1、 函数单调性引入对于二次函数 ，我们可以这样描述“在区间（0， ）上，随着 的增大，相应的 也()=2 + ()随着增大” ；在区间（0， ）上，任取两个 ， ，得到 ， ，当 时，有+ 1 2 (1)=21 (2)=22 1(2)那么就说函数在区间 D 上是减函数（ decreasing function） .【例 1】下列四个函数中，在(0，) 上为增函数的是( )Af(x)3x Bf(x)x 23x Cf(x) Df(x)|x|1x 1【解析】选 C 当 x0 时，f(x) 3x 为减函数；当 x 时，f(x) x 23x 为减函数，当 x(0，32)时，f( x)x 23x 为增函数；
2、当 x(0，)时， f(x) 为增函数；当 x(0，) 时，f (x)(32， ) 1x 1| x|为减函数故选 C.【例 2】判断函数 g(x) 在(1 ，)上的单调性 2xx 1【解】任取 x1，x 2(1，)，且 x10，因此 g(x1)g(x 2)0)【变式 2】讨论 的单调性()=21(1f (3)( )(3)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量 ”改为“存在两个自变量”( )(4)函数 y 的单调递减区间是(，0) (0，)( )1x(5)函数 yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是 1，)( )4(人教 A 版教材习题改编)函数 yx 22x(x2,4)
3、的增区间为 _5若函数 y(2 k1)xb 在(，) 上是减函数，则 k 的取值范围是_二、函数最值1、函数最值定义一般地，设函数 的定义域为，如果存在实数 M 满足：=()（1）对于任意的 ，都有 ()（2 ）存在 ，使得0 (0)=那么，我么称 M 是函数 的最大值（maximum value）=()请你模仿函数最大值的定义，给出函数 的最小值（ minimum value）的定义。=()【例 9】函数 f(x)Error!的最大值为_【解析】当 x1 时，函数 f(x) 为减函数，所以 f(x)在 x1 处取得最大值，为 f(1)1；当 x1 时，1x易知函数 f(x)x 22 在 x
4、0 处取得最大值，为 f(0)2. 故函数 f(x)的最大值为 2.【例 10】函数 在区间 （ ）上的最大值是 1，最小值是 ，则 ()=11 , 1 13 +=【变式 4】函数 的最大值为 ()= 1,12+2,0，则 f(x)在a，b 上是单调递增函数，如果 f (5)；y 的单调递减区间不是(，0)1x 1x(0， ) ，而是 (，0) 和(0 ，)，注意写法2函数 f(x)|x 2|x 的单调减区间是( )A1,2 B1,0C0,2 D2 ，)【解析】选 A 由于 f(x)|x2|x Error!结合图象可知函数的单调减区间是 1,23(2015黑龙江牡丹江月考) 设函数 f(x)定
5、义在实数集上，它的图象关于直线 x1 对称，且当 x1时，f (x)3 x1，则( )Af f ，即 f f f .(32) (1 12) (1 12) (12) 131223 (13) (12) (23) (13) (32) (23)4 定义新运算：当 ab 时，aba；当 a0. x 1x 21，即|x|1 时，f(x)0，代入得 f(1)f (x1)f (x1)0，故 f(1)0.(2)证明：任取 x1，x 2(0 ，) ，且 x1x2，则 1，由于当 x1 时，f(x )0 时，f (x)x2，则 f(x1)f(x 2)f(x 1x 2x 2)f (x2)f (x1x 2)f(x 2)
6、f (x2)f(x 1x 2)又当 x0 时，f(x )0，f(x 1x 2)0 时，恒有 f(x)1.(1)求证：f(x) 在 R 上是增函数；(2)若 f(3)4，解不等式 f(a2a5)0，当 x0 时，f (x)1，f(x 2x 1)1. f(x2)f (x2x 1)x 1f(x 2x 1)f (x1)1，f(x 2)f(x 1)f(x 2x 1)10f(x 1)f(x2)，f(x)在 R 上为增函数(2)m，nR，不妨设 mn1，f(11) f(1)f(1)1f(2)2f (1)1，f(3)4f(2 1)4f(2)f(1)143f (1)24，f(1)2，f( a2a5)2f (1)，f(x)在 R 上为增函数，a 2a513a2，即 a (3,2)
