1、19.1 椭 圆典例精析题型一 求椭圆的标准方程【例 1】已知点 P 在 以 坐 标 轴 为 对 称 轴 的 椭 圆 上 ， 点 P 到 两 焦 点 的 距 离 分 别 为 和4 53，过 P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程.253【解析】故所求方程为 1 或 1.x25 3y210 3x210 y25【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时，常用待定系数法，但是当焦点所在坐标轴不确定时，需要考虑两种情形，有时也可设椭圆的统一方程形式：mx 2ny 21(m0，n0 且 mn)；(2)在求椭圆中的 a、b、c 时，经常用到椭圆的定义及解三角形的知识.【变式训练 1】已知椭圆 C1 的
2、中心在原点、焦点在 x 轴上，抛物线 C2 的顶点在原点、焦点在 x 轴上.小明从曲线 C1，C 2 上各取若干个点( 每条曲线上至少取两个点)，并记录其坐标(x，y ).由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆 C1 上，也不在抛物线 C2 上.小明的记录如下：据此，可推断椭圆 C1 的方程为 . 1.x212 y26题型二 椭圆的几何性质的运用【例 2】已知 F1、F 2 是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，F 1PF260.(1)求椭圆离心率的范围； (2)求证：F 1PF2 的面积只与椭圆的短轴长有关.【解析】(1)e 的取值范围是 ，1).(2) 21FPS mnsin 60 b2
3、，12 12 33【点拨】椭圆中F 1PF2 往往称为焦点三角形，求解有关问题时，要注意正、余弦定理，面积公式的使用；求范围时，要特别注意椭圆定义(或性质) 与不等式的联合使用，如 |PF1|PF2|( )|PF1| |PF2|22，|PF 1|ac. 【变式训练 2】已知 P 是椭圆 1 上的一点，Q，R 分别是圆(x4) 2y 2 和圆x225 y29 142(x4) 2y 2 上的点，则|PQ|PR| 的最小值是 .【解析】最小值为 9.14题型三 有关椭圆的综合问题【例 3】(2010 全国新课标)设 F1，F 2 分别是椭圆 E： 1(ab0)的左、右焦点，过 F1 斜率x2a2 y
4、2b2为 1 的直线 l 与 E 相交于 A， B 两点，且 |AF2|，| AB|，| BF2|成等差数列.(1)求 E 的离心率；(2)设点 P(0，1)满足|PA|PB| ，求 E 的方程.(1).(2 )为 1.22 x218 y29【变式训练 3】已知椭圆 1(ab0) 的离心率为 e，两焦点为 F1，F 2，抛物线以 F1 为顶点，x2a2 y2b2F2 为焦点，P 为两曲线的一个交点，若 e，则 e 的值是( )|PF1|PF2|A. B. C. D. 【解析】选 B32 33 22 63题型思 有关椭圆与直线综合问题【例 4】 【2012 高考浙江理 21】如图，椭圆 C： (
5、ab0) 的离心率为 ，其左焦点到点 P(2，1)的2+1xy12距离为 不过原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A，B 两点，且线段 AB 被直线 OP 平分10()求椭圆 C 的方程；() 求 ABP 的面积取最大时直线 l 的方程.3【变式训练 4】 【2012 高考广东理 20】在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C1： 的离心率 e= ，且椭圆 C 上的点到21(0)xyab23Q（0，2）的距离的最大值为 3.（1）求椭圆 C 的方程；（2）在椭圆 C 上，是否存在点 M（m,n ）使得直线 ：mx+ny=1 与圆 O：x 2+y2=1 相交于不同的两点lA、B，且OAB 的
6、面积最大？若存在，求出点 M 的坐标及相对应的OAB 的面积；若不存在，请说明理由总结提高1.椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏.确定椭圆需要三个条件，要确定焦点在哪条坐标轴上(即定位 )，还要确定 a、 b 的值(即定量)，若定位条件不足应分类讨论，或设方程为 mx2ny 21(m0，n0，mn) 求解.2.充分利用定义解题，一方面，会根据定义判定动点的轨迹是椭圆，另一方面，会利用椭圆上的点到两焦点的距离和为常数进行计算推理.3.焦点三角形包含着很多关系，解题时要多从椭圆定义和三角形的几何条件入手，且不可顾此失彼，另外一定要注意椭圆离心率的
