1、1高中必修一一些重点函数值域求法十一种 .2复合函数 .9一、复合函数的概念 .9二、求复合函数的定义域： .9复合函数单调性相关定理 .10函数奇偶性的判定方法 .10指数函数： .12幂函数的图像与性质 .152函数值域求法十一种1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例 1. 求函数 x1y的值域。解： 0显然函数的值域是： ),0(),(例 2. 求函数 x3y的值域。解： 0,x故函数的值域是： ,2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例 3. 求函数 2,1x,52y的值域。解：将函数配方得： 4)( ,1x由二次函数的性质可知：当 x=1 时，
2、 ymin，当 1x时， 8ymax故函数的值域是：4，83. 判别式法例 4. 求函数 2x1y的值域。解：原函数化为关于 x 的一元二次方程0)(x)(2（1）当 时， R1y4解得： 23（2）当 y=1 时， 0x，而 23,故函数的值域为 23,1例 5. 求函数 )x(y的值域。解：两边平方整理得： 0y)1(22（1） Rx 08)1(42解得： y但此时的函数的定义域由 0)x2(，得 2x由 0，仅保证关于 x 的方程： 0y)1(2在实数集 R 有实根，而不能确保其实根在区间0，2上，即不能确保方程（1）有实根，由 求出的范围可能比 y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域
3、为 3,1。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。3 2x00)(y1,min代入方程（1）解得：2,x4即当 21时，原函数的值域为： 1,0注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。4. 反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例 6. 求函数 6x543值域。解：由原函数式可得： 3y56则其反函数为： x4，其定义域为： 53x故所求函数的值域为：5,5. 函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。例 7. 求函数 1eyx的值域。解：由原
4、函数式可得： yx 0ex 1y解得： 故所求函数的值域为 )1,(例 8. 求函数 3xsincoy的值域。解：由原函数式可得： y3xcosi，可化为：)(i12即 1yxsn2 R ,)(i即 1y32解得： 4故函数的值域为 2,46. 函数单调性法例 9. 求函数 )10x2(log2y35x的值域。解：令 ,1则 2,在2 ， 10上都是增函数所以 在2，10上是增函数当 x=2 时， 812logy3min当 x=10 时， 95ax故所求函数的值域为： ,81例 10. 求函数 xy的值域。解：原函数可化为： 12令 1,x21，显然 2y,在 ,上为无上界的增函数所以 y，
5、在 ,上也为无上界的增函数所以当 x=1 时， 21有最小值 ，原函数有最大值2显然 0，故原函数的值域为 ,0(7. 换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例 11. 求函数 1xy的值域。解：令 t1x， )0(则 t2 43)2t(又 0t，由二次函数的性质可知当 时， 1ymin当 时， 故函数的值域为 ),例 12. 求函数 2)1x(2xy的值域。解：因 0)1(即 2故可令 ,cos 1cosiny21)4sin(250,21)4sin(205故所求函数的值
6、域为 21,0例 13. 求函数 xy243的值域。解：原函数可变形为： 22x1可令 tgx，则有2cos,sinx14cosin2y当 8k时，ymax当 2时， 41in而此时 tan有意义。故所求函数的值域为 ,例 14. 求函数 )1x)(cos(siny， 2,的值域。解： 1xicosin令 t，则)t(2csi2)1t(2)1t(y由 4/xsincoxsin且 ,可得： 2t当 t时，3ymax，当 2t时， 243y故所求函数的值域为 ,24。例 15. 求函数 x5y的值域。解：由 0x52，可得 |故可令 ,cos4)sin(10i4y 05当 4/时， 104ymax
7、当 时， in故所求函数的值域为： ,568. 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例 16. 求函数 22)8x()(y的值域。解：原函数可化简得： |8x|2|y上式可以看成数轴上点 P（x）到定点 A（2） ， )(B间的距离之和。由上图可知，当点 P 在线段 AB 上时， 10|A|8x|y当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时， |B2故所求函数的值域为： ,10例 17. 求函数 5x43x6y22的值域。解：原函数可变形为： 2)10()()0()3x(上式可看成
8、 x 轴上的点 ,P到两定点 ),(B,3A的距离之和，由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时， 43)12(3|ymin ，故所求函数的值域为 ,43例 18. 求函数 5x413x6y22的值域。解：将函数变形为： 222)10()()0()( 上式可看成定点 A（3，2）到点 P（x，0）的距离与定点 ,B到点 )0,x(P的距离之差。即： |BP|由图可知：（1）当点 P 在 x 轴上且不是直线 AB 与 x 轴的交点时，如点 ，则构成 ABP，根据三角形两边之差小于第三边，有 26)1()23(| 即： 26y（2）当点 P 恰好为直线 AB 与 x 轴的交点时，有 26|AB|
9、P|综上所述，可知函数的值域为： 26,(注：由例 17，18 可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使 A、B 两点在 x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要使 A，B 两点在 x 轴的同侧。如：例 17 的 A，B 两点坐标分别为：（3，2） ， )1,2(，在 x 轴的同侧；例 18 的 A，B 两点坐标分别为（3，2） ，)1,2(，在 x 轴的同侧。9. 不等式法利用基本不等式 abc3a,b2a)R,(，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求7积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例 19. 求函数4)xcos1()xsin1(iy22的
10、值域。解：原函数变形为： 52xcottan3se1i)cox(in22222当且仅当 即当 4k时 )z(，等号成立故原函数的值域为： ,5例 20. 求函数 x2siny的值域。解： coxsi4n227643/)xsin2xsi(i8(i12当且仅当 xsin2xsin2，即当 32si时，等号成立。由 764y2可得： 98y3故原函数的值域为： ,10. 一一映射法原理：因为)0c(dxbay在定义域上 x 与 y 是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。例 21. 求函数 123的值域。解：定义域为 21x|或由 1x23y得 3y2故或 21x解得
