）2BA1,则选择适当的C，使得224BCA0即可。2A,B,C为任意实数时，甲有必胜的方法因为222SIN24BBFXAXCAA甲首先令A0,无论乙令B为何数，只需令CB1即可解析本题通过实际问题的应用考察对于一元二次函数性质的理解和运用最终将问题转化为一元二次求值问题,对问题的分析和转化是本题的突破口,因此要求在平时应注重对问题的剖析和转化思想的训练九届1试（1998高二）1324、当MN，若方
18、程MX222M1X4M70至少有一个整数根，则M。解由题意知X2131MM，设P131MMZ，则MP2M2P30，M0（舍）或M223PP，当|P|3时，P2|2P3|，只有P3或P1,即M1或M5十一届1试（2000高一）22函数COSSINCOSYAXBXX有最大值2，最小值1，则实数A_，B_。解由题意可知222COSSINCOSCOSSINCOS1COS2SIN2221COS2SIN2221BSIN222YAXBXXAXBXXXXABAAXBXAAXSIN21,1X22222,12222AABAAB1,22AB解析考查三角函数公式22ASINCOSSINXBXABX简称为合二为一,再应
19、用三角函数的有界性解答,属于三角函数问题的基本题型,其特点是灵活多变,主要体现在三角函数公式的转换和变化上十一届2试（2000高一）13关于X的方程322450XDXDXD的三个实根恰好是一个直角三角形三边的平方，则自然数D的值是_14解设方程的根为1,23,XXX，则有1230XXXXXX321231223311230XXXXXXXXXXXXXX123122331212345XXXDXXXXXXDXXXD由题知条件不妨设123XXX，则有32233245XDDXDXD24最值问题241题型概述函数最值问题时其它求值问题的基础之一，许多求值问题最后总是转化为函数（特别是二次函数）的最值问题。求
20、函数最值得一般方法有配方法，均值不等式法，单调性，导数法，判别式法，有界性，图像法等。242案例探究一届1试1900高二均值不等式法20、若X，Y0，且X2Y1，则X1XY14Y的最小值是。解由题意可知2XY22XY214，XY18，X1XY14Y22221444XYXYXY2211444XYXYXY21124XYXY2111412258。解析该题由题知条件X，Y0，且X2Y1，利用均值不等式2ABAB（A0，B0，当且仅当AB时等号成立）求最值，必须有和为定值或者积为定值。该题为两个式子的乘积，但是其和不是定值，但只需将X1XY14Y展开便可运用均值不等式加以求解。因此该类型题目很多时候需要
21、深入观察，找出解题的突破点。三届1试1992高二20、定义在实数上的函数FX233XX233XX的最小值是解由题意可知15FX223322X223322X，即可以看作是X轴上的点X，0到两点A32，32，B32，32的距离和。因为两点之间直线最短，则有22MIN3333232222FX解析该题利用数形结合求最值，将函数问题与转化为求点间的距离问题，进而直观得出要求的最值。该类问题无论在竞赛题还是在高考题中都属于考查的重要内容之一，而且其灵活多变，要求学生具有良好的应变能力和转化思维。九届2试（1998高二）21、若FXAX2BXC，A，B，CR在区间0，1上恒有|FX|1。（1）对所有这样的F
22、X，求|A|B|C|的最大值；（2）试给出一个这样的FX，使|A|B|C|确实取到上述最大值。解（1）依题设有|F0|C|1，|F1|ABC|1，|F12|4A2BC|1，于是|AB|ABCC|ABC|C|2，|AB|3ABC5C84A2BC|3|ABC|5|C|8|4A2BC|35816，从而，当AB0时，|A|B|AB|，|A|B|C|AB|C|213；当AB0、A0、A2时分A0、A200和A0，F10，可得021020BABAB，故21BA表示区域P内的动点A，B与定点A1，2的连线的斜率，如图，M3，1，N1，0，KAM14，KAN1，故144时，方程可化为2212144KXYKK，
23、为焦点在X轴上的双曲线；YXBAOYXDXY1第18题图22当K4时，方程可化为4XY60或4XY20，为两条相交直线；当00个单位的水，可以清洗一次，也可以把水等分成2份后23清洗两次，说明哪种方案能使水果上残存的农药量较少。解（1）设F01，表示未清洗时水果上残留的农药量。（2）FX满足F01，F112，022时，把水分成2等份清洗，水果上残存的农药量较少；当M22时，两种方案的清洗效果一样；当M0YBOA,BOXXA（）一次函数10YKXBKK为斜率，B为直线与Y轴的交点（）反比例函数推广为是中心，200YKXKYBKXAKOAB的双曲线。（）二次函数图象为抛物线30244222YAXB
