1、 函数的单调性和奇偶性经典例题透析类型一、函数的单调性的证明1.证明函数 上的单调性. 证明：在(0，+)上任取 x1、x 2(x1x 2)， 令x=x 2-x10则x 10，x 20，上式0，y=f(x 2)-f(x1)0 上递减.总结升华：1证明函数单调性要求使用定义；2如何比较两个量的大小？( 作差)3如何判断一个式子的符号？( 对差适当变形)举一反三：【变式 1】用定义证明函数 上是减函数.思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径.证明：设 x1，x 2 是区间 上的任意实数，且 x1x 2，则0x 1x 21 x 1-x20，0x 1x210x 1x
2、21 故 ，即 f(x1)-f(x2)0x 1x 2 时有 f(x1)f(x 2)上是减函数.总结升华：可以用同样的方法证明此函数在 上是增函数；在今后的学习中经常会碰到这个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象.类型二、求函数的单调区间2. 判断下列函数的单调区间； (1)y=x 2-3|x|+2； (2)解：(1)由图象对称性，画出草图f(x)在 上递减，在 上递减，在 上递增.(2)图象为f(x) 在 上递增.举一反三：【变式 1】求下列函数的单调区间：(1)y=|x+1|； (2) (3) .解：(1) 画出函数图象，函数的减区间为 ，函数的增区间为(-1，+)；(2)定
3、义域为 ，其中 u=2x-1 为增函数， 在(-，0)与 (0，+)为减函数，则 上为减函数；(3)定义域为(- ，0)(0，+) ， 单调增区间为： (-，0)，单调减区间为(0，+ ).总结升华：1数形结合利用图象判断函数单调区间；2关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关.3复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化 复合函数为增函数；内外层函数反向变化 复合函数为减函数.类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值) 3. 已知函数 f(x)在(0 ，+)上是减函数
4、，比较 f(a2-a+1)与 的大小. 解：又 f(x)在(0，+)上是减函数，则 .4. 求下列函数值域： (1) ； 1)x5，10； 2)x(-3，-2)(-2，1)；(2)y=x 2-2x+3； 1)x-1，1 ； 2)x-2，2.思路点拨：(1)可应用函数的单调性；(2)数形结合.解：(1) 2 个单位，再上移 2 个单位得到，如图1)f(x)在5，10上单增， ；2) ；(2)画出草图1)yf(1)，f(-1)即2，6 ；2) .举一反三：【变式 1】已知函数 .(1)判断函数 f(x)的单调区间；(2)当 x1，3时，求函数 f(x)的值域.思路点拨：这个函数直接观察恐怕不容易看
5、出它的单调区间，但对解析式稍作处理，即可得到我们相对熟悉的形式. ，第二问即是利用单调性求函数值域.解：(1)上单调递增，在 上单调递增；(2) 故函数 f(x)在1 ，3上单调递增x=1 时 f(x)有最小值，f(1)=-2x=3 时 f(x)有最大值x1，3时 f(x)的值域为 .5. 已知二次函数 f(x)=x2-(a-1)x+5 在区间 上是增函数，求：(1)实数 a 的取值范围；(2)f(2)的取值范围. 解：(1)对称轴 是决定 f(x)单调性的关键，联系图象可知只需 ；(2)f(2)=2 2-2(a-1)+5=-2a+11 又a 2，-2a -4f(2)=-2a+11 -4+11
6、=7.类型四、判断函数的奇偶性6. 判断下列函数的奇偶性： (1) (2)(3)f(x)=x 2-4|x|+3 (4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5)(6) (7)思路点拨：根据函数的奇偶性的定义进行判断.解：(1)f(x) 的定义域为 ，不关于原点对称，因此 f(x)为非奇非偶函数；(2)x-10，f(x)定义域 不关于原点对称，f(x)为非奇非偶函数；(3)对任意 xR ，都有-xR，且 f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则 f(x)=x2-4|x|+3 为偶函数 ；(4)xR ，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，f(x) 为奇函数
7、；(5)，f(x) 为奇函数；(6)xR ，f(x)=-x|x|+x f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x) ，f(x) 为奇函数；(7) ，f(x)为奇函数.举一反三：【变式 1】判断下列函数的奇偶性：(1) ； (2)f(x)=|x+1|-|x-1|； (3)f(x)=x 2+x+1；(4) .思路点拨：利用函数奇偶性的定义进行判断.解：(1) ；(2)f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x) f(x)为奇函数；(3)f(-x)=(-x) 2+(-x)+1=x2-x+1f(-x)-f(x)且 f(-x)f(x) f(x)为