11、 2y3或故函数的值域为,3,11. 多种方法综合运用8例 22. 求函数 3x2y的值域。解：令 )0t(t，则 1t2（1）当 t时， t1t2，当且仅当 t=1，即 1x时取等号，所以 21y0（2）当 t=0 时， y=0。综上所述，函数的值域为： 2,0注：先换元，后用不等式法例 23. 求函数 423x1y的值域。解： 42x1令 2tanx，则22cosxsi1 1sin2sin21coy674si当1n时， 1ymax当 si时， 2in此时 2ta都存在，故函数的值域为 167,2注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用 sin的有界性。总之，在具体求某个函数的值域时，首先
12、要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。复合函数一、复合函数的概念如果 y 是 u 的函数，而 u 是 x 的函数，即 y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么 y 关于 x 的函数 y = f g ( x ) 叫做函数 f 与 g 的复合函数，u 叫做中间变量。注意：复合函数并不是一类新的函数，它只是反映某些函数在结构方面的某种特点，因此，根据复合函数结构，将它折成几个简单的函数时，应从外到里一层一层地拆，注意不要漏层。另外，在研究有关复合函数的问题时，要注意复合函数的存在条件，即当且仅当
13、 g ( x )的值域与 f ( u )的定义域的交集非空时，它们的复合函数才有意义，否则这样的复合函数不存在。例：f ( x + 1 ) = (x + 1) 可以拆成 y = f ( u ) = u2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即可以看成 f ( u ) = u2 与 g ( x ) = x + 1 2两个函数复合而成。9二、求复合函数的定义域：（1）若 f(x)的定义域为 a x b,则 f g ( x ) 中的 a g ( x ) b ，从中解得 x 的范围，即为 f g ( x )的定义域。 例 1、y = f ( x ) 的定义域为 0 ， 1
14、 ，求 f ( 2x + 1 )的定义域。答案： -1/2 ，0 例 2、已知 f ( x )的定义域为（0，1） ，求 f ( x 2)的定义域。答案： -1 ，1（2）若 f g ( x ) 的定义域为（m , n）则由 m x n 确定出 g ( x )的范围即为 f ( x )的定义域。例 3、已知函数 f ( 2x + 1 )的定义域为（0，1） ，求 f ( x ) 的定义域。答案： 1 ，3 （3）由 f g ( x ) 的定义域，求得 f ( x )的定义域后，再求 f h ( x ) 的定义域。例 4、已知 f ( x + 1 )的定义域为-2 ，3,求 f ( 2x 2 2
15、 ) 的定义域。答案：-3/2 ，- 33/2 ，3三、求复合函数的解析式。1、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。例 1 设 是一次函数，且 ，求)(xf 34)(xf)(xf解：设 ，则ba0baxbxfxf 2)()(342ba31a 或 2)(1)( xfxf 或 2、配凑法：已知复合函数 的表达式，求 的解析式， 的表达式容易配成 的运算形式时，g()f()fgx()gx常用配凑法。但要注意所求函数 的定义域不是原复合函数的定义域，而是 的值域。 ()fx ()例 2 已知 ，求 的解析式21)(xf0()f解： ， 1x2x)(2f)(x3、换元法：已知复合函数
16、的表达式时，还可以用换元法求 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元fg()fx的定义域的变化。例 3 已知 ，求xxf2)1()1(f解：令 ，则 ， tt2txxf)(,1)(212ttt101)(2xf)(x22)0(复合函数单调性相关定理1、引理 1 已知函数 y=fg(x).若 u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c，d)，又函数 y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数 y=fg(x) 在区间(a,b) 上是增函数证 明 在区间(a,b)内任取两个数 x1,x2，使 ax 1x 2b.因为 u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以 g(x1)g(x
17、2),记 u1=g(x1),u2=g(x2)即 u1u 2,且u1,u2(c,d).因为函数 y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以 f(u1)f(u 2),即 fg(x 1)ff(x 2) ，故函数 y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数.2、引理 2 已知函数 y=fg(x).若 u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c，d)，又函数 y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数 y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数.证明 在区间(a,b)内任取两个数 x1,x2，使 ax 1x 2b.因为函数 u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以 g(x1)g(
18、x 2),记 u1=g(x1),u2=g(x2)即 u1u 2,且u1,u2(c,d).因为函数 y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以 f(u1)f(u 2),即 fg(x 1)ff(x 2) ，故函数 y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数.3、总结 同增异减函数奇偶性的判定方法1定义域判定法例 1 判定 的奇偶性 （非奇非偶）()12fxxA2定义判定法 f(x)与 f（-x）关系例 2 判断 的奇偶性 （偶）()a3等价形式判定法例 3 判定 的奇偶性 （奇）21()xf评注：常用等价变形形式有：若 或 ，则 为奇函数；若 或()0fx()1fx()fx()0fxf，则 为偶函数（其中 ） ()1fx()fx()f4性质判定法例 4 若 ， 是奇函数， 是偶函数，试判定 的奇偶性0a()fa，()gxR()()xfgxA评注：在两个函数（常函数除外）的公共定义域关于原点对称的前提下：两个偶函数的和、差、积都是偶函数；两个奇函数的和、差是奇函数，积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数
