1、1.1.1 正弦定理学习目标 1. 掌握正弦定理的内容；2. 掌握正弦定理的证明方法；3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题学习过程 一、课前准备试验：固定 ABC 的边 CB 及 B，使边 AC 绕着顶点 C 转动思考： C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边 AB 的长度随着其对角 C 的大小的增大而 能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 二、新课导学 学习探究探究 1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在 Rt ABC 中，设BC=a，AC=b，AB =c， 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有
2、 ， ，又 ， sinAcsiBsin1cC从而在直角三角形 ABC 中， sinisinabcABC(探究 2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当 ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据任意角三角函数的定义，有 CD= ，则 ， siniaBbAsiniabB同理可得 ， iicC从而 sns类似可推出，当 ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立请你试试导.新知：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即siniabABsincC试试：（1）在 中，一定成立的等式是（ ）A B.siniabcosaAbBC
3、. D.（2）已知ABC 中，a4，b8，A30，则B 等于 理解定理（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数 k 使 ， ， ；sinaAsinckC（2） 等价于 ， ， sinibABcCbBsinaAicC（3）正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 ； isa已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如 ； siniaABbsinC（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形 典型例题例 1. 在 中，已知 ， ， cm，解三角形AB4560B42a变式：在 中，已知
4、 ， ， cm，解三角形CC1例 2. 在 6,45,2,ABCcAabBC中 ， 求 和变式：在 3,60,1,ABCbcaAC中 ， 求 和三、总结提升 学习小结1. 正弦定理： siniabABsincC2. 正弦定理的证明方法：三角函数的定义，还有 等积法，外接圆法，向量法.3应用正弦定理解三角形：已知两角和一边；已知两边和其中一边的对角 知识拓展，其中 为外接圆直径.siniabAB2sincRC学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：1. 在 中，若 ，则 是（ ）.ABCc
5、osAbaBCA等腰三角形 B等腰三角形或直角三角形C直角三角形 D等边三角形2. 已知ABC 中，AB C114，则 abc 等于（ ）.A114 B112 C11 3D22 33. 在ABC 中，若 ，则 与 的大小关系为（ ）.siniABA. B. BC. D. 、 的大小关系不能确定4. 已知 ABC 中， ，则 = si:si1:23C:abc5. 已知 ABC 中， A ， ，则60a= sinsinabcABC课后作业 1. 已知ABC 中，AB 6，A30，B ，解此三角形1202. 已知ABC 中，sinAsinB sinCk ( k1)2k (k 0)，求实数 k 的取值
6、范围为1.1.2 余弦定理学习目标 1. 掌握余弦定理的两种表示形式；2. 证明余弦定理的向量方法；3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题学习过程 一、课前准备复习 1：在一个三角形中，各 和它所对角的 的 相等，即 = = 复习 2：在ABC 中，已知 ，A=45 ，C=30，解此三角形10c思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？二、新课导学 探究新知问题：在 中， 、ABC 、 的长分别为 、 、 .BCAcab c abA BC ，AC 同理可得： ，22cosabAcaC新知：余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的夹角的 的积的两倍思考：这个式子中
7、有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？从余弦定理，又可得到以下推论：， ，22cosbcaA理解定理（1）若 C= ，则 ，这时90cos22cab由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例（2）余弦定理及其推论的基本作用为：已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；已知三角形的三条边就可以求出其它角试试：（1）ABC 中， ， ， ，求 3a2c150Bb（2）ABC 中， ， ， ，求 2ab31cA 典型例题例 1. 在ABC 中，已知 ， ， ，求 和 3a2b45B,ACc变式：在ABC 中，若 AB ，AC 5，且 cosC ，则 BC_910例 2. 在ABC 中，已知三边长 ， ， ，求三角形的最大内角3a4b37c
