1、高等数学期末试卷一、填空题（每题 2 分，共 30 分）1函数 的定义域是 .142xy解. 。 ),(2若函数 ，则 52)xxf )(xf解. 63 _sinlimxx答案：1正确解法： 10sinlm1i)sin1(limli xxxx4.已知 ，则 _, _。2li2bax ab由所给极限存在知, , 得 , 又由 , 0442a 2341lim2li2 axxbax知 8,2ba5.已知 ，则 _, _。)1(lim0xex ab, 即 , )(li0abx01)(lim0aexx 1,b6函数 的间断点是 。1sin)(xf解：由 是分段函数， 是 的分段点，考虑函数在 处的连续性
2、。)(f0)(xf 0x因为 1(limsinl00xx所以函数 在 处是间断的，)(f又 在 和 都是连续的，故函数 的间断点是 。,),( )(xf0x7. 设 , 则nxxy211ny()!8 ，则 。2)(f _)1(f答案： 或2)1(x14x9函数 的定义域为 。)ln(2yz解：函数 z 的定义域为满足下列不等式的点集。 104141104 222222 yxyxyx的定义域为： 且 z10|),( xy4210已知 ,则 .2,(xyyxf),(f解 令 ， ，则 ，uv,2uv()()fxyxy，)(42),( 2vf 2(,)4f11设 ,则 。 yxy1,0xf1,0y
3、(0,1)f 2000(,)(,11(,)limlimxx xxfff。0 0,),1li liyy yfff y12 设 则 。,cos,sn32txz zd解 i3dxtyt13. .f)(解：由导数与积分互为逆运算得， .)()(xfdfdx14.设 是连续函数，且 ，则 .)(xf tf1 03)(7解：两边对 求导得 ，令 ，得 ，所以 .32xf13x2x123)7(2xf15若 ，则 。1de0kx_k答案： )d(elim20kxbbkkbbx 1eli1 k二、单项选择题（每题 2 分，共 30 分）1函数 （ ）)1,0()(axfA.是奇函数； B. 是偶函数；C.既奇函
4、数又是偶函数； D.是非奇非偶函数。解：利用奇偶函数的定义进行验证。)(1)1()( xfaxaxxf 所以 B 正确。2若函数 ，则 （ ）2)1(xf )(fA. ； B. ； C. ； D. 。2x221x12x解：因为 ，所以)(22 2)1()(xf则 ，故选项 B 正确。)(xf3设 ，则 =（ ） 1)1(xfA x Bx + 1 C x + 2 Dx + 3解 由于 ，得 )(f )(f 1)(f2)(xf将 代入，得 =132正确答案：D4已知 ，其中 , 是常数，则（ ）0)1(lim2baxx ab(A) , (B) 1,ba(C) (D) 解. , 01li)1(li2
5、2 xbabaxxx答案：C,0,5下列函数在指定的变化过程中， （ ）是无穷小量。A. e1x,()； B. sin,()x；C. ln(),()1； D. x10,()解：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以 sinlmx而 A, C, D 三个选项中的极限都不为 0，故选项 B 正确。6下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是（ ）(A) ; (B) ;)(1sinxy )(1ny(C) ； (D)0l 0cosx解. , 故不选(A). 取 , 则 , 故不选(B). 1simsixxx12km012limli1knn取 , 则 , 故不选(D). 答案：C 21n0co
6、linn7设 ，则 在 处（ ）0,si)(xxf )(xf0A连续且可导 B连续但不可导C不连续但可导 D既不连续又不可导解：（B）， ，0lim)(li0xfx 01sinlm)(li0xxfx )(f因此 在 处连续，此极限不存在xxxff xxx 1sinl0sil0)(li)0( 00 从而 不存在，故 不存在f8曲线 在点（1， 0）处的切线是（ ） y3A B 2x2xyC D y解 由导数的定义和它的几何意义可知，13)()1x2)(12x是曲线 在点（1， 0）处的切线斜率，故切线方程是xy3，即)(2y正确答案：A9已知 ，则 =（ ） 41xyyA. B. C. D. 6