24、XCAAXBAACBA顶点坐标为，对称轴BAACBAXBA244222212121212MN,2,FXAXBXCFXAXMNFXAXXXXXXFXAXXXXHXHXH二次函数的几种表达形式一般式顶点式，（，）为顶点是方程的个根）函数经过点（应用“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系，一元二次方程AXBXCXXYAXBXCX212200，时，两根、为二次函数的图象与轴的两个交点，也是二次不等式解集的端点值。AXBXC200求闭区间M，N上的最值。2MAX,MIN2MAX,MIN242MIN,MAXMAX,24BNFFMFFNABMFFNFFMABCBANMFFFMFNAA区间在对称
25、轴左边（）区间在对称轴右边（）区间在对称轴边（）求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。一元二次方程根的分布问题25（）指数函数，401YAAAX（）对数函数，501YXAAALOG（注意底数的限定）YYAXA1011O1X0A1二求函数的定义域的常见类型28LG25XXYX例函数的定义域是函数定义域求法分式中的分母不为零；偶次方根下的数（或式）大于或等于零；指数式的底数大于零且不等于一；对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。反三角函数的定义域函数YARCSINX的定义域是1,1，值域是，函数YARCCOSX的定义域是1,1，值域是0,，函数YARCTGX的定义域是R，值域是，函数YAR
26、CCTGX的定义域是R，值域是0,当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。三函数值域的求法1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例求函数YXX1的值域2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。26例、求函数287YXX，X1，2的值域。3、判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但该类题型有时也可以用其他方法进行化简，不拘泥在判别式上面，如下11222222222BAY型直接用不等式性质KXBXBY型,先化简，再用均值不等式XMXNX1例Y1XXXXMXNCY
27、型通常用判别式XMXNXMXNDY型XN法一用判别式法二用换元法，把分母替换掉XX1（X1）（X1）11例Y（X1）1211X1X1X14、反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例求函数Y5469XX值域。5、数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性例求函数Y11XXEE，2SIN11SINY，2SIN11COSY的值域。6、函数单调性法通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容。例求函数54Y3LOG22XX（2X10）的值域7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简
28、单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例求函数YX1X的值域。8、数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例1求函数2239YXX的值域。例2求函数2251023YXXXX的值域279、不等式法利用基本不等式AB2AB，ABCABC3（A，B，CR），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例331332X32X0X15XX