7、范围.练习1（2009 全国卷理）已知椭圆2:1xCy的右焦点为 F,右准线为 l，点 Al，线段 F交 C于点B，若 3FA,则 |=( )A. 2 B. 2 C. 3 D. 3 选 A .2（2009 浙江文）已知椭圆 1(0)xyab的左焦点为 F，右顶点为 ，点 B在椭圆上，且BFx轴， 直线 AB交 轴于点 P若 2AB，则椭圆的离心率是（ ） A 32 B 2 C 13 D 12 【答案】D3.（2009 江西卷理）过椭圆21xyab( 0)的左焦点 1F作 x轴的垂线交椭圆于点 P， 2F为右焦点，若 1260FP，则椭圆的离心率为4A 2 B 3 C 12 D 13 【答案】B
8、4.【2012 高考新课标理 4】设 12F是椭圆 的左、右焦点， 为直线 32ax上2:(0)xyEabP一点， 是底角为 30的等腰三角形，则 的离心率为（ ）12PF【答案】C()A()B()C()D5【2012 高考四川理 15】椭圆 的左焦点为 ，直线 与椭圆相交于点 、 ，当2143xyFxmAB的周长最大时， 的面积是_。 【 答案】3FBFA6【2012 高考江西理 13】椭圆 的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别是)0(2bayxF1，F 2。若 ， ， 成等比数列，则此椭圆的离心率为_.【答案】1A2FB1 5【例 4】 【解析】()： 2+13xy()易得直线 OP
9、 的方程：y x，设 A(xA，y A)，B(x B，y B)，R(x 0，y 0)其中 y0 x012 2 0+13343442AABABBBxkxyyy设直线 AB 的方程为 l：y (m0)，入椭圆： 显然32x222+13330xmyx - m 且 m0由上又有： m， 222(3)4(3)(1)0m12ABxABy23|AB| | | 1ABkxABk()4BABxxABk243点 P(2，1) 到直线 l 的距离表示为： 312ABABdkS ABP d|AB| |m2| ，当|m2| ，即 m3 或 m0(舍去)时，(S ABP)max 122432412此时直线 l 的方程 y
10、 3x5【变式训练 4】 【解析】 （1）设2cab由23ceaa，所以2213bca设 (,)Pxy是椭圆 C上任意一点，则21xy，所以222()yx22222|()3()16Qaa当 1b时，当 y时， |P有最大值 6，可得 3a，所以 ,bc当 时，226b不合题意故椭圆 C的方程为：213xy（2） AOB中， ，1sin22AOBSAOB当且仅当 90时， 有最大值 ，时，点 到直线 的距离为 2d21dmnn又2 2313,m，此时点62(,)M。69.2 双曲线典例精析题型一 双曲线的定义与标准方程【例 1】已知动圆 E 与圆 A：(x4) 2y 22 外切，与圆 B：( x
11、4) 2y 22 内切，求动圆圆心 E 的轨迹方程.【解析】 1( x ).x22 y214 2【点拨】利用两圆内、外切圆心距与两圆半径的关系找出 E 点满足的几何条件，结合双曲线定义求解，要特别注意轨迹是否为双曲线的两支.【变式训练 1】P 为双曲线 1 的右支上一点，M， N 分别是圆(x 5) 2y 24 和x29 y216(x5) 2y 21 上的点，则|PM| |PN |的最大值为( )A.6 B.7 C.8 D.9 【解析】选 D.题型二 双曲线几何性质的运用【例 2】双曲线 C： 1(a0，b0)的右顶点为 A，x 轴上有一点 Q(2a,0)，若 C 上存在一点x2a2 y2b2
12、P，使 QA0，求此双曲线离心率的取值范围 .【解析 】(1， ).62【点拨】根据双曲线上的点的范围或者焦半径的最小值建立不等式，是求离心率的取值范围的常用方法.【变式训练 2】设离心率为 e 的双曲线 C： 1( a0，b0)的右焦点为 F，直线 l 过焦点 F，x2a2 y2b2且斜率为 k，则直线 l 与双曲线 C 的左、右两支都相交的充要条件是 ( )A.k2e 21 B.k2e 21C.e2k 21 D.e2k 21【解析】 ，故选 C.题型三 有关双曲线的综合问题【例 3】(2010 广东)已知双曲线 y 21 的左、右顶点分别为 A1、A 2，点 P(x1，y 1)，Q(x 1
