1、 1 / 5高三数学（理）集体备课记录课题：函数的单调性与最值时间地点 2016 年 9 月 12 日主持人 赵纯金参与者 张泽成、黄翼教材分析本节课是在学生学习了函数概念的基础上所研究的函数的一个重要性质。在研究函数的值域、定义域、最值等性质中有重要应用；在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用。可见，不论在函数内部还是在外部，函数的单调性都有重要应用，因而在数学中具有核心地位。此外函数单调性的研究方法也具有典型意义，体现了对函数研究的一般方法。这就是，加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般。首先借助对函数图像的观察、分析、归纳，发现函数的增、减
2、变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化数字特征，从而进一步用数学符号刻画。考情分析1.函数单调性的判断和应用及函数最值、奇偶性、周期性的应用是高考的热点，题型既有选择题、填空题，也有解答题，与函数概念、图像、性质综合在考查；2.2017 年仍将综合考查函数性质，还常常与向量、不等式、三角函数、导数等知识结合，进行综合考查。复习目标知识与能力目标：1.使学生理解函数单调性的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性；2.启发学生发现问题和提出问题，培养学生分析问题、认识问题和解决问题的能力；3.进一步培养学生的逻辑推理能力和创新意识。情感目标：通过对函数单调性与最值问题的探究，体会数学的
3、奥妙，激发学生数学学习兴趣，体会数学的应用价值，在教学中激发学生的探索精神。思想方法：数形结合、分类讨论的基本数学思想教学方法 探究式教学与讲练结合。备课设想重点难点1.重点是：增减函数和最值的形式化定义；2.难点是：如何从图像升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表述；用定义证明函数的单调性，从而求的函数在区间上的最值。2 / 5教学策略1.重视多种教法的有效整合；2.重视提出问题与解决问题策略指导；3.重视加强对交汇知识密切联系的发掘；4.知识加强数学实践能力的培养；5.注意避免繁琐的形式化训练；6.教学过程体现“实践认识实践” 。实施教学过程一、 考点知识自主梳理1.函数的单调性(1
4、)单调函数的定义增函数 减函数定义一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D上的任意两个自变量的值 x1， x2当 x1f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数 y f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 y f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间 D 叫做 y f(x)的单调区间2函数的最值前提 设函数 y f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足条件(1)对于任意的 x I，都有f(x) M；(2)存在 x0 I，使得 f(x0) M(
5、3)对于任意的 x I，都有f(x) M；(4)存在 x0 I，使得 f(x0) M结论 M 为最大值 M 为最小值思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)在增函数与减函数定义中，可把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量” ( )3 / 5(2)对于函数 f(x)， x D，若 x1， x2 D 且( x1 x2)f(x1) f(x2)0，则函数 f(x)在 D 上是增函数( )(3)函数 y f(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，)( )(4)函数 y 的单调递减区间是(，0)(0，)( )1x(5)所有的单调函数都有最值( )(6)对于函数 y f(x
6、)，若 f(1)0)，则 f(x)在(1,1)上的单调性如何？axx2 1思维升华 确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减” ；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“”连接题型二 函数的最值例 3 已知函数 f(x) ， x1，)， a(，1x2 2x ax(1)当 a 时，求函数 f(x)的最小值；12(2)若对任意 x1，)， f(x)0 恒成立，试求实数 a 的取值范围思维升华 求函数最值的常用方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其
7、最高点、最低点，求出最值；(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值4 / 5题型三 函数单调性的应用命题点 1 比较大小例 4 已知函数 f(x)log 2x ，若 x1(1,2)， x2(2，)，则( )11 xA f(x1)0 C f(x1)0， f(x2)0， f(x2)0命题点 2 解不等式例 5 已知函数 f(x)为 R 上的减函数，则满足 f B a C a0 成立，那么 a 的f x1 f x2x1 x2取值范围是_思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的
8、单调性解决(2)解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“ f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域(3)利用单调性求参数视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；需注意若函数在区间 a， b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值三、课时小结答题模板1确定抽象函数单调性解函数不等式典例 (12 分)函数 f(x)对任意的 m、 nR，都有 f(m n) f(m) f(n)1，并且 x0 时，恒有 f(x)1.(1)求证： f
9、(x)在 R 上是增函数；5 / 5(2)若 f(3)4，解不等式 f(a2 a5)0 时， f(x)1，构造不出 f(x2) f(x1) f(x2 x1)1 的形式，便找不到问题的突破口第二个关键应该是将不等式化为 f(M)f(N)的形式解决此类问题的易错点：忽视了 M、 N 的取值范围，即忽视了 f(x)所在的单调区间的约束方法与技巧1利用定义证明或判断函数单调性的步骤(1)取值；(2)作差；(3)定量；(4)判断2确定函数单调性有四种常用方法：定义法、导数法、复合函数法、图象法，也可利用单调函数的和差确定单调性3求函数最值的常用求法：单调性法、图象法、换元法失误与防范1分段函数单调性不仅要考虑各段的单调性，还要注意衔接点2函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“， ”或“和”连接，不要用“” 四、课后作业练出高分 P 273274
