1、第 1 页 高中数学基础知识大全（新课标版）第一部分 集合1.理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？ 2 .数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决3.(1) 元素与集合的关系： , .UxACxAx（2）德摩根公式： .();()U UCBBC（3） ABUCABR注意：讨论的时候不要遗忘了 的情况.（4）集合 的子集个数共有 个；真子集有 1 个；非空子集有 1 个；12,na 2n2n2n非空真子集有 2 个
2、.4 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.第二部分 函数1映射：注意: 第一个集合中的元素必须有象；一对一或多对一.2函数值域的求法：分析法 ；配方法 ；判别式法 ；利用函数单调性 ；换元法 ；利用均值不等式 ； 利用数形结合或几何意义（斜率、距离、2baab绝对值的意义等） ；利用函数有界性（ 、 、 等） ；平方法； 导数法xsinxco3复合函数的有关问题:（1）复合函数定义域求法： 若 f(x)的定义域为a，b,则复合函数 fg(x)的定义域由不等式 a g(x) b 解出 若 fg(x)的定义域为a,b,求 f(x)的定义域，相当于 xa,b时，求 g(x)的值域.（2）复合函
3、数单调性的判定：首先将原函数 分解为基本函数：内函数 与外函数)(xgfy)(xgu)(ufy分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性.4分段函数：值域（最值） 、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。5函数的奇偶性:函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件 是奇函数 ； 是偶函数 .)(xf )()(xfff )(xff奇函数 在 0 处有定义，则 0第 2 页 在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性6函数的单调性:单调性的定义： 在
4、区间 上是增函数 当 时有 ；)(xfM,21Mx21x12()ffx 在区间 上是减函数 当 时有 ；单调性的判定：定义法：一般要将式子 化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；复)(21ff合函数法图像法注：证明单调性主要用定义法。7函数的周期性：(1)周期性的定义：对定义域内的任意 ，若有 （其中 为非零常数） ，则称函数 为周期x)(xfTfT)(xf函数， 为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指T最小正周期。（2）三角函数的周期： ； ； ；2:sinTxy 2:cosxy xy:tan ；|)co(),sin( AxAy |:t
5、anT(3)与周期有关的结论：或 的周期为)()(afxf)0()2(axff )(xf28基本初等函数的图像与性质：.指数函数： ；对数函数: ；1,0yx )1,0logaya幂函数： （ ；正弦函数: ；余弦函数： ；)Rxsinxycos（6）正切函数： ；一元二次函数： （a0） ；其它常用函数：tan2cb 正比例函数： ；反比例函数： ；函数)0(kxy )0(kxy )0(ax.分数指数幂： ； （以上 ，且 ）. mna1mna,mnN1. ； ；bNablogMaalogllog ； .Maallmnab.对数的换底公式: .对数恒等式: .loglma logaN9二次函
6、数：解析式：一般式： ；顶点式： ， 为顶点；cbxxf2)( khxf2)(),(第 3 页 零点式： （a0）.)()(21xaxf二次函数问题解决需考虑的因素：开口方向；对称轴；端点值；与坐标轴交点；判别式；两根符号。二次函数 的图象的对称轴方程是 ，顶点坐标是 。cbxay2 abx2abc422，10函数图象： 图象作法 ：描点法 （特别注意三角函数的五点作图）图象变换法 导数法图象变换： 平移变换：) ， 左“+”右“” ；)()(axfyxfy)0() 上“+”下“” ；,k 对称变换：) ；) ；)(f )0,( )(f)(xfy 0y)(xf) ； ) ；xy xy xy 翻
7、折变换：) （去左翻右）y 轴右不动，右向左翻（ 在 左侧图象去掉） ；|)()(fxfy )(f) （留上翻下）x 轴上不动，下向上翻（| |在 下面无图象） ；|yx12函数零点的求法：直接法（求 的根） ；图象法；二分法.0)(xf(4)零点定理：若 y=f(x)在a,b上满足 f(a)f(b)= x x2+y1y2； 注：|a|cos叫做 a 在 b 方向上的投影；|b|cos叫做 b 在 a 方向上的投影；ab 的几何意义：ab 等于|a|与|b|在 a 方向上的投影|b|cos的乘积。4.cos= ；|ba5.三点共线的充要条件：P，A，B 三点共线 。xy1OPxAB且第五部分
8、数列1定义： BnASbknaNna daNdnnn 21 1*),2(2 )(,()( ）为 常 数等 差 数 列 等比数列 ),(0(1-2 qn2等差、等比数列性质：等差数列 等比数列通项公式 dan)1( 1nqa第 6 页 前 n 项和 dnaSnn 2)1(2)(11qaqSnqn1)(.;1时 ，时 ，性质 a n=am+ (nm)d, a n=amqn-m; m+n=p+q 时 am+an=ap+aq m+n=p+q 时 aman=apaq 成 AP 成 GP,232kkkSS,232kkkSS 成 AP, 成 GP,d am3常见数列通项的求法：定义法（利用 AP,GP 的定
9、义） ；累加法（ 型） ；公式法： nnc1累乘法（ 型） ；待定系数法（ 型）转化为nca1 bka)(1xaknn（6）间接法（例如： ） ；（7） （理科）数学归纳法。44111nnna4前 项和的求法：分组求和法；错位相减法；裂项法。n5等差数列前 n 项和最值的求法： 最大值 ；利用二次函数的图象与性质。nS 0011nnnaSa最 小 值或第六部分 不等式1均值不等式： )0,(2baba注意：一正二定三相等；变形： 。),(2Rba2极值定理：已知 都是正数，则有：yx,(1)如果积 是定值 ，那么当 时和 有最小值 ；pyxp(2)如果和 是定值 ，那么当 时积 有最大值 .s