13、，y 1)是x22双曲线上不同的两个动点.(1)求直线 A1P 与 A2Q 交点的轨迹 E 的方程；(2) 若过点 H(0，h)(h1)的两条直线 l1 和 l2 与轨迹 E 都只有一个交点，且 l1l 2，求 h 的值.【解析】(1) 轨迹 E 的方程为 y 21，x 0且 x .(2)符合条件的 h 的值为 或 .x22 2 3 27【变式训练 3】双曲线 1(a0，b0) 的左、右焦点分别为 F1，F 2，离心率为 e，过 F2 的直线与x2a2 y2b2双曲线的右支交于 A，B 两点，若F 1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，则 e2 等于( )A.12 B.32 C.42
14、D.52 【解析】故选 D2 2 2 2总结提高1.要与椭圆类比来理解、掌握双曲线的定义、标准方程和几何性质，但应特别注意不同点，如a，b，c 的关系、渐近线等.2.要深刻理解双曲线的定义，注意其中的隐含条件.当|PF 1|PF 2|2a|F 1F2|时，P 的轨迹 是 双 曲 线 ；当 |PF1| |PF2| 2a |F1F2|时 ， P 的 轨 迹 是 以 F1 或 F2 为 端 点 的 射 线 ； 当|PF1| |PF2| 2a| F1F2|时，P 无轨迹.3.双曲线是具有渐近线的曲线，画双曲线草图时，一般先画出渐近线，要掌握以下两个问题：(1)已知双曲线方程，求它的渐近线；(2)求已知
15、渐近线的双曲线的方程.如已知双曲线渐近线 y x，可将双曲线方程设为 (0)，ba x2a2 y2b2再利用其他条件确定 的值，求法的实质是待定系数法.练习1、 【2012 高考山东理 10】已知椭圆 的离心学率为 .双曲线 的渐2:1(0)xyCab3221xy近线与椭圆 有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为 16，则椭圆 的方程为C C（A） （B） （C） （D）218xy216xy2164xy2105xy【答案】D2直线 ykx2 与双曲线 x2y 26 的右支交于不同两点，则 k 的取值范围是A( ， ) B(0， )153 153 153C( ，0) D( ， 1)153
16、 1533.【2012 高考湖北理 14】如图，双曲线2 ,0)xyab的两顶点为 1A， 2，虚轴两端点为 1B， 2，两焦点为 1F， 2. 若以 12A为直径的圆内切于菱形 12FB，切点分别为 ,BCD. 则（）双曲线的离心率 e ；（）菱形 的面积 1S与矩形 的面积 2S的比值 12 8.【答案】 ;215e25S【例 3】由题意知|x 1| ，A 1( ，0)，A 2( ，0) ，则有直线 A1P 的方程为 y (x )，直线 A2Q 的方程为 y (x ).方法2 2 2y1x1 2 2 y1x1 2 2一：联立解得交点坐标为 x ，y ，即 x1 ，y 1 ，则 x0， |x
17、| .2x1 2y1x1 2x 2yx 2而点 P(x1，y 1)在双曲线 y 21 上，所以 y 1.x22 x212 21将代入上式，整理得所求轨迹 E 的方程为 y 21，x0 且 x .x22 2方法二：设点 M(x，y)是 A1P 与 A2Q 的交点，得 y2 (x22). y21x21 2又点 P(x1，y 1)在双曲线上，因此 y 1，即 y 1.x212 21 21 x212代入式整理得 y21.x22因为点 P，Q 是双曲线上的不同两点，所以它们与点 A1，A 2 均不重合.故点 A1 和 A2 均不在轨迹 E 上.过点(0,1)及 A2( ，0)的直线 l 的方程为2x y
18、 0.2 2解方程组 12,0yx得 x ，y0.所以直线 l 与双曲线只有唯一交点 A2.2故轨迹 E 不过点(0,1). 同理轨迹 E 也不过点(0，1).综上分析，轨迹 E 的方程为 y 21，x0 且 x .x22 2(2)设过点 H(0，h)的直线为 ykxh(h1)，联立 y 21 得(1 2k 2)x24khx 2h 220.x22令 16k 2h24(1 2k2)(2h22)0，得 h212k 20，解得 k1 ，k 2 .由于 l1l 2，则 k1k2 1，故 h .h2 12 h2 12 h2 12 3过点 A1，A 2 分别引直线 l1，l 2 通过 y 轴上的点 H(0
19、，h)，且使 l1l 2，因此 A1HA 2H，由 ( )1，得 h .h2 h2 2此时，l 1，l 2 的方程分别为 yx 与 yx ，2 2它们与轨迹 E 分别仅有一个交点( ， )与( ， ).23 223 23 223所以，符合条件的 h 的值为 或 .3 2【变式训练 3】据题意设|AF 1|x，则| AB|x ，| BF1| x.2由双曲线定义有|AF 1|AF 2|2a，|BF 1|BF 2|2a(| AF1| |BF1|)(|AF 2|BF 2|)( 1) xx4a，即 x2 a| AF1|.2 29故在 RtAF1F2 中可求得|AF 2| .|F1F2|2 |AF1|2
