1、不等式解法1、知识梳理：（一）绝对值不等式：1 绝对值的意义意义： 在数轴上 表示 对应的点到原点的距离， 表示 与 之间的距离.aab代数表达式为：(0)a它的一个重要性质是： bab2 基本绝对值不等式的解法的解集为：(0)xax的解集为： 或|a巧记方法为“小于找中间，大于找两边”.3 含多个绝对值不等式的解法方法 1:利用绝对值的几何意义.方法 2:利用零点分段进行讨论.（二）一元二次不等式：1、一元二次不等式的解集与一元二次函数的关系：判别式 24bac000方程 0x有两个不等实根 有两个相等实根 无实根二次函数2(0)yaxbc的图象不等式 20axbc()的解集或1|x2x2b
2、aR不等式 2xc的解集(0)a12| xyOxyO12xyO122 一元二次不等式的解题步骤（1）先判断二次项系数的正负，若为负，化为正数；（2）判断方程的判别式大于 ，等于 ，或小于 ，解方程；00（3）根据方程的根，结合变形后不等号的方向，写出不等式的解集， “大于（号）找两边，小于（号）找中间”.(3)分式、指数、对数不等式1.分式不等式分式不等式的等价变形： 0 f(x)g(x)0， 0 。)(xgf)(xgf0)(xgf2.指数不等式； ；afxgx()()()1当 时 ，af()()21当 时 ，afgx3.对数不等式， 等，Nbbalo(0loglog)lomnaa bbba，
3、 ， ，（1）当 时， ；（2）当 时，log()l()aafxgxxf()001。fx()0（四）常见含参不等式恒成立的解法：1 转换主元法首先确定题目中的主元，化归成初等函数求解。此方法常适用于化为一次函数。对于一次函数 有：,)(nmxbkf 0)(0)(,)(0)( nffnfxf 恒 成 立恒 成 立2 化归二次函数法根据题目要求，构造二次函数。结合二次函数实根分布等相关知识，求出参数取值范围。对于一元二次函数 有：),0()(2 Rxacbxaxf （1） 上恒成立 ；Rxf在0)( 且（2） 上恒成立在 且3 分离参数法在题目中较容易分离出参数，化成 af(x) （afmax(x
4、) （afmin(x)） （转化为求最值问题） ，求出参数范围。有时可避免较复杂的分类讨论（1） 对任意 都成立 ；mxf)(IxmIxf)()min（2） 对任意 都成立 。a4.数型结合法二、典例分析：1、若不等式 的解集中的整数有且仅有 ，34xb123， ，则 的取值范围为 b答案： (57)，2、若函数不等式 的解集是 21x答案： 03、 则不等式 的解集为_.,()1,0xf1|()|3fx【答案】 ,4、设 ()1fxx, ()231,gxkR（1）求 的最小值和 的最小值、最大值；（2）存在实数 12,x，使得不等式 12()fxgk，求 的取值范围；（3） mRn使得 3m
5、kn，求 的取值范围（4）设 0,0,，使得 0()18fmgnk，求 的取值范围答案：（1） 4； （2）(,（3） 2,)（4）,235、已知不等式 2 1()xm（1）若对于所有实数 不等式恒成立，求 的取值范围.（2）若对于 不等式恒成立，求实数 的取值范围.,x解：（1）原不等式等价于： 2(1x对 成立.)0mxR当且仅当 ，04(1)m解得 .（2）设 ，由于 时， 恒成立.2()()fxx2,()0fm当且仅当 ，0f即 ，2130x解得： 722x即所求的范围为.13xx6 关于 的不等式 与 的解x21()a2(1)3(1)2()0xa()aR集依次是 和 ，求使 的 的取
