1、1高等数学复习教程第一讲 函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质 函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限 极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续 函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法 （1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与 Taylor 级数法（8）其他（微积分性质
2、，数列与级数的性质）1. （ 等价小量与洛必达 ）612arctnlim)21ln(arcti 3030 xxx2.已知 2030 )(li(6si xffxx ， 求解： 2030 3cosli)il yfxfx 72)0(6)(32163cos1lim2sinlim0 yy xyxxx（ 洛必达 ）3li2lili 0020xxf3. （ 重要极限 ）11)(limx24.已知 a、b 为正常数， xxba30)2(lim求解：令 2ln)ln(l,)2(3xxxtt（ 变量替换 ）2/300)( )l(3)ll(linlimabt abbaxxxx5. )1ln(02coslixx解：令
3、 )ln(cos)1l(,)(2)1ln(2 xttx（ 变量替换 ）/00alimli ettxx6.设 连续， ，求 )(f 0)(,)(ff 1)(lim022xxdtf（ 洛必达与微积分性质 ）7.已知 在 x=0 连续，求 a0,)ln(cos)2xaf解：令 （ 连续性的概念 ）/1/)l(im2x三、补充习题（作业） 1. （ 洛必达 ）3cos1li0xexx2. （ 洛必达或 Taylor）)in(lim0tgx3. （ 洛必达与微积分性质 ）1li20xtxed第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求31.导数与微分 导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则
4、、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理 理解 Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor 定理会用定理证明相关问题3.应用 会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1. 决定，求52arctn)(eyxy由 dxy2. 决定，求si)l3由 1|0x解：两边微分得 x=0 时 ，将 x=0 代入等式得 y=1yxyco3. 决定，则 xyy2)(由 dxdx)2(ln|0B.曲线切法线问题 4.求对数螺线 处切线的直角坐标方程。
5、)2/,/ee（），在 （解： 1|),0(|),(sinco2/2/2/ yyxeyx2/5.f(x)为周期为 5 的连续函数，它在 x=1 可导，在 x=0 的某邻域内满足 f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求 f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。解：需求 ，等式取 x-0 的极限有： f(1)=0)1(,)(,ff或 )6(2)1(8)(413limsini10sin xyff tfftxtxC.导数应用问题 6.已知 ，xexff 1)(2)( 2满 足对 一 切，求 点的性质。)0()0xf若 ),(0yx解：令 ，故为极小值点。0,0100 xefx代
6、入 ，47. ，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。23)1(xy解：定义域 ),1()： 斜： 铅 垂 ；拐 点 及驻 点 200 3xyxy8.求函数 的单调性与极值、渐进线。exarctn2/)1(解： ，10arctn2/2 xyx与驻 点 2)(xyxey与渐 ： D.幂级数展开问题 9. xdtd022sin)si( x nnx nnnxxxdtdt txtxtxdt txtttx0 2)12(62 4732 1417)1(622 si!)!1)sin(i )!()()!1)()sin( !i或： 20202 isi(sinduduut xx10.求 )()1l()(2 nf
7、xf 阶 导 数处 的在解： )213ln 222 nnxox= )(2)1(3543 nnxox !)1(0)(fnnE.不等式的证明 11.设 ，),0( 21)l(2l)(l)2 xx，求 证 （证：1）令 0,1ln)(22gxxg5； 得 证 。单 调 下 降 ， 单 调 下 降单 调 下 降 ，时 0)()(,0)( )(,1 01)ln(2)(,),( xgxgxg2）令 单 调 下 降 ， 得 证 。,1,)ln(hhF.中值定理问题 12.设函数 具有三阶连续导数，且 ，在xf 1)(,0)1(ff，求证：在（-1， 1）上存在一点0)(f 3)(f， 使证： 2!31)0(
8、!)( xxfxfx 其中 ,将 x=1，x=-1 代入有 )(61)0(2)(1021fff两式相减： 6)(21ff 3)()( 2121 f，13. ，求证： eba4ln2abeb证： )()(:fafLgrn令 l2l,l)(2bxf令 222 ln)(0ln1)(,ln)( eett （关键：构造函数）4l22abeb三、补充习题（作业）1. 23)0(,1ln)(2yxxf求62.曲线 012)1,0(2cosinxyteyxt 处 切 线 为在3. ex)l(的 渐 进 线 方 程 为4.证明 x0 时 22)1(lnx证：令 3222 )1(),(),l)() xgxxg 0
9、1(01g，0),1(02,),( gxx第三讲 不定积分与定积分一、理论要求1.不定积分 掌握不定积分的概念、性质（线性、与微分的关系）会求不定积分（基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部）2.定积分 理解定积分的概念与性质理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法会求定积分、广义积分会用定积分求几何问题（长、面、体）会用定积分求物理问题（功、引力、压力）及函数平均值二、题型与解法A.积分计算 1.Cxxdxd2arcsin)2(4)(2. edeexe xxtatsc)1(tan2223.设 ，求fl(df)(解： xedxf1ln)( Cede xxxxx )1ln()()()l(4.