8、非奇非偶函数；(4)任取 x0 则-x 0，f(-x)=(-x) 2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)任取 x0，则-x0 f(-x)=-(-x) 2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)x=0 时，f(0)=-f(0) xR 时，f(-x)=-f(x) f(x)为奇函数.举一反三：【变式 2】已知 f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)g(x)为偶函数.证明：设 F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)g(x) 则F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-
9、f(x)+g(x)=-F(x)G(-x)=f(-x) g(-x)=-f(x)-g(x)=f(x)g(x)=G(x)f(x)+g(x)为奇函数，f(x)g(x)为偶函数.类型五、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合) 7.已知 f(x)=x5+ax3-bx-8，且 f(-2)=10，求 f(2). 解：法一：f(-2)=(-2) 5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=108a-2b=-50 f(2)=2 5+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26法二：令 g(x)=f(x)+8 易证 g(x)为奇函数g(-2)=-g(2) f(
10、-2)+8=-f(2)-8f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.8. f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时， f(x)=x2-x，求当 x0 时，f(x)的解析式，并画出函数图象. 解：奇函数图象关于原点对称， x0 时，-y=(-x) 2-(-x)即 y=-x2-x 又 f(0)=0， ，如图9. 设定义在-3，3上的偶函数 f(x)在0，3 上是单调递增，当 f(a-1)f(a)时，求a 的取值范围. 解：f(a-1)f(a) f(|a-1|)f(|a|)而|a-1|，|a|0，3.类型六、综合问题10.定义在 R 上的奇函数 f(x)为增函数，偶函数 g(x)在
11、区间 的图象与 f(x)的图象重合， 设 ab0，给出下列不等式，其中成立的是_.f(b)-f(-a) g(a)-g(-b)； f(b)-f(-a) g(a)-g(-b)；f(a)-f(-b) g(b)-g(-a)； f(a)-f(-b) g(b)-g(-a).答案：.11. 求下列函数的值域： (1) (2) (3)思路点拨：(1)中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域； (2)由单调性求值域，此题也可换元解决；(3)单调性无法确定，经换元后将之转化为熟悉二次函数情形，问题得到解决，需注意此时 t 范围.解：(1)；(2) 经观察知， ，；(3)令.12. 已知函数 f(x)=x2-2a
12、x+a2-1. (1)若函数 f(x)在区间0， 2上是单调的，求实数 a 的取值范围；(2)当 x-1，1时，求函数 f(x)的最小值 g(a)，并画出最小值函数 y=g(a)的图象.解：(1)f(x)=(x-a) 2-1 a0 或 a2(2)1当 a-1 时，如图 1，g(a)=f(-1)=a 2+2a2当-1a1 时，如图 2，g(a)=f(a)=-13当 a1 时，如图 3，g(a)=f(1)=a 2-2a，如图13. 已知函数 f(x)在定义域(0，+) 上为增函数，f(2)=1 ，且定义域上任意 x、y都满足 f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x-2) 3.
13、解：令 x=2，y=2 ，f(22)=f(2)+f(2)=2 f(4)=2再令 x=4，y=2 ，f(4 2)=f(4)+f(2)=2+1=3 f(8)=3f(x)+f(x-2) 3 可转化为： fx(x-2)f(8).14. 判断函数 上的单调性，并证明 . 证明：任取 0x 1x 2，0x 1x 2，x 1-x20，x 1x20(1)当 时0x 1x21，x 1x2-10f(x 1)-f(x2)0 即 f(x1)f(x 2)上是减函数.(2)当 x1，x 2(1， +)时，上是增函数.难点：x 1x2-1 的符号的确定，如何分段 .15. 设 a 为实数，函数 f(x)=x2+|x-a|+1，xR，试讨论 f(x)的奇偶性，并求 f(x)的最小值. 解：当 a=0 时，f(x)=x 2+|x|+1，此时函数为偶函数；当 a0 时，f(x)=x 2+|x-a|+1，为非奇非偶函数.(1)当 xa 时，1