6、值范围.AB解：由已知22(1)(1)axa得 .又2()2|A的两根为 与 .23(1)()0xa31a当 时，即 ，13a|2Bx，由 得 ，31aAB231a解得当 时，即 ，此时2|x，由 得 ，31axAB213a解得 .综合知 或 .|1a7、当 取何值时，关于 的不等式 的解为全体实数.x22(45)(1)30axax解：当 时， 或2450a1当 时，原不等式变为 恒成立，此时解集为 ；13R当 时，不等式变为 ，240x，显然不符合题意，8x5a当 时，2450a由题意 ，解得：19a综上所述： 19a8、若不等式 的解为 ，求 、 的值122xbx )1()3(， ab分析
7、：不等式本身比较复杂，要先对不等式进行同解变形，再根据解集列出关于 、a式子b解： ，043)2(12xx，原不等式化为 0)()(2baxba依题意 ，342102baba 259、已知 0,1a，解不等式2log(43)log(1)log(42)aaaxxx答案： ,2x；1,10、已知，命题甲：函数2()lg1)fxax的定义域为 (,)；命题乙：函数2()lg1xa的值域为 ,，若甲乙都是正确的，则实数 a的取值范围为11、设函数 2()1fx，对任意 2,3x，24()4(fmffm恒成立，则实数 的取值范围是 .【答案】D【解析】本题主要考查函数恒成立问题的基本解法，属于难题。依据
8、题意得222214()(14(1)xmxm在 3,)x上恒定成立，即2134m在 3,上恒成立。当 x时函数 21yx取得最小值 5，所以 2543，即22(31)43)0，解得 32m或 12、不等式2313xa对任意的实数 x恒成立，则实数 a的取值范围为（ ）.(,14,)A.(,5,)B .1,2C .(,12,)D答案：A13、已知2()3(1)2xxfk，当 R时， ()fx恒为正值，则 k的取值范围是（ ） .(,1)A.(,)B .(,1)C .(21,)D答案：B14、设函数 f(x)=ax满足条件：当 x(，0)时，f (x)1；当 x(0，1 时，不等式 f(3mx1)f
9、(1+mx x2)f(m+2) 恒成立，求实数 m 的取值范围.解：由已知得 0a1，由 f(3mx1) f(1+ mxx 2)f (m+2)，x (0，1 恒成立.在 x(0，1 恒成立.213mx整理，当 x (0，1)时， 恒成立，即当 x(0，1 时，)(2x恒成立，且 x=1 时， 恒成立，12xm1)(2xm 在 x(0， 1 上为减函数， 1，22x2m 恒成立 m 0.又 ，在 x(0，1 上是减函数，1)(12xx 1.m 恒成立 m 1 当 x(0，1)时， 恒成立12x12xmm( 1，0)当 x=1 时， ，即是 m0 1)(22x1、两式求交集 m(1，0）,使 x(
10、0 ，1 时， f(3mx1)f(1+mxx 2)f( m+2)恒成立，m 的取值范围是( 1，0)15、已知函数 f(x)= (b0)的值域是1，3 ，2c(1)求 b、c 的值；(2)判断函数 F(x)=lgf(x)，当 x1，1时的单调性，并证明你的结论；(3)若 tR，求证： lg F(|t |t+ |)lg .5765137.(1)解：设 y= ，则(y2)x 2bx+y c=0 12xcbxR， 的判别式 0，即 b24(y 2)(y c)0，即 4y24(2+c)y +8c+b20 由条件知，不等式的解集是1，31，3 是方程 4y24(2+c)y+8 c+b2=0 的两根c=2，b=2，b=2(舍）482(2)任取 x1，x 21，1 ，且 x2x 1，则 x2x 10，且(x2 x1)(1x 1x2)0，f (x2)f(x 1)= 0，)1(2)1(22xxxf(x 2)f(x 1)，lgf(x 2)lgf(x 1)，即 F(x2)F(x 1)F(x)为增函数 . ,3|)6()(|,6|3 ttuttu记即 u ，根据 F(x)的单调性知13F( )F( u)F ( )，lg F(|t |t+ |)lg 对任意实数 t 成立.15761513
