1、 1高一数学第四讲 函数的奇偶性一、知识要点：1、函数奇偶性定义：如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(x)=f(x) ，则称 f(x)为奇函数；如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(x)=f(x) ，则称 f(x)为偶函数。如果函数 f(x)不具有上述性质，则 f(x)既不是奇函数也不是偶函数如果函数同时具有上述两条性质，则 f(x)既是奇函数，又是偶函数。2、函数奇偶性的判定方法：定义法、图像法（1 ）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：首先确定函数的定义域是否关于原点对称；确定 f(x)与 f(x)的关系；作出相应结论：若 f(x) = f(x) 或 f(x)f
2、(x) = 0，则 f(x)是偶函数；若 f(x) =f(x) 或 f(x)f (x) = 0，则 f(x)是奇函数。函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称。(2) 利用图像判断函数奇偶性的方法：图像关于原点对称的函数为奇函数，图像关于 y 轴对称的函数为偶函数，（3 ）简单性质：设 ， 的定义域分别是 ，那么在它们的公共定义域上：()fxg12,D奇+奇=奇，奇 奇=偶，偶+偶=偶，偶 偶= 偶，奇 偶=奇二、基础练习： 1. f(x),g(x)是定义在 R 上的函数，h(x)=f(x)
3、+g(x)，则 f(x)，g(x)均为偶函数,h(x)一定为偶函数吗？反之是否成立？ 2.已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是 y=f(|x|); y=f(-x); y=xf(x); y=f(x)+x.3.设函数若函数 2)(1)3k是偶函数，则 )的递减区间是 4.已知 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)=x 2-2x，则在 x0 上 f(x)的表达式为 5. 设 f(x)是 R 上的偶函数，且在(0,+)上是减函数，若 x10,且 x1+x20,则 f(x 1)与 f(-x2)的大小关系是 三、例题精讲：题型 1： 函数奇偶性的
4、判定例 1. 判断下列函数的奇偶性： , , xxf1)(29|4|3|xy2(0)()xf221(xxf变式：设函数 f（x）在（，+）内有定义，下列函数： y=|f （x）|； y=xf（x 2） ； y=f（x） ； y= f（x）f（x） 。必为奇函数的有_ _（要求填写正确答案的序号）2题型 2： 函数奇偶性的证明例 2、已知函数 f(x),当 x,yR 时，恒有 f(x+y)=f(x)+f(y). 求证：f( x)是奇函数；变式：已知 f（x）= 是奇函数，则实数 a 的值等于 (21)xa题型 3： 函数奇偶性的应用例 3.设定义在-2，2上的偶函数 f(x)在区间0，2上单调递
5、减，若 f(1-m)f(m)，求实数 m 的取值范围。变式 1：已知函数 是偶函数，而且在 上是减函数，判断 在 上是增函数还是减()fx(0,)()fx,0)函数，并证明你的判断.变式 2：函数 是 R 上的偶函数，且在 上是增函数，若 ,则实数 的取值范()yfx(,0()2faa围是 3题型 4：综合应用例 5.f(x)、g(x)都是定义在 R 上的奇函数，且 F(x)=3f(x)+5g(x)+2,若 F(a)=b,则 F(-a)= 变式：已知函数 f(x)=g(x)+2,x-3，3 ，且 g(x)满足 g(-x)=-g(x),若 f(x)的最大值、最小值分别为M、N，则 M+N= .例
6、 6已知函数 为奇函数， ，且不等式 的解集是 。baxcf2)( )3(1f23)(0xf,14,2（1）求 ；,abc（2）是否存在实数 m 使不等式 对一切 成立？若存在，求出 m 的取值范围；2)sin2(mfR若不存在，请说明理由。4例 7.已知 f(x)是定义在 1，1 上的奇函数，且 f(1)=1,若 a,b1,1,a +b0 时，有 ba0.(1)判断函数 f(x)在1，1上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；（2）解不等式：f(x + 2)f ( 1x);(3)若 f(x)m 22pm+1 对所有 x1,1,p1,1( p 是常数）恒成立，求实数 m 的取值范围.5能 力
7、训 练 题1. 判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)= ； （2 ） ； （3）f(x)=x +1 (x-10,10)；123xxxf122. 函数 f(x),g(x)在区间-a，a (a0）上都是奇函数，则下列结论：f(x)-g(x)在-a,a上是奇函数；f(x)+g(x)在-a,a上是奇函数；f(x)g(x)在-a,a上是偶函数；f(0)+g(0)=0,其中正确的个数是 3. 已知函数 f(x)(xR)是奇函数，且 _。3,(),0()xfxxf时4. 设 )(xf是定义在 上的一个函数，则函数 )()(xfxF在 R上的奇偶性是 5. 已知函数 )127()2()1() 22 mxmf
8、为偶函数，则 m的值是 6. 已知 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)=x 2-2x，则在 R 上 f(x)的表达式为 7. 如果奇函数 )(xf在区间 3,7 上最大值为 5，那么 )(xf在区间 3,7上最小值是 8. 若 (x)，g(x) 都是奇函数， f(x)=m(x)+ng(x)+2 在（0，+ ）上有最大值，则 f(x)在（-，0）上最小值为_ _。9. 为奇函数，则 (1)xafa10. 如果函数 是奇函数，则 23,0,.xyffx611. 判断 的奇偶性。2()(0)|axf a常 数12. 已知函数 f(x)=x2+|x-a|+1,aR.（1）试判断 f(x)的奇偶性； （2）若- a ，求 f(x)的最小值 .12