7、32x解 直接利用导数的公式计算：, 34)1(xy 23)(xy正确答案：B 10若 ，则 （ ） 。xf)1()(fA B C D2x12x答案：D 先求出 ，再求其导数。)(f112lnyxz的定义域为（ ）A 12B 02yxC 12yxD 02yx解 z 的定义域为 个，选 D。),(2y12.设函数项级数 ，下列结论中正确的是( ).1nxu（A）若函数列 定义在区间 上，则区间 为此级数的收敛区间)II（B）若 为此级数的和函数，则余项 ，(xS )()(xSxrnn0)(limrn（C）若 使 收敛，则 所有 都使 收敛I010)(nxu|01nu（D）若 为此级数的和函数，则
8、 必收敛于)(xS10)(nxu)(0xS解：选（B）.13.设 为常数，则级数 （ ）.0a)cos()1an（ A）绝对收敛 （ B）条件收敛 （ C）发散 （ D）敛散性与 有关a解：因为 ，而 收敛，因此原级数绝对收敛. 故选（ A）.22si)co1() nan 12n14.若级数 在 时发散，在 处收敛，则常数 （ ）.1)(nnx00xa（ A）1 （ B）-1 （ C）2 （ D）2解：由于 收敛，由此知 .当 时，由于 的收敛半径为 1，因1)(nna1a1a1)(nnx此该幂级数在区间 内收敛，特别地，在 内收敛，此与幂级数在 时发散矛盾，因此)1,(a)1,0(a0x.故
9、选（ B）.1a15. 的特解可设为（ ）xey2cos52（A） （B）;*x ;2cos*xAeyx（C） （D）;sincxBAey .inB解：C三、解答题（任选 4 题完成，每题 10 分，共 40 分）1.设函数0sin1)(xabxf问（1） 为何值时， 在 处有极限存在？ba,)(xf（2） 为何值时， 在 处连续？0解：（1）要 在 处有极限存在，即要 成立。)(xf )(lim)(li00xffxx因为 bxx )1sinlmli00所以，当 时，有 成立，即 时，函数在 处有极限存在，又因为函1b)(li)(li00xffxx1b0x数在某点处有极限与在该点处是否有定义无
10、关，所以此时 可以取任意值。a（2）依函数连续的定义知，函数在某点处连续的充要条件是)(lim)(li 000 fffxx于是有 ，即 时函数在 处连续。ab11bx2求方程中 是 的隐函数的导数y（1） ,ex解：方程两边对自变量 求导，视 为中间变量，即y1)e()(xy0yxxye)()(li0fx整理得 yxe（2）设 ，求 ， ；)sin(xydx2解： )1(coy )cos(1yx，xy )()sin(233)cos(1)co(1 yxy3设函数 在0,1 上可导，且 ，对于（ 0 ,1）内所有 x 有 证明在（0,1）内有且只)xf0f ,1)(f有一个数 x 使 .(7.求函
11、数.)( , )1,0( ,1)(010 ,) , , )(. )( , ,) 2 22121xfxfFcRole ccFf 一一一 一一 一一 的单调区间和极值.12)(xy解 函数 的定义域是 ),1(),(221)()(2 xxy2)(2)1(令 ，得驻点 ，0)1(2xy1x02,-2 ),(),1( 0 ),()(xf+ 0 - 0 +)(f极大值 极小值故函数的单调增加区间是 和 ，单调减少区间是 及 ，当 -2 时，极大值)2,(),0()1,2(0,(x；当 0 时，极小值 .4)2(fxf4求下列积分(1) xd13解： )1(23lim13lid1limd1233 bxxx
12、bbb极限不存在，则积分发散.(2) 22ayxdy解 是 D 上的半球面，由 的几何意义知 I=V 半球 =22(,)fx 22dDIaxy 32a(3) ， D 由 的围成。yd1,0yx解 关于 x 轴对称，且 是关于 y 的奇函数，(,)fx由 I 几何意义知， 。 d0Dy5判别级数 的敛散性. 如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛?nnl1)(2解：记 ，则 .)l()(1un nnvu1显见 去掉首项后所得级数 仍是发散的，由比较法知 发散，从而 发散. 又显见1n 1nv1nu2nu是 Leibniz 型级数，它收敛. 即 收敛，从而原级数条件收敛.)l()(1n nl)(26求解微分方程(1) 的所有解.022ydx解 原方程可化为 ， （当 ） ，两边积分得 ，即x2112y cxy21为通解。当 时，即 ，显然满足原方程，所以原方程的全部解为cyx22 2及 。(2) ;2yxy解 当 时，原方程可化为 ，令 ，得 ，原方程化为021xyuxy，解之得 ；21ux culnarcsi当 时，原方程可化为 ，类似地可解得 。综合上述，有0x21xyxy cxulnarcsi。.0ln;arcsicxy(3) ;2si1o解 由公式得 。xxdxd cexceey sincoscos 1siin
