1、第一课时 3.1 二维形式的柯西不等式（一）2. 练习：已知 a、b、c、d 为实数，求证 222()()abcdacb 提出定理 1：若 a、b、c、d 为实数，则 .()d证法一：（比较法） =.=222()cd20证法二：（综合法） 2. （要点：展开配方）222()ab证法三：（向量法）设向量 ， ，则 ， .,)m,nc2|mab2|ncd ，且 ，则 . .mnacbd|osnA|nA证法四：（函数法）设 ，则222()()fxxabdxc0 恒成立.22()(fx 0，即.24)abcd二维形式的柯西不等式的一些变式：或 或 .22|abcdA 2|acbdA22abcdabA
2、提出定理 2：设 是两个向量，则 .,|即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ） 讨论：上面时候等号成立？（ 是零向量，或者 共线）, 练习：已知 a、b、c、d 为实数，求证 .2222()()abcdacbd证法：（分析法）平方 应用柯西不等式 讨论：其几何意义？（构造三角形）2. 教学三角不等式： 出示定理 3：设 ，则 .12,xyR22221 11()()xyxyxy分析其几何意义 如何利用柯西不等式证明 变式：若 ，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 123,xy3. 小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）第二课时 3.1 二维形式的
3、柯西不等式（二）教学过程：；222()()abcdacb22221 11()()xyxyxy3. 如何利用二维柯西不等式求函数 的最大值?要点：利用变式 .22|cdA二、讲授新课：1. 教学最大（小）值： 出示例 1：求函数 的最大值？310yxx分析：如何变形？ 构造柯西不等式的形式 板演 变式： 推广：2 ,(,)yabxcdefxabcdefR 练习：已知 ，求 的最小值.2xy解答要点：（凑配法） .2222111()(3(3)xy2. 教学不等式的证明： 出示例 2：若 ， ，求证： .,xyRyy分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 构造）要点： 2222111()()(
4、)2xyxyxy讨论：其它证法（利用基本不等式） 练习：已知 、 ，求证： .abR1()4ab3. 练习： 已知 ，且 ，则 的最小值.,xyxyxy要点： . 其它证法()ab 若 ，且 ，求 的最小值. （要点：利用三维柯西不等式）,xyzR1z22xyz变式：若 ，且 ，求 的最大值.,y第三课时 3.2 一般形式的柯西不等式2. 提问：二维形式的柯西不等式？如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？答案： ；222()()abcdacb2222()()()cdefadbecf二、讲授新课：1. 教学一般形式的柯西不等式： 提问：由平面向量的柯西不等式 ，如果得到空间向量的柯西不等式及代数
5、形式？|A 猜想：n 维向量的坐标？n 维向量的柯西不等式及代数形式？结论：设 ，则1212,nnabR 22 2112()()()nnababab 讨论：什么时候取等号？（当且仅当 时取等号，假设 ）2 0i联想：设 ， ， ，则有 ，可联想到12nBab21nA 221nC 20BAC一些什么？ 讨论：如何构造二次函数证明 n 维形式的柯西不等式？ （注意分类）要点：令 ，则221 12)()nfxaxbabx（ ） （ 221()nb.1()()0nfab+（又 ，从而结合二次函数的图像可知，220n0221 1)4(n A221()n即有要证明的结论成立. （注意：分析什么时候等号成立
6、.） 变式： . （讨论如何证明）222112)nnaaa2. 教学柯西不等式的应用： 出示例 1：已知 ，求 的最小值.3xyz2xyz分析：如何变形后构造柯西不等式？ 板演 变式： 练习：若 ，且 ，求 的最小值.,zR13 出示例 2：若 ，求证： .abccaba41要点： 21 1()()()(4b 提出排序不等式（即排序原理）：设有两个有序实数组: ; . 是 ， 的任一12n12n12,cnc12,b,nb排列,则有+ (同序和)12abnab+ (乱序和)cc+ (反序和)121n1n当且仅当 = 或 = 时，反序和等于同序和.n2nb（要点：理解其思想，记住其形式）2. 教学排序不等式的应用： 出示例 1：设 是 n 个互不相同的正整数，求证：2,a.32123na分析：如何构造有序排列？ 如何运用套用排序不等式？证明过程：设 是 的一个排列，且 ，则 .12,nb12,na 12nb12,nbb又 ，由排序不等式，得332 21 12 2n nba小结：分析目标，构造有序排列. 练习：已知 为正数，求证： .,bc33222()()()()acabcacb解答要点：由对称性，假设 ，则 ，于是 ， ， 222acb2a两式相加即得.