10、x241s3.解一元二次不等式 :若 ,则对于解集不是全集或空集时,对应的20()axbc或 0a解集为“大两边，小中间”.如:当 , ；212121 x.2210xx或4.含有绝对值的不等式：当 时，有： ；a aax2 或 .2aaan= S1 (n=1)SnS n-1 (n 2)第 7 页 5*.分式不等式：（1） ； （2） ；00xgfxgf 00xgfxgf（3） ； （4） .f f6*.指数不等式与对数不等式(1)当 时, ； .1a()()()fxgxafgx()0lo()lg()aafxfxfg(2)当 时, ；0()()()fxgxfx()l()lo()0aaxfxf3不
11、等式的性质： ； ； ；abcab, cbd,； ； ；dcdc0ac0, 0c; ;)(Nnn )(Nnn第七部分 概率1事件的关系：事件 B 包含事件 A：事件 A 发生，事件 B 一定发生，记作 ；BA事件 A 与事件 B 相等：若 ，则事件 A 与 B 相等，记作 A=B；,并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件 A 发生或 B 发生，记作 （或 ） ；BA并（积）事件：某事件发生，当且仅当事件 A 发生且 B 发生，记作 （或 ） ；事件 A 与事件 B 互斥：若 为不可能事件（ ） ，则事件 A 与互斥；A对立事件： 为不可能事件， 为必然事件，则 A 与 B 互为对立事件。2概率
12、公式：古典概型： ；基 本 事 件 的 总 数包 含 的 基 本 事 件 的 个 数P)(几何概型： ；等 ）区 域 长 度 （ 面 积 或 体 积试 验 的 全 部 结 果 构 成 的 积 等 ）的 区 域 长 度 （ 面 积 或 体构 成 事 件 AA第八部分 统计与统计案例1抽样方法：简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为 N，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量第 8 页 为 n 的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。注：每个个体被抽到的概率为 ；Nn常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数表法。系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按
13、照预先制定的规则，从每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。注：步骤：编号；分段；在第一段采用简单随机抽样方法确定起始的个体编号；按预先制定的规则抽取样本。分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情况，将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数 Nn注:以上三种抽样的共同特点是：在抽样过程中每个个体被抽取的概率相等2频率分布直方图与茎叶图：用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图。当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，
14、两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边像植物茎上长出来的叶子，这种表示数据的图叫做茎叶图。3总体特征数的估计：样本平均数 ；nixxn121)(样本方差 ；)() 222Sn21)(xni样本标准差 = )(21 xxxni第九部分 算法初步1程序框图：图形符号： 终端框（起止框） ； 输入、输出框； 处理框（执行框） ； 判断框； 流程线 ；程序框图分类:顺序结构： 条件结构： 循环结构：r =0? 否 求 n 除以 i 的余数输入 n 是n 不是质数 n 是质数 i=i+1 第 9 页 i=2i n 或 r=0? 否是注：循环结构分为：当型（while 型）
15、先判断条件，再执行循环体；直到型（until 型）先执行一次循环体，再判断条件。2基本算法语句：输入语句 INPUT “提示内容” ；变量 ；输出语句：PRINT “提示内容” ；表达式赋值语句： 变量=表达式条件语句： IF 条件 THEN IF 条件 THEN语句体 语句体 1END IF ELSE 语句体 2END IF循环语句：当型： 直到型: WHILE 条件 DO 循环体 循环体WEND LOOP UNTIL 条件新课标数学部分公式及结论2.从集合 到集合 的映射有 个.naA,321mbB,321n3.函数的的单调性： (1)设 那么2121,xbax上是增函数；()()0ffb
16、axfxff ,)(0)(21在上是减函数.1212xx,在(2)设函数 在某个区间内可导，如果 ，则 为增函数；如果 ，)(fy0)(xf)(xf 0)(xf则 为减函数.xf4*.函数 的图象的对称性:()第 10 页 的图象关于直线 对称 ；()yfxxa()()fxfa(2)(faxf 的图象关于直线 对称 ；2bbxb 的图象关于点 对称 ，()yfx(,0)02xfffxf的图象关于点 对称 .a baa26奇偶函数的图象特征：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那
17、么这个函数是偶函数7多项式函数 的奇偶性：10()nnPxaxa多项式函数 是奇函数 的偶次项(即奇数项)的系数全为零.P多项式函数 是偶函数 的奇次项(即偶数项)的系数全为零.()8. 若将函数 的图象右移 、上移 个单位，得到函数 的图象；xfyabbaxfy)(9. 几个常见的函数方程：(1)正比例函数 , .()fc()(),(1fyfxyfc(2)指数函数 , .xa0a(3)对数函数 , .()logf()(),(,1)fff(4)幂函数 , .,1yy(5)余弦函数 ,正弦函数 ， ，f(0)=1. ()csfx()singx()()()fxyfgxy10*.几个函数方程的周期(约定 a0)（1） ，则 的周期 T=a；)()af)(f（2） ，或 ，或 ,xx)0()1xfa1()(fxaf)0x则 的周期 T=2a；)(f11.等差数列 的通项公式: ,或 .nadnan1dmnan)(nam前 n 项和公式: .1()2ns1()22112.设数列 是等差数列， 是奇数项的和， 是偶数项的和， 是前 n 项的和，则a奇S偶SS前 n 项的和 ；偶奇n当 n 为偶数时， ，其中 d 为公差；2n奇偶S当 n 为奇数时，则 ， ， ， ，中偶奇 a中奇 a21nS中偶 a21nS1Sn偶奇