29、32XXX32X应用公式ABC时，应注意使3者之和变成常数）ABC四判断函数奇偶性的方法1定义域法一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数2、奇偶函数定义法在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算XF，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性FXFX0奇函数FXFX0偶函数FXFX1偶函数1奇函数FXFX五周期函数定义若存在实数T（0T），在定义域内总有FXTFX，则FX为周期函数，T是一个周期。AFXAFX如若，则其周期为2对于关系式FXFXT0,可知函数F（X）的周期为2T推导0220FXFXTFX
30、FXTFXTFXT，22222,222,2222,2|,FXXAXBFAXFAXFBXFBXFXFAXFAXFBXFXFBXTAXBXTBAFTFTBAFXFXBAFXBAAB又如若图象有两条对称轴，即，令则即所以函数以为周期因不知道的大小关系加绝对值六图象变换FXFXY与的图象关于轴对称联想点X,Y,X,Y（）28FXFXX与的图象关于轴对称联想点X,Y,X,Y（）FXFX与的图象关于原点对称联想点X,Y,X,Y（）FXFXYX与的图象关于直线对称1联想点X,Y,Y,X（）FXFAXXA与的图象关于直线对称2联想点X,Y,2AX,Y（）FXFAXA与的图象关于点，对称20联想点X,Y,2AX
31、,0（）注意如下“翻折”变换|X|YFXFXFXFX把轴下方的图像翻到上面把轴右方的图像翻到上面如FXXLOG21，作出及的图象YXYXLOGLOG2211YYLOG2XO1X六抽象函数1抽象函数的思维转化（赋值、结构变换）如（），满足，证明为奇函数。1XRFXFXYFXFYFX（先令再令，）XYFYX000（），满足，证明是偶函数。2XRFXFXYFXFYFX（先令XYTFTTFTTFTFTFTFT）FTFT（）证明单调性32212FXFXXX（代入YX；令X0或1来求出F0或F1；求奇偶性，令YX；求单调性令XYX1）2常见的抽象函数291正比例函数型的抽象函数0FXKXKFXYFXFY（
32、）（）（）（）（）2幂函数型的抽象函数AFXXFXXFXYFXFYFYFY（）（）（）（）；（）3指数函数型的抽象函数XFXFXAFXYFXFYFXYFY（）（）（）（）；（）4对数函数型的抽象函数LO01AFXGXAAFXYFXFY（）（且）（）（）（）；XFFXFYY（）（）（）42初高中知识与学法分析421初高中数学的差异1、学习方法的差异。（1）初高中数学知识面的差别初中数学知识密度较小、相对简单，通过课堂的循序渐进的学习，逐渐理解知识点和解题方法，通过课后的习题以及大量的课内、课外练习、课外指导达到对知识的反反复复的记忆和辨识，直到掌握这些知识点为之。而高中数学的学习随着课程增加，学
33、习任务加大，要兼顾各学科知识，课外题量相对初中减少，当面对知识密度的突然加剧，题型的灵活度提升，就几何来说，我们都接触的是现实生活中三维空间，但初中只学了平面几何，那么就不能对三维空间进行严格的逻辑思维和判断。代数中数的范围只限定在实数中思维，就不能深刻的解决方程根的类型等。高中数学知识的多元化和广泛性，将会使学生全面、细致、深刻、严密的分析和解决问题。所以调整学习数学的方式、提高学生的思维递进性，就相当的重要的关键。（2）模仿与创新的区别。初中学生模仿做题，他们模仿老师思维推理教多，而高中模仿做题、思维学生有，但随着知识的难度大和知识面广泛，学生不能全部模仿，即就是学生全部模仿训练做题，也不
34、能开拓学生自我思维能力，学生的数学成绩也只能是一般程度。现在高考数学考察，旨在考察学生能力，避免学生高分低能，避免定势思维，提倡创新思维和培养学生的创造能力培养。初中学生大量地模仿使学生带来了不利的思维定势，对高中学生带来了保守的、僵化的思想，封闭了学生的丰富反对创造精神。如学生在30解决比较A与2A的大小时要不就错、要不就答不全面。大多数学生不会分类讨论。2、学生自学能力的差异初中学生自学那能力相对较低，一般考试中所用到的解题方法和数学思想，教师都通过详尽的讲解和大量的训练是学生深刻记忆，学生通过熟记结论展开解题，其在自主学习，在自学中探索发现的机会就很少。但高中的知识面广，知识全部通过训练