20、4c2 8a2又由定义可得|AF 2|AF 1|2a2 a2a，即 2 2a，两边平方整理得 c2a 2(52 ) e 252 ，.2 4c2 8a2 2 2c2a2 29.3 抛物线典例精析题型一 抛物线定义的运用【例 1】根据下列条件，求抛物线的标准方程.(1)抛物线过点 P(2，4)；(2)抛物线焦点 F 在 x 轴上，直线 y3 与抛物线交于点 A，| AF|5.【解析】(1)y 28x 或 x2y.(2) 方程为 y22x 或 y218 x.【变式训练 1】已知 P 是抛物线 y22x 上的一点，另一点 A(a,0) (a0) 满足| PA|d，试求 d 的最小值.【解析】d min
21、 .2a 1题型二 直线与抛物线位置讨论【例 2】(2010 湖北)已知一条曲线 C 在 y 轴右侧，C 上每一点到点 F(1,0)的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1.(1)求曲线 C 的方程；(2)是否存在正数 m，对 于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A，B 的任一直线，都有 FBA0？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由 .【解析】(1)y 24x( x0).(2)32 m 32 .2 2由此可知，存在正数 m，对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A，B 的任一直线，都有 FA B 0，且 m 的取值范围是(3 2 ，32 ).2 2【变式训练
22、2】已知抛物线 y24x 的一条弦 AB，A( x1，y 1)，B( x2，y 2)，AB 所在直线与 y 轴的交点坐标为(0,2)，则 .【解析】 . 1y1 1y2 12题型三 有关抛物线的综合问题【例 3】已知抛物线 C：y 2x 2，直线 ykx2 交 C 于 A，B 两点，M 是线段AB 的中点，过 M 作 x 轴的垂线交 C 于点 N.(1)求证：抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行； 10(2)是否存在实数 k 使 NA B0？若存在，求 k 的值；若不存在，说明理由.【解析】【点拨】直线与抛 物线的位置关系，一般要用到根与系数的关系；有关抛物线的弦长问题，要注意弦是否过
23、焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |x 1x 2p，若不过焦点，则必须使用弦长公式.【变式训练 3】已知 P 是抛物线 y22x 上的一个动点，过点 P 作圆( x3) 2y 21 的切线，切点分别为 M、 N，则|MN |的最小值是 .【解析】 .455总结提高1.在抛物线定义中，焦点 F 不在准线 l 上，这是一个重要的隐含条件，若 F 在 l 上，则抛物线退化为一条直线.2.掌握抛物线本身固有的一些性质：(1)顶点、焦点在对称轴上； (2)准线垂直于对称轴；(3)焦点到准线的距离为 p；(4) 过焦点垂直于对称轴的弦( 通径)长为 2p.3.抛物线的标准方程有四种形式，要掌握
24、抛物线的方程与图形的对应关系.求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线的类型，可采用待定系数法.4.抛物线的几何性质，只要与椭圆、双曲线加以对照，很容易把握.但由于抛物线的离心率为 1，所以抛物线的焦点有很多重要性质，而且应用广泛，例如：已知过抛物线 y22px( p0)的焦点的直线交抛物线于A、B 两点，设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则有下列性质：|AB| x 1x 2p 或| AB| ( 为 AB 的倾斜角) ，2psin2y1y2p 2，x 1x2 等.p24练习1.【2012 高考全国卷理 8】已知 F1、F 2 为双曲线 C：x-y=2 的左、右焦点，点 P 在 C 上，|PF 1|=|2PF2|，则 cosF 1PF2=(A) （B） (C) (D) 【答案】C435452.【2012 高考安徽理 9】过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于 两点，点 是原点，若2yxF,ABO，则 的面积为（ ）3AFO【答案】C()2()B2()C32()D2【例 3】证明：如图，设 A(x1,2x )，B(x 2,2x )，把 ykx2 代入 y2x 2，得 2x2kx20， 21 2