10、1 1212 2l4lim|arctnarctnbdd 7B.积分性质 5. 连续， ,且 ，求 并讨论 在)(xf10)()(dtxfAxf)(lim0)(x)(x的连续性。0x解： xyfxtyf 0)()(,)()0(2/)(lim2)()( 020 Adfxf x6. xx tdfttfd0202)()(2ydC.积分的应用 7.设 在0，1连续，在（0，1）上 ，且 ，xf 0)(xf 23)( xafxf又 与 x=1,y=0 所围面积 S=2。求 ，且 a=?时 S 绕 x 轴旋转体积最小。)(xf )(xf解： 102 423)(23 acdfcaxfad5)(14)( axy
11、Vxf 8.曲线 ，过原点作曲线的切线，求曲线、切线与 x 轴所围图形绕 x 轴旋转的表面y积。解：切线 绕 x 轴旋转的表面积为2/520yds曲线 绕 x 轴旋转的表面积为1y )1(61总表面积为 )5(6三、补充习题（作业）1. Cxxdxcot2sinlcotsinl22. 13653.dxarcsi第四讲 向量代数、多元函数微分与空间解析几何一、理论要求81.向量代数 理解向量的概念（单位向量、方向余弦、模）了解两个向量平行、垂直的条件向量计算的几何意义与坐标表示2.多元函数微分 理解二元函数的几何意义、连续、极限概念，闭域性质理解偏导数、全微分概念能熟练求偏导数、全微分熟练掌握复
12、合函数与隐函数求导法3.多元微分应用 理解多元函数极值的求法，会用 Lagrange 乘数法求极值4.空间解析几何 掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法会求平面、直线方程与点线距离、点面距离二、题型与解法A.求偏导、全微分 1. 有二阶连续偏导， 满足 ，求)(xf )sin(yefzxzezxyx2)(xf解： uuecff 21)(02. yxzxyfxz)(1， 求3. ，求决 定由 0),(),(, Ffzy dxz/B.空间几何问题 4.求 上任意点的切平面与三个坐标轴的截距之和。azyx解： dyx000/5.曲面 在点 处的法线方程。2132z),(C.极值问题 6.
13、设 是由 确定的函数，求),(yx 01821062 zyxy的极值点与极值。),(yxz三、补充习题（作业）1. yxzgyxfz2),(,(求2. f求),(,(3. dzxyyxuz 求,arctn,ln,2第五讲 多元函数的积分9一、理论要求1.重积分 熟悉二、三重积分的计算方法（直角、极、柱、球）Drbaxyrdfdyxyf21)(,),(V rzzzbaxyyxdrfdrzfxyzf)(21),(212,)(21),(sin),),),(会用重积分解决简单几何物理问题（体积、曲面面积、重心、转动惯量） DyxzAyxfz 2),(2.曲线积分 理解两类曲线积分的概念、性质、关系，掌
14、握两类曲线积分的计算方法L ttbaxdrrfr ytxtyxLfdlyxf 22)sin,co()(: (1),)(:),(熟悉 Green 公式，会用平面曲线积分与路径无关的条件3.曲面积分 理解两类曲面积分的概念（质量、通量） 、关系熟悉 Gauss 与 Stokes 公式，会计算两类曲面积分 LSSVDxy yxyxzS dFrdtokesEGau dzyzfzf 旋 度 ）通 量 ， 散 度 ）()(: 1),(),( 2),(: 二、题型与解法A.重积分计算 1. 为平面曲线 绕 z 轴旋转一周与 z=8 的围,)(2dVyxI 02xy域。解： 314)( 20802280 zz
15、yx rdzdI2. 为 与 围域。 （DDda,422 )(2axayxy)16(I103. ，其 他,00,21),(2xyxyxf求 (49/20)Ddf:2B.曲线、曲面积分 4. L xx dyaedybeI )cos()(sin(0,2)0,(OayAL至沿从 解：令 AO至沿从132201 )()()( abdxbdxyabI aDL 5. , 。yxdI24为 半 径 的 圆 周 正 向为 中 心 ，为 以 )1(),(R解：取包含(0,0)的正向 ，sinco:1ryxL 1110LLL6.对空间 x0 内任意光滑有向闭曲面 S，且 在 x0 有连续一阶导数，0)()(2S xzdyexyfdzxf )(xf,求 。1lim0x解： s xdVefxffVF)()(2)11)( 2xxeyeyx第六讲 常微分方程一、理论要求1.一阶方程 熟练掌握可分离变量、齐次、一阶线性、伯努利方程求法2.高阶方程 会求 )(),(),(),(),()( ypyfxpyxfyfyn