35、习题类型实现完全记忆是不可能的，通过较少的、较典型的一两道例题讲解去融会贯通同一类型习题。如果缺少自学意识自、不去理解思考，融会贯通学以致用，将无法再解决数学问题时做到游刃有余。另外，科学在不断的发展，考试在不断的改革，考题也随着教材全面的改革不断的深入，数学题型的开发在不断的多样化，例如应用型题、探索型题和开放型题，只有通过自学去深刻理解和创新才能适应现在数学教学的发展。3、定量与变量的差异初中数学中，题目、已知和结论用常数给出的较多，一般地，答案是常数和定量。学生在分析问题时，大多是按定量来分析问题，这样的思维和问题的解决过程，往往是片面地、局限性地解决问题，高中数学将会大量地、广泛地应用
36、代数的可变性去探索问题的普遍性和特殊性。如求解一元二次方程时我们采用对方程AX2BXC0A0的求解，讨论它是否有根和有根时的所有根的情形，使学生很快的掌握了对所有一元二次方程的解法。另外，在学习中还会通过对变量的分析，探索出分析、解决问题的思路和解题所应用的数学思想。422高中数学学法的改进1、知识更加系统函数和方程是高中数学的重点，它在高中数学中是起着提纲的作用，它融汇在整个高中数学知识中，其中蕴含了数学中重要的数学思想方法；如函数与方程思想、数形结合思想等，它不仅是竞赛中考察的要点,也是高考的重点对函数与方程知识的学习应该更加注重整体性和系统性,关注它与各个知识板块的衔接和关联在练习的过程
37、中注重归纳整理,形成一套自己独特的解题思路注重理论知识与实际解题技能的结合,不断提升自己的数学思维能力和洞察力培养宽阔的数学视角2、培养良好的数学兴趣两千多年前孔子说过“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”意思说，做一件事，知道它了解它不如爱好它，爱好它不如乐在其中。“好”和“乐”就是愿意学，喜欢学，这就是兴趣。兴趣是最好的老师，有兴趣才能产生爱好，爱好它就要去实践它，达到乐在其中，有兴趣才会形成学习的主动性和积极性。在数学学习中，把这种从自发的感性的乐趣出发上升为自觉的理性的“认识”过程通过与数学息息相关的实际问题开阔视野,培养应用数学知识解决实际问题的兴趣,在解决问题中获取足够的成就感和
38、满足感,进而发现数学的美妙和神奇313、平时学习中的几个建议1做好数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，与其相关的课外知识。2建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，用来补充和巩固知识体系。能从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便找到正确的解决策略；做到解答完整、推理严密。3记忆函数与方程中体现的数学规律和结论。4在学有余力的情况下,根据自己的学习状况加大自学力度5学会总结归类。如从数学思想分类从解题方法归类从知识应用上分类43复习巩固训练题组1、方程11147X12360XX的正整数解_2、函数2LOG21FXX的单调递增区间是（）A1,
39、2B0,11,C110,22D10,1,23、方程54LOG34LOG53XXXX的解集为_4、已知函数2211XKXFXXX（1）当K2时，求F（X）的值域；（2）若存在实数A，B，C使FAFBFC，试求实数K的取值范围。十六届2试5、关于X的方程22COSSIN0XXA在区间70,6上恰有两个不等实根，求实数A的取值范围。6、XXXY399，则Y的最小值是_7、LETAANDBTHETWOREALROOTSOFTHEQUADRATICEQUATION221340XKXKK,WHEREKISSOMEREALNUMBERSTHELARGESTPOSSIBLEVALUEOF22AB_8、设SIN
40、4XFX，则1232005FFFF（）A21B2C0D2129、设12345,3,FXFXFXFXFXFXFXFX，则下列表述中正确的32是（）A1FX的图像是由FX的图像往右平移5个单位得到B2FX的图像是由FX的图像往右平移3个单位得到C3FX是偶函数D4FX的图像是由FX的图像绕原点旋转180得到10、已知A，B，C为非负数，则,CABFABCABCC的最小值是_11、已知函数223256FXXXXX，则函数FX的最大值和最小值之差是_12、定义在R上的函数YFX有反函数，则函数YFXAB图像与1YFXAB的图像之间的关系是（）A关于直线YXAB对称B关于直线XYAB对称C关于直线YXA
41、B对称D关于直线XYAB对称13、直线YX3和曲线|4XX29Y1的交点的个数是（）（A）0（B）1（C）2（D）314、当02时，函数Y1SIN11COS1的最大值是（）（A）21（B）22（C）233（D）32215、关于的函数YCOS22ACOS4A3，当0，2时恒大于0，则实数A的取值范围是。16、方程X5X10和X5X10的实根分别为和，则等于（）（A）1（B）12（C）12（D）117、函数Y222XX233XX达到最大值时，X的值是（）（A）593（B）953（C）523（D）25318函数223LOG21XFXX的最大值是（）A3B4C5D63319、X，YR时，函数FX，YX
42、Y21XY2的最小值是_。20方程423SIN1043SIN6COS2XXX的解是X345小结51试题选取小结函数与方程问题的研究具有较大的挑战性，不仅因为它在高中数学中的重要地位，鉴于它是高考的重要考点之一，该类问题的恶被关注度相当高，相关的研究已有很多。较之于高考，竞赛题目的侧重点不同，题型的灵活度和范围比较广阔。“希望杯”数学邀请赛的内容贴近课本又高于课本，紧密结合当前中学数学教学实际，竞赛试题新颖有趣，活而不难，巧而不偏、不怪，有启发性和思考性，这样不仅开阔了学生的视野，而且能巩固在学校里所学的知识，同时对一些数学思想和数学方法能有进一步的认识和体会，并能发现自己潜在的能力，提高学生的
43、素质，因此该课题主要针对“希望杯”全国数学邀请赛中有关函数与方程问题展开研究。试题的选取是通过对1991至2010年高一高二“希望杯”数学竞赛试题的整理分析，从中选取具有代表性和研究价值试题，根据论文研究的方向和提纲进行编排，主要根据年份由前往后的顺序加以编排，在对其解答的过程中加以分析。论文主要以题目解答为主线，通过归类和分析，从整体感知、把握有关函数与方程的竞赛试题，熟悉题目的特征及其涉及涵盖的知识链，针对自己的知识点的薄弱环节进行强化训练和复习。试题的选取上是根据个人对历年赛题的整理分析归纳后甄选出来,基本桑能够涵盖赛题中出现的不同类型试题,也能很好地体现“希望杯”全国数学邀请赛试题的命
44、题方向,趋势和特点,能在一定程度上提供相应的备考建议和意见但是其局限性是试题的分类是按照个人对于赛题中有关函数和方程问题的理解开展的,在精确性和洞察性上尚显不足,因为篇幅问题,对于试题的未来延展空间没有给出过多的阐述和诠释52函数与方程课题小结函数与方程是高中种数学知识的重要组成部分，贯穿整个高中数学知识网，具有举足轻重的作用。常渗透到其他各个类型题目中，应用广泛，题型灵活多变，不仅是高考的重要内容，而且对于学生数学基础的铺垫有至关中的作用。函数思想即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解证不等式、解方程以及讨论参数的取值范
45、围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决函数与方程的思想是最重要的一种数学思想，函数，方程与不等式之间的联系和应用，要注重以下几点（1）深刻理解一般函数YFX、YF1X的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换），熟练掌握基本初等函数的性质，这是应用函数思想解题的基础35（2）密切注意三个“二次”的相关问题，三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系。（3）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数。（4）根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似
46、解。（5）函数模型A、了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。B、了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。36参考文献1朱华伟著张景中主编从数学竞赛到竞赛数学北京科学出版社20098第一版2朱华伟著张景中主编数学解题策略北京科学出版社20098第一版3单墫著数学竞赛研究教程上、下册江苏教育出版社20092第三版4沈文选著张景中主编走进教育数学北京科学出版社20098第一版5丁石孙、张祖贵著数学与教育大连理工大学出版社20087第一版126霍华德伊夫斯著欧阳绛译数学史概论哈尔滨工业大学出版社20095第一版7M克莱
